Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Миноры и алгебраические дополнения элементов.

Матрицы и операции над ними

Система из m n элементов аij некоторого множества К, расположенных в виде прямоугольной таблицы, состоящей из m строк и n столбцов, называется матрицей размерности m n. Часто К – это множество всех действительных чисел или множество всех комплексных чисел.

В подробной записи матрица А с элементами аij размерности mхn имеет вид

А=( )

Если число строк в матрице равно числу cтолбцов (m=n), то матрица называется квадратной, а число строк (число столбцов) – ее порядком. В остальных случаях матрицы называют прямоугольными.

Две матрицы А=(аij) и В=(bij) одинаковой размерности m n называются равными (пишут А=В).

Основными операциями над матрицами являются следующие три операции:

-умножение матрицы на действительное число.

-сложение матриц.

- умножение матриц.

Таким образом, умножить матрицу А на число α означает, что надо умножить каждый элемент данной матрицы на это число.

Суммой двух матриц одинаковой размерности называется

матрица С = А+В такой же размерности m×n.

Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С = АВ размерности m×s, элементы Сik которой находятся по формуле

Cik = ai1b1k + … + ainbnk = (i =1,…,m; k = 1,…,s).

Отметим, что матрицу А можно умножить на матрицу В только в том случае, если

число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Если произведение АВ суще-

ствует, то ВА может и не существовать. В общем случае АВ ≠ ВА, т.е. матрицы при ум-

ножении не перестановочны (не коммутируют).

 

Определители 1,2 и 3 порядков

Каждой квадратной матрице А по определенным правилам ставится в соответствие число, называемое определителем или детерминантом этой матрицы. Обозначения определителя следующие: |А|, ∆(А), det А. Если матрица задана своей таблицей, то определитель обозначают путем заключения этой таблицы вертикальными чертами. Определителем первого порядка, соответствующим матрице А = (а11) первого порядка, называется сам элемент а11:

∆(А) ≡ |а11| = а11.

Определители квадратных матриц второго порядка называются определителями второго порядка. Это число определяется равенством

= а11 а22 – а21 а22

определитель второго порядка равен разности произведений элементов, стоящих на главной диагонали, и элементов, стоящих на второй (побочной)

диагонали.

Определителем квадратной матрицы третьего порядка (определителем третьего порядка) называется число, определяемое по формуле

= a11 a22 a33+ a12 a23 a31+ a21 a32 a13 – a31 a22 a13 – a21 a12 a33 – a32 a23 a11

 

Миноры и алгебраические дополнения элементов.

Определители n-го порядка

Определители квадратных матриц второго и высшего порядков вычисляются методом разложения определителя по элементам строки (столбца). Для этого вводятся понятие минора и алгебраического дополнения элемента матрицы.

Минором Мij элемента аij квадратной матрицы А порядка n ≥ 2 называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из элементов матрицы А (без изменения их распо ложения) путем вычеркивания i –й строки и j – го столбца, на пересечении которых

находится элемент аij

Алгебраическим дополнением (адъюнктом) Аij элемента аij называется число, определяемое равенством Аij = (-1)i+jMij .

Тогда определители второго и третьего порядков вычисляются методом разложения по элементам какой-нибудь строки (какого-нибудь столбца).

Например: = а11 А11 + а12А12

вычисление определителя второго порядка сведется к вычислению определителей

первого порядка, а вычисление определителя третьего порядка – к вычислению определителей второго порядка.

Определитель n-го порядка введем по определению как разложение по элементам первой строки:

= =a11A11+…+a1nA1n

Формула позволяет вычислить определитель n-го порядка через определители (n-1)-го порядка, постепенно снижая порядок до вычисления определителей второго порядка.

Доказывается, что определитель n-го порядка можно вычислять разложением поэлементам любой его строки (любого его столбца). На практике надо вычислять определитель разложением по элементам той строки (того столбца), в которой (в котором) имеется больше всего нулей, т.к. это позволяет не вычислять миноры Мij тех элементов аij, которые равны нулю.

 

 

Свойства определителей

Свойство 1.

Определитель не меняется при транспонировании, т.е. Δ(А)= Δ(А^T).

Свойство 2.

При перестановке двух строк (или столбцов) определитель меняет знак.(Для определителей 3го порядка свойство можно доказать непосредственным применением правила треугольника.)

Свойство 3.

(для определителей 2го и 3го порядка). Определитель n-го порядка = сумме произведений элементов любой строки на соответствующие им алгебраические дополнения.

= ai1 Ai1+ai2Ai2+…+ainAin (i=1,…,n)

Свойство 4.

Определитель у которого две строки одинаковы = 0.

Свойство5.

Если все элементы какой-либо строки определителя = 0, то и определитель =0.(Это св-во вытекает из свойства 3, только нужно разложить этот определитель по элементам его нулевой строки.)

Свойство6.

Если все элементы какой-нибудь строки определителя умножить на одно и то же число альфа, то значение определителя умножится на это число.

Свойство7.

Определитель у которого элементы 2х строк соответственно пропорциональны = 0.

Свойство8.

Пусть каждый элемент i-ой строки определителя есть сумма 2х слагаемых:

Aij = bj + cj (j=1,…,n)

Тогда заданный определитель = сумме 2х определителей: у одного из них i-ая строка состоит из элементов bj , а у другого- из элементов cj; все остальные строки этих 2х опред-й , кроме i-ой, имеют такие же элементы, как и исходный определитель

Свойство9.

Определитель не изм-ся, если к элементам какой-нибудь строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число. Свойство10.

Сумма произведений элементов какой-нибудь строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки = 0, т.е.

ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0 (i≠j)

Доказательство. Пусть Δ(А) - определитель квадратной матрицы А. Заменим в матрице А j-ю строчку её i-ой строчкой, а все остальные строки, включая i-ю, оставим без изменения. В результате получим новую матрицу В, у которой i-я и j-я строки совпадают. По свойству 4 опр-ль этой матр =0: Δ(В)=0. Теперь вычислим определитель матрицы В разложением по элементам j-ой строки. При этом учтем , что миноры элементов j-й строки матрицы В совпадают с минорами соответствующих элементов j-й строки матрицы А. Тогда совпадают и алгебр дополнения элементов j-й строки матриц А и В. В результате получим:

Δ(B) = ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn

Отсюда получаем 1е, т.к. ранее установлено, что Δ(В)=0.

Теорема. Определитель произведения 2х матриц n-го порядка = произведению определителей этих матриц: Δ(АВ)= Δ(А)* Δ(В).

 

Алгоритм Гаусса

Алгоритм Гаусса использует элементарные преобразования матрицы двух типов.

Преобразование первого рода: две строки матрицы меняются местами, и при этом знаки всех элементов одной из строк изменяются на противоположные.

Преобразование второго рода: к одной строке матрицы прибавляется другая строка, умноженная на произвольное число.

Элементарные преобразования сохраняют определитель и ранг матрицы, а также множество решений линейной системы. Алгоритм Гаусса приводит произвольную матрицу элементарными преобразованиями к ступенчатому виду. Для ступенчатой квадратной матрицы определитель равен произведению диагональных элементов, а ранг - числу ненулевых строк

Метод Гаусса в математическом варианте состоит в следующем:

ищем сначала ненулевой элемент в первом столбце. Если все элементы первого столбца нулевые, то переходим ко второму столбцу, и так далее. Если нашли ненулевой элемент в k-й строке, то при помощи элементарного преобразования первого рода меняем местами первую и k-ю строки, добиваясь того, чтобы первый элемент первой строки был отличен от нуля;

используя элементарные преобразования второго рода, обнуляем все элементы первого столбца, начиная со второго элемента. Для этого от строки с номером k вычитаем первую строку, умноженную на коэффициент ak1/a11 .

переходим ко второму столбцу (или j-му, если все элементы первого столбца были нулевыми), и в дальнейшем рассматриваем только часть матрицы, начиная со второй строки и ниже. Снова повторяем пункты 1) и 2) до тех пор, пока не приведем матрицу к ступенчатому виду.

 

Метод Крамера

Система линейных алгебраических уравнений называется крамеровской, если число m уравнений совпадает с числом n неизвестных и определитель ∆(А) квадратной матрицы А данной системы отличен от нуля. Определитель ∆(А), называемый определителем системы, имеет вид

= (1)

Каждая крамеровская система линейных уравнений совместна и определенна, т.е. имеет единственное решение, которое определяется формулами Крамера

 

x1 = ,…,xj= ,…,xn=

 

Здесь Δj (j = 1, …, n) есть определитель, получающийся из определителя (1) системы путем замены его j – го столбца столбцом из свободных членов система.

Если Δ = 0 и хотя бы один из определителей Δj не равен нулю, то система не совместна. Если Δ = 0 и все определители Δj равны нулю, то система может быть совместной (тогда она имеет бесконечно много различных решений) или несовместной.

Для решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера нужно вычислить определители Δ,Δ x1, Δ x2, Δ x3, где Δ – определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, Δ x1, Δ x2, Δ x3 получены из Δ заменой столбцов коэффициентов при x1, x2, x3 соответственно на столбец свободных членов.

При этом, если 1) Δ не= 0, система имеет единственное решение 2) Δ = Δ x1= Δ x2= Δ x3=0, система несовместна или имеет бесконечное множество решений; 3) Δ =0 и хотя бы один из Δ x1, Δ x2, Δ x3 отличен от нуля, система несовместна.

 

Ранг матрицы, теоремы о ранге.

Выберем в матрице А =aij размерности m n произвольные к строк и к столбцов, где 1 ≤ к ≤ min {m, n}. Определитель к-го порядка, составленный из элементов этой матрицы, расположенных на пересечении выделенных к строк и к столбцов, называется минором Мк к-го порядка матрицы А.

Минорами первого порядка являются сами элементы матрицы А, а их число равно mn. Если матрица нулевая, то все ее возможные миноры равны нулю.

Если все миноры некоторого порядка данной матрицы А равны нулю, то равны нулю и все миноры более высоких порядков.

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров, то данное определение не позволяет говорить о ее ранге. По определению полагают, что ранг нулевой матрицы равен нулю. Если матрица имеет хотя бы один отличный от нуля элемент, то r ≥ 1. Тогда ясно, что только нулевая матрица имеет ранг, равный нулю.

Пусть Мк – главный (угловой) минор матрицы А порядка к. Любой минор (к + 1)-го порядка вида

М (k+1)=

получающийся из Мк добавлением элементов i-й строки и j-го столбца, называется окаймляющим для минора Мк.

Справедлива теорема: если какой-нибудь угловой минор r-го порядка матрицы А отличен от нуля, а все миноры (r + 1)-го порядка, его окаймляющие, равны нулю, то ранг матрицы равен r. Из этой теоремы получаем следующий способ вычисления ранга матрицы: при вычислении ранга следует переходить от миноров меньших порядков к минорам высших порядков; если при этом окажется, что какой-то минор Мr отличен от нуля, а все окаймляющие миноры Мк+1 равны нулю, то ранг матрицы равен r.

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:

1) перестановка местами любых двух строк;

2) умножение любой строