Категории: ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Из полученного соотношения следует. Воспользовавшись формулой для полной вероятности, окончательно получаем . (1.5) Случайные величины могут быть дискретными или непрерывными. Примером дискретной случайной величины является число попаданий при п выстрелах. Непрерывные случайные величины принимают любое значение в заданном интервале. В качестве примеров можно указать на такие случайные величины, как ошибки и результаты измерений, ординаты морских волн, углы качки корабля, величины изгибающих моментов на волнении и т. п.
Функции распределения и числовые характеристики случайных величин
Ограничимся рассмотрением непрерывных случайных величин, наиболее важных для целей излагаемого курса. Обозначим случайные величины большими буквами X, Y, Z, а их возможные значения соответственно малыми буквами х, у, z. Функцией распределения F(x) случайной величины Х называется вероятность того, что эта случайная величина примет значения, меньшие х, т.е. F(x)= Р(X <х). (1.6) Функция распределения F(x) называется также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Этой функции присущи следующие свойства: 1) она является неубывающей функцией от х, т. е. при ; 2) при ; 3) при . Вид функции распределения для непрерывной случайной величины X показан на рис. 1.1. Рис. 1.1. Вид функции распределения F(х).
Функция F(х) безразмерна. Вероятность того, что случайная величина заключена в интервале значений от до , будет (1.7) Если интервал уменьшать и полагать величину стремящейся к , то в пределе получим Р (X = ) = 0. Это означает: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет определенное значение, равна нулю. Здесь мы сталкиваемся со случаем, когда событие, состоящее в равенстве X = , возможно, но вероятность его оказывается равной нулю. Весьма удобной для рассмотрения является так называемая плотность вероятности непрерывной случайной величиныX: . Функцию р(х) называют также дифференциальной функцией распределения (рис. 1.2). Она имеет размерность 1/х. Рис. 1.2. Плотность вероятности р(х) случайной величиныX . Кривая, изображающая плотность вероятности р(х), называется кривой распределения. Очевидно . Поскольку — неубывающая функция от х, то ; . (1.8) Вероятность попадания случайной величины на участок значений от до . (1.9) Величина называется элементом вероятности и представляет собой вероятность попадания на участок от х до х + dх. Функция распределения F(х)или плотность вероятности полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Однако в ряде задач функция распределения может быть неизвестна. В таких случаях для описания вероятностных свойств могут служить некоторые числовые характеристики случайной величины. Среди этих характеристик наибольшее значение имеют математическое ожидание и дисперсия случайной величины, которые связаны с начальными моментами дифференциальной функции распределения. Начальным моментом s-го порядка называется величина . (1.10) Математическим ожиданием М[X] называется начальный момент первого порядка . (1.11) Нетрудно видеть, что математическое ожидание, которое в дальнейшем будем обозначать , равно абсциссе центра тяжести площади под кривой плотности вероятности, поскольку площадь под кривой на основании (1.8) равна единице. Математическое ожидание случайной величины характеризует ее некоторое среднее значение. Так изгибающий момент в сечении корпуса водоизмещающего судна на волнении может рассматриваться как случайная величина, для которой математическим ожиданием является изгибающий момент на тихой воде. Пользуясь понятием математического ожидания, можно записать начальный момент s-го порядка как математическое ожидание s-й степени случайной величины: (1.12) |
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-07-07 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда... |