Коэффициенты прямолинейной парной корреляции

Если взаимосвязь между изучаемой парой признаков выражается в форме, близкой к прямолинейной, то степень тесноты связи между этими признаками можно рассчитать при помощи коэффициента прямолинейной парной корреляции. В настоящее время имеется много различных способов расчета коэффициента парной корреляции. Каждый способ учитывает характер и особенности взаимосвязей между изучаемыми признаками в статистической совокупности. Доказано, что наиболее точный результат корреляционной тесноты связи между факторным и результативным признаками может быть получен по формуле

, (11.2)

где r _ху – коэффициент парной корреляции между признаком-фактором (х) и признаком-результатом (у); t_x – нормированное отклонение по признаку-фактору; t _y – нормированное отклонение по признаку-результату.

Коэффициенты корреляции, также как и корреляционные отношения, обладают стабильным свойством, заключающимся в том, что пределы колебаний этих показателей могут быть выражены следующим образом: -1< r _ху < 1. Это означает, что коэффициенты корреляции и корреляционные отношения могут колебаться в пределах, не превышающих единицу.

Сокращенный вариант расчета коэффициента парной корреляции между урожайностью сена многолетних трав и годовым удоем коров в 100 сельскохозяйственных организациях по формуле 11.3 приведен в табл. 11.1.

Т а б л и ц а 11. 1. Расчет вспомогательных показателей для определения коэффициента парной корреляции

№ п.п.	х, ц/га	, ц/га		, ц/га	у, ц	, ц		, ц
		-10		-1,0		-15		-1,5	1,5
		-9		-0,9		-15		-1,5	1,4
		-8		-0,8				-1,0	0,8
...	…	..	…	…	…	…	…	…	…
				2,0				1,5	3,0
Σ		-		-		-		-	70,0
Среднее		-		-		-		-	0,7

Как видно, полученное среднее произведение нормированных отклонений по признаку-фактору и признаку-результату представляет собой коэффициент парной корреляции между этими признаками. Поскольку этот коэффициент положительный, то взаимосвязь между признаками прямая, а величина коэффициента корреляции (r = 0,7) указывает на среднюю меру зависимости годового удоя одной коровы от урожайности сена многолетних трав.

Необходимо иметь в виду, что абсолютная величина коэффициента корреляции, как и корреляционного отношения, может колебаться от 0 до 1, а с учетом направления связи – находиться в пределах от – 1 до 1. При этом чем ближе коэффициент корреляции к единице (отрицательной или положительной), тем теснее находятся признаки во взаимосвязи.

Расчет коэффициента корреляции по основной формуле 11.2 хотя и дает довольно точный результат, но отличается повышенной трудоемкостью вычисления. Поэтому для измерения степени тесноты связи между факторным и результативным признаками можно рекомендовать формулу, предложенную К. Пирсоном:

, (11.3)

где r _xy – коэффициент прямолинейной парной корреляции; – среднее произведение факторного и результативного признаков: – среднее значение соответственного факторного и результативного признаков, –– средние квадратические отклонения признака-фактора и признака-результата.

При расчете коэффициента прямолинейной парной корреляции по формуле 11.3 в общем виде можно воспользоваться макетом вспомогательной табл. 11.2.

Т а б л и ц а 11.2. Схема расчета вспомогательных показателей

для определения коэффициента парной корреляции

№ п.п.	х			у			ху
	х1			у1
	х2			у2
…	…	…	…	…	…	…	…
n	хn			уn
Σ	Σх	-		Σу	-		Σху

Допустим, имеется достаточно обширная статистическая информация по 100 фермерским хозяйствам, в т.ч. данные о дозах внесения минеральных удобрений (в д.в.) и урожайности зерновых культур. Необходимо рассчитать коэффициент корреляции и с его помощью оценить тесноту зависимости урожайности зерновых культур от доз вносимых минеральных удобрений. С этой целью проведем вспомогательные расчеты (табл. 11.3).

Т а б л и ц а 11.3. Расчет вспомогательных показателей для определения

Коэффициента парной корреляции

№ п.п.	х, кг/га			у, ц/га
		-114		26,9	-16,1
		-112		27,2	-15,8
		-107		28,0	-15,0
…	…	…	…	…	…	…	…
				57,4	14,4
Σ		-			-
Среднее		-		43,0	-

Данные табл. 11.3 позволяют найти составляющие парного коэффициента корреляции. Прежде всего, необходимо рассчитать среднюю дозу удобрений:

Находим среднюю урожайность зерновых культур:

Среднее произведение доз удобрений и урожайности зерновых культур рассчитываем следующим образом:

Рассчитываем среднее квадратическое отклонение по признаку-фактору (дозам удобрений):

Находим среднее квадратическое отклонение по признаку-результату (урожайность зерновых культур):

Теперь, зная необходимые составляющие, рассчитаем коэффициент корреляции по формуле 11. 3:

Это означает, что между урожайностью зерновых культур и дозами минеральных удобрений существует прямая, средней тесноты, зависимость, а на урожайность зерновых культур, кроме минеральных удобрений, влияют многие другие факторы.