Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Из полученного соотношения следует

.

Воспользовавшись формулой для полной вероятности, окончательно получаем

. (1.5)

Случайные величины могут быть дискретными или непрерывными. Примером дискретной случайной величины является число попаданий при п выстрелах.

Непрерывные случайные величины принимают любое значение в заданном интервале. В качестве примеров можно указать на такие случайные величины, как ошибки и результаты измерений, ординаты морских волн, углы качки корабля, величины изгибающих моментов на волнении и т. п.

 

Функции распределения и числовые характеристики случайных величин

 

Ограничимся рассмотрением непрерывных случайных величин, наиболее важных для целей излагаемого курса.

Обозначим случайные величины большими буквами X, Y, Z, а их возможные значения соответственно малыми буквами х, у, z.

Функцией распределения F(x) случайной величины Х называется вероятность того, что эта случайная величина примет значения, меньшие х, т.е.

F(x)= Р(X <х). (1.6)

Функция распределения F(x) называется также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Этой функции присущи следующие свойства:

1) она является неубывающей функцией от х, т. е. при ;

2) при ;

3) при .

Вид функции распределения для непрерывной случайной величины X показан на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Вид функции распределения F(х).

 

Функция F(х) безразмерна. Вероятность того, что случайная величина заключена в интервале значений от до , будет

(1.7)

Если интервал уменьшать и полагать величину стремящейся к , то в пределе получим

Р (X = ) = 0.

Это означает: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет определенное значение, равна нулю. Здесь мы сталкиваемся со случаем, когда событие, состоящее в равенстве X = , возможно, но вероятность его оказывается равной нулю.

Весьма удобной для рассмотрения является так называемая плотность вероятности непрерывной случайной величиныX:

.

Функцию р(х) называют также дифференциальной функцией распределения (рис. 1.2). Она имеет размерность 1/х.

Рис. 1.2. Плотность вероятности р(х) случайной величиныX .

Кривая, изображающая плотность вероятности р(х), называется кривой распределения. Очевидно

.

Поскольку неубывающая функция от х, то ;

. (1.8)

Вероятность попадания случайной величины на участок значений от до

. (1.9)

Величина называется элементом вероятности и представляет собой вероятность попадания на участок от х до х + dх.

Функция распределения F(х)или плотность вероятности полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Однако в ряде задач функция распределения может быть неизвестна. В таких случаях для описания вероятностных свойств могут служить некоторые числовые характеристики случайной величины. Среди этих характеристик наибольшее значение имеют математическое ожидание и дисперсия случайной величины, которые связаны с начальными моментами дифференциальной функции распределения.

Начальным моментом s-го порядка называется величина

. (1.10)

Математическим ожиданием М[X] называется начальный момент первого порядка

. (1.11)

Нетрудно видеть, что математическое ожидание, которое в дальнейшем будем обозначать , равно абсциссе центра тяжести площади под кривой плотности вероятности, поскольку площадь под кривой на основании (1.8) равна единице.

Математическое ожидание случайной величины характеризует ее некоторое среднее значение. Так изгибающий момент в сечении корпуса водоизмещающего судна на волнении может рассматриваться как случайная величина, для которой математическим ожиданием является изгибающий момент на тихой воде.

Пользуясь понятием математического ожидания, можно записать начальный момент s-го порядка как математическое ожидание s-й степени случайной величины:

(1.12)

Последнее изменение этой страницы: 2017-07-07

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...