Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ. СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ

1.1. Основные понятия и определения

Случайной функцией X(t) называется функция, значение которой при любом фиксированном значении аргумента t=t₀ является случайной величиной X(t₀). Таким образом, случайная функция в результате опыта может принять тот или иной вид и неизвестно заранее, какой именно.

Аргументом случайной функции может быть, в частности, время t или какие-либо другие величины. Случайные функции времени t обычно называют случайными процессами (СП). Случайная величина X(t₀), в которую обращается СП при t=t₀, называется сечением случайного процесса, соответствующим аргументу t₀.

В результате произведенного опыта случайная функция превращается в обычную неслучайную функцию. Конкретный вид, который принимает случайная функция в результате опыта, называется реализацией случайной функции или выборочной функцией.

Примерами СП являются ординаты морского ветрового волнения в данной точке, компоненты скоростей точек поверхности жидкости при таком волнении, параметры качки судна на нерегулярном волнении, волновые давления на днище судна, волновые моменты в данном сечении корпуса судна, шумы в измерительных системах и т. д. Сравнивая СП со случайными величинами, можно сказать, что последние характеризуют случайные явления как бы «в статике», а первые — «в динамике». Поэтому теория случайных процессов может быть названа «динамикой случайных явлений».

На рис. 1.1 показано несколько реализаций СП X(t).

Рис. 1.1. Реализации случайного процесса X(t).

СП можно рассматривать либо как совокупность реализаций случайных функций X(t), либо как совокупность случайных величин, зависящих от параметра t. При этом для полного статистического описания СП надо знать распределение величины и совместные распределения систем величин для каждого конечного множества значений (первое, второе, третье и т.д. конечномерные распределения вероятностей СП). Эти распределения описываются в общем случае функциями распределения первого, второго, третьего и т.д. порядков:

СП дискретен или непрерывен, если, соответственно, дискретно или непрерывно распределение величин для каждого конечного множества

Так же, как и для случайных величин, для СП вычисляются математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание может быть вычислено для каждого сечения СП. Математическим ожиданием случайного процесса X(t) называется неслучайная функция m_x(t), которая при любом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения СП

m_x(t)=М[Х(t)].

Дисперсией СП Х(t) называется неслучайная функция D_x(t), значение которой для каждого t равно дисперсии соответствующего сечения СП

D_x(t)=D[Х(t)].

Среднее квадратичное отклонение или стандарт СП выражается через дисперсию следующим образом

.

Однако указанных характеристик недостаточно для описания свойств СП. Можно представить два процесса с одинаковыми m_x(t) и D_x(t), но обладающие весьма различной внутренней структурой. Поэтому в качестве характеристики СП вводится корреляционная функция (КФ), которая представляет собой неслучайную функцию k_x(t, t') двух аргументов t и t', которая при каждой паре значений аргументов t и t' равнакорреляционному моменту (ковариации) соответствующих сечений: X(t) и X(t'), т.е.

. (1.1)

Здесь и - центрированные сечения СП, определяемые следующим образом

.

При равенстве аргументов (при t = t') КФ обращается в дисперсию случайной функции, т.е.

.

Таким образом, отпадает необходимость в дисперсии как отдельной характеристике случайной функции; последняя может характеризоваться математическим ожиданием и корреляционной функцией.

Если, в общем случае, для полного описания СП надо знать конечномерные распределения вероятностей (первое, второе, третье и т.д.), то для описания некоторых процессов достаточно располагать математическим ожиданием и корреляционной функцией. Это положение справедливо, например, для нормального (гауссовского) процесса. Все распределения вероятностей ординат такого процесса нормальны для всех сечений. Каждый гауссовский процесс однозначно определяется своим нормальным распределением вероятностей второго порядка

, (1.2)

где т и s — математическое ожидание и стандарт процесса X.

Вид кривой распределения при нормальном законе показан на рис. 1.2.

Из рисунка видно, что чем больше дисперсия и стандарт случайной величины, тем меньше наибольшая ордината р(х) и тем больше растягивается кривая распределения вдоль оси абсцисс.

Рис. 1.2. Плотности вероятностей р(х) гауссовских случайных величин, соответствующие различным значениям стандарта s.

Производя замену переменных , получим плотность нормированного нормального распределения, стандарт которого равен единице (s_u = 1):

.

Плотность такого распределения представлена на рис. 1.2 в виде кривой, соответствующей значению s = 1. Табулированные значения этой плотности приводятся в справочниках по математике. Табулируются также значения функции

,

которую называют интегралом вероятностей или функцией Лапласа.

С учетом этого интеграла для вероятности попадания любой нормальной случайной величины X с центром m и дисперсией s² в интервал можно записать

.

Наряду с функцией часто используется так называемая функция ошибок

,

с помощью которой вероятность попадания величины X в интервал записывается так

.

В связи с нечетностью функции ошибок, для определения вероятности попадания случайной величины на участок, симметричный относительно математического ожидания (рис. 1.3), используется выражение

.

Рис. 1.3. К вычислению вероятности попадания случайной величины на заданный участок.

Рис. 1.4. К вычислению вероятности отклонения случайной величины от математического ожидания на один, два и три стандарта.

Используя таблицы функции ошибок, можно оценить вероятность отклонения случайной величины от математического ожидания более чем на n стандартов s (рис. 1.4):

.

В частности, вероятность превышения случайной величиной значения т + 2s (n=2) составляет 0,02, а значения т + Зs (n=3) примерно равно 0,0015. Поэтому говорят, что отклонение случайной величины, подчиненной нормальному закону, от ее математического ожидания на величину трех стандартов практически определяет наибольшее значение случайной величины.

Амплитуды случайного узкополосного гауссовского процесса распределены по закону Рэлея. Ему практически подчиняются амплитуды и высоты волн в данном режиме нерегулярного волнения, а также амплитуды вызванных процессов, связанных линейно с волнением (например, амплитуды качки и волновых моментов водоизмещающих судов).

Плотность вероятности случайной величины A, распределенной по закону Рэлея имеет вид

, (1.3)

где параметр s связан с математическим ожиданием m_a случайной величины A зависимостью

.

По смыслу величина а является положительной, т. е. а > 0. Вид кривой распределения Рэлея показан на рис. 1.5. Наибольшая ордината плотности вероятности соответствует а=s.

Рис. 1.5. Вид плотности вероятности по закону Рэлея.

Функция распределения для закона Рэлея, т. е. вероятность того, что амплитуда а будет меньше некоторой величины , запишется в виде

.

Соответственно вероятность превышения величины , которая называется обеспеченностью, будет

. (1.4)

Логарифмируя это равенство, можно выразить значение через величину обеспеченности Q:

.

Случайная величина R имеет экспоненциальное (показательное) распределение (рис. 1.6) с параметром l>0, если

Рис. 1.6. Вид плотности вероятности при экспоненциальном законе распределения.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины R

Если случайная величина A подчиняется закону Рэлея, то ее квадрат подчиняется экспоненциальному закону. В самом деле, используя правило функционального преобразования плотности вероятности случайных величин, связанных функциональной зависимостью , на основании формулы (1.3) можно получить

Из полученной формулы следует, что математическое ожидание и дисперсия случайной величины равны

Особый интерес для практического использования при вероятностной оценке внешних сил, действующих на корпус корабля, представляют так называемые стационарные случайные функции.

Случайная функция называется стационарной в широком смысле, если

1) ее математическое ожидание постоянно (не зависит от аргумента t), т. е.

m_x(t)= m_x=const,

2) ее КФ – функция единственного аргумента t, представляющего собой сдвиг временных переменных t и t':

t – t' = t,

.

Последнее означает, что дисперсия стационарной случайной функции, как это следует из зависимости (1.2), также постоянна

,

а КФ не зависит от того, в каком месте по оси t приняты два равноотстоящих сечения.

Примером стационарного случайного процесса является морское волнение в установившемся режиме.

Поскольку КФ обладает свойством симметрии

,

то для стационарного процесса эта функция является четной

.

Часто пользуются нормированной корреляционной функцией

,

где — дисперсия процесса; при t=0 .

1.2. Каноническое разложение и спектральное представление случайной функции.

Метод канонических разложений состоит в том, что случайная функция представляется в виде суммы элементарных случайных функций . Последние представляют собой произведениянекоторых случайных величин и неслучайных функций :

.

Таким образом, при каноническом разложении случайная функция представляется в виде

, (1.5)

где — математическое ожидание функции ; V_k — некоррелированные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями.

Корреляционная функция с учетом некоррелированности случайных величин V_i (ковариации этих величин K_ij= 0 при ) будет

(1.6)

где — дисперсия случайной величины V_i.

Зависимость (1.6) называется каноническим разложением корреляционной функции.

Можно показать, что если задано каноническое разложение корреляционной функции в виде (1.6), то для случайной функции каноническое разложение имеет вид (1.5), а случайные величины V_i имеют дисперсии .

Поскольку корреляционная функция является четной функцией , то в достаточно большом временном интервале от -Т до +T (рис. 1.7) ее можно разложить в ряд Фурье по четным (косинусным) гармоникам, а именно:

. (1.7)

Здесь коэффициенты разложения с учетом четности равны

. (1.8)

Рис. 1.7. Корреляционная функция на интервале от –T до +T.

Дисперсию случайной функции, имеющей корреляционную функцию , заданную коэффициентами разложения (1.8), можно определить по формуле (1.7) при :

.

