Полож ряды; признаки сравнен их сходимости

Определение 5. Числовой ряд, все члены которого неотрицательны, т.е. для любого выполняется неравенство , (21) называют положительным рядом. Такие ряды точнее было бы называть рядами с неотрицательными членами, ряды с неположительными членами ( ) путём умножения на (-1) переходят в ряды с неотрицательными членами и, следовательно, можно будет сделать выводы и об их сходимости.

признаки сравнения.

Теорема 3. Пусть даны два положительных ряда

(22) , (23)

причём для всех выполняется неравенство

. (24)Тогда из сходимости ряда (23) следует сходимость ряда (22) (то есть, если сходится ряд с большими членами, то сходится и ряд с меньшими членами); из расходимости ряда (22) следует расходимость ряда (23) (то есть, если расходится ряд с меньшими членами, то ряд с большими членами также расходится).Доказательство. Обозначим частичные суммы рядов (22) и (23), соответственно, через и . Из определения 2 n-й частичной суммы ряда и неравенства (24) следует неравенство

.Пусть ряд (23) сходится; тогда по теореме 2 его частичные суммы ограничены сверху: (необходимое условие). В силу предыдущего неравенства получим, что и , откуда снова по теореме 2 (достаточное условие) следует сходимость ряда (22).

Вторая часть утверждения этой теоремы есть следствие первой. В самом деле, если бы ряд (23) сходился, то согласно первому утверждению сходился бы и ряд (22), что противоречит предположению о его расходимости. Это же утверждение вытекает и из неравенства

Теорема 4. предельный признак сравнения Пусть ряд (22) – положительный, а ряд (23) строго положительный . Если существует конечный, отличный от нуля, предел отношения общих членов этих рядов , (25) то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Если предел (25) существует, то по определению предела числовой последовательности для любого числа найдётся номер N такой, что для всех будет выполняться неравенство

или .Так как по условию теоремы , то для всех будет выполняться неравенство . (26)

Поскольку и предположено, что , то . В силу произвольности числа его можно выбрать таким, чтобы число было положительным ; для этого , может быть, придётся взять сколь угодно малым. Неравенства (26) позволяют применять теорему 3 (первый признак сравнения). Именно, будем сравнивать положительные ряды с членами .Пусть ряд с членами сходится. Так как , то по первому признаку сравнения (теорема 3) ряд с членами сходится, а тогда по свойству 2 сходится и ряд с членами .Пусть теперь сходится ряд с членами . Тогда по свойству 2 сходится ряд с членами . Но так как согласно (26) , то по теореме 3 сходится и ряд с членами .

Итак, сходимость одного из рядов (22) и (23) при влечёт за собой сходимость другого ряда (тем самым, если один из них расходится, то расходится и другой). Теорема доказана.

Предельный признак Даламбера

Пусть в случае строго положительного ряда существует предел . (29) Тогда при ряд сходится; при ряд расходится;

при ряд может как сходиться , так и расходиться (признак ответа не даёт).

Доказательство.Условие (29) по определению предела последовательности означает следующее: для любого найдётся такой номер N, что для всех будут выполнены неравенства

. Действительно, в этом случае в силу произвольности числа его можно выбрать таким, чтобы выполнялось неравенство ( за положительное число можно взять любое число, меньшее чем ). Следовательно, по теореме 5 ряд сходится.

Если , то, взяв , получим, что . Тогда для будет выполнено неравенство ряд расходится.

Покажем, что при ряд может как сходиться, так и расходиться. Приведём по этому случаю примеры. Так, для гармонического ряда имеем, что

.Рассмотрим теперь ряд с общим членом . И в этом случае :

.Но гармонический ряд расходится, а ряд сходится.

Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражения видов , .

Предельный признак Коши

Пусть для положительного ряда (22) существует предел

. (32)Тогда при ряд сходится;

при ряд расходится; при возможны как сходимость, так и расходимость ряда.

Доказательство. На основании определения предела последовательности условие (32) означает следующее: для любого найдётся такой номер N, что для всех будут выполнены неравенства

. надо установить, что

и .Вычислим только первый из этих пределов, так как второй получится из первого на основании равенства

. Для вычисления первого предела (неопределённость вида ) рассмотрим выражение с непрерывной переменной . Прологарифмируем это выражение и докажем, что . Действительно, . Для вычисления последнего предела (неопределённость ) применим правило Лопиталя:

.

Так как , то . Теорема доказана.