Если в качестве элементарной случайной функции принять

, (1.9)

а выражение (1.5) рассматривать как ряд Фурье, то стационарный СП может быть представлен таким каноническим разложением

. (1.10)

Здесь U_k и V_k — некоррелированные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями , определяемыми по формулам (1.8).

Каноническое разложение (1.10) называют также спектральным разложением (представлением) стационарного СП.

Исходя из этих свойств U_k и V_k, определим математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию элементарной случайной функции

;

.

Таким образом, дисперсия случайной функции Х(t), представленной в каноническом виде (1.10), равна сумме дисперсий элементарных случайных функций , которые являются одновременно коэффициентами разложения корреляционной функции стационарной случайной функции Х(t) в ряд Фурье:

. (1.11)

Зная вид корреляционной функции k_x(t), можно получить дисперсии коэффициентов канонического разложения V_k и U_k, а также частоты w_k стационарного СП Х(t).

Рассмотрим спектральное разложение стационарного СП в комплексной форме. С помощью формул Эйлера для комплексных чисел

(i —мнимая единица) элементарный стационарный СП вида (1.10) может быть записан в комплексной форме

(1.12)

где (1.13)

Горизонтальная черта над буквенными обозначениями комплексных величин означает здесь и далее операцию сопряжения.

Покажем, что выражение (1.12) представляет собой каноническое разложение элементарного стационарного СП в комплексной форме, т.е. что дисперсия равна , а - некоррелированные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями. Из (1.13) следует, что

так как . Аналогично получим:

Покажем, что случайные величины не коррелированны. Ковариацию этих случайных величин определим как математическое ожидание произведения на комплексно-сопряженную случайную величину :

так как .

Найдем дисперсию случайной величины как математическое ожидание квадрата модуля :

Аналогично,

Корреляционная функция элементарного стационарного СП (1.10) имеет вид

.

Поскольку то

. (1.14)

Выражение (1.14) представляет собой разложение корреляционной функции элементарного стационарного СП в комплексной форме.

Следовательно, спектральное разложение стационарного СП (1.10) в комплексной форме имеет вид

.

Здесь учтено, что

Корреляционная функция этого СП

(1.15)

Рассмотрим, как будет преобразовываться спектральное разложение (1.10) при неограниченном увеличении интервала разложения (T®¥). Введем в рассмотрение частотный интервал Dw между соседними гармониками, частоты которых равны и . Представим разложение (1.10) в таком виде:

.

Рассмотрим предел этого выражения при Dw® 0. Введем обозначения:

.

Тогда при T® ¥ (Dw®0 и kDw®0) получим интегральное каноническое представление стационарного СП:

,

где V(w) и U(w) —случайные функции непрерывного аргумента w - частоты.

Такая модель случайного процесса часто используется при решении прикладных проблем теории случайных функций. В этой теории [1] показывается, что случайные функции V(w) и U(w) представляют собой специфический процесс (белый шум) с характеристиками

,

где S_x(w) —некоторая неотрицательная функция частоты w, называемая спектральной плотностью стационарного СП Х(t) (определение которой будет дано ниже), d(w )—дельта-функция.

Интегральное представление стационарного СП может производиться и в комплексной форме с помощью интеграла Фурье:

. (1.16)

Выясним, какими свойствами должна обладать функция для того, чтобы стационарный СП Х(t), корреляционная функция которого должна зависеть от разности моментов времени, мог бы быть представлен в таком виде. Рассмотрим корреляционную функцию

подынтегральное выражение которой будет зависеть от разности моментов времени, если корреляционная функция равна произведению спектральной плотности СП Х(t) на функцию

. (1.17)

В этом случае после интегрирования по в выражении для получим

Спектральная плотность

При спектральном представлении стационарного СП и каноническом разложении корреляционной функции выше использовалось разложение функций в ряд Фурье. Этот ряд представляет собой разложение периодической функции по тригонометрическим функциям на некотором конечном временном интервале от —Т до +T. При наличии периодичности функции и конечности временного интервала число членов ряда конечно, а частоты гармоник образуют дискретный спектр. Это разложение можно обобщить и на случай непериодической функции. Приближенный метод разложения в ряд Фурье для непериодической функции состоит в применении предельного перехода при т.е. непериодическую функцию рассматривают как периодическую при неограниченно возрастающем периоде.

Представив (1.7) в формулу (1.6) запишем разложение корреляционной функции в ряд Фурье в виде

. (1.18)

Перейдем к пределу, устремляя Т к бесконечности и полагая . Величина есть частотный интервал между соседними гармониками, частоты которых равны и . При предельном переходе положим, что при и , а , где — текущая частота, изменяющаяся непрерывно. Сумма в уравнении (1.18) перейдет в интеграл, тогда

(1.19)

Введем обозначение

(1.20)

Тогда (1.19) примет вид

(1.21)

Зависимости (1.20) и (1.21) часто называют формулами Винера-Хинчина. Во многих практических задачах корреляционная функция может быть найдена из данных эксперимента, а спектральная плотность процесса—по зависимости (1.20).

Функция , представимая в форме (1.19), имеет непрерывный спектр. Если ряд Фурье (1.18) дает возможность представить периодическую функцию в виде суммы бесконечного числа косинусоид с частотами, имеющими дискретные значения, то интеграл Фурье (1.21) представляет непериодическую функцию в виде суммы синусоид с непрерывной последовательностью частот. Спектр периодической функции можно изобразить графически (рис. 1.3.). Каждому дискретному значению частотырис. 1.2 (частоты гармоник ряда Фурье) соответствует определенное значение коэффициента ряда D_k. Спектр, показанный на рис. 1.8, называют дискретным или линейчатым.

Рис. 1.8. Линейчатый спектр СП.

Рассмотрим теперь спектр непериодической функции. В результате предельного перехода от ряда к интегралу Фурье (от конечного интервала времени T к бесконечному) интервалы между отдельными спектральными линиями неограниченно сокращаются, вертикальные линии (см. рис. 1.3) все больше сближаются. Амплитуда D_k каждой отдельной гармоники с частотой уменьшается и в пределе становится бесконечно малой.

Введем обозначение

D_k/Dw₁ =

Величина Dw₁ = D_k представляет собой ту часть общей дисперсии стационарного СП Х(t), которая приходится на k-ю гармонику. С увеличением периода разложения (T® ¥) ступенчатая (постоянная на любом частотном интервале ) функция не будет постоянно уменьшаться (как величины D_k и Dw₁), а будет неограниченно приближаться к предельной плавной кривой S_x(w), которая представляет собой плотность распределения дисперсий по частотам непрерывного спектра.

Таким образом,

. (1.22)

Поэтому функцию , определяемую как косинус-преобразование Фурье (1.20) корреляционной функции , называют спектральной плотностью (или просто спектром)процесса .

Спектральная плотность S_x(w) стационарного СП обладает следующими свойствами:

1°. Она является неотрицательной функцией частоты w :

S_x(w) ³ 0.

Это следует из выражения (1.22), так как предел отношения двух неотрицательных величин D_k ³ 0 и Dw > 0 не может быть отрицательным.

2°. Интеграл от спектральной плотности в пределах от 0 до ¥ равен дисперсии стационарного СП:

. (1.23)

Это следует из равенства (1.21):

.

Графически эти два свойства спектральной плотности отображены на рис. 1.9. Кривая S_x(w) спектральной плотности расположена не ниже оси абсцисс, а площадь, ограниченная этой кривой сверху, осью абсцисс снизу и осью ординат слева, равна дисперсии D_x (заштрихованная фигура на рис. 1.4).

Рис. 1.9. Спектральная плотность СП.

По аналогии с нормированной корреляционной функцией

r_x(t) = k_x(t)/k_x(0) = k_x(t)/D_x (1.24)

вводится в рассмотрение нормированная спектральная плотность стационарного СП:

s_x(w) = S_x(w)/D_x . (2.25)

Нормированная КФ и нормированная спектральная плотность связаны между собой преобразованием Фурье:

(1.26)

Определим понятие спектральной плотности стационарного СП в комплексной форме. Для этого перепишем каноническое разложение КФ (1.15) в виде

(1.27)

где .

Подставляя в (1.27) выражение для коэффициента , получим

(1.28)

Осуществим аналогичный описанному выше предельный переход, устремляя Т к бесконечности и полагая . При таком переходе положим, как и ранее, что при и , а .Сумма в уравнении (1.28) перейдет в интеграл, тогда

(1.29)

где (1.30)

Функция называется спектральной плотностью стационарного СП в комплексной форме. Ее называют также двусторонней спектральной плотностью. В отличие от обычной (односторонней) спектральной плотности , она определена не только в области положительных частот , но и в отрицательной области (рис. 1.10). Легко показать, что при положительных выполняется соотношение .

Рис. 1.10. Односторонняя ( ) и двухсторонняя () спектральные плотности.

Двусторонние спектральные плотности (также как и разложения процесса X(t) и в комплексной форме) удобны при выполнении теоретических выкладок, но при решении прикладных задач, как правило, эффективнее применять односторонние спектры.

Двусторонняя спектральная плотность стационарного СП обладает тремя свойствами: 1) при любых (положительных и отрицательных) значениях ; 2) (четная функция); 3) интеграл от спектральной плотности в бесконечных пределах равен дисперсии СП

.

Формулы Винера-Хинчина (1.29) и (1.30), а также их аналоги (1.21) и (1.20) являются важнейшими в спектральной теории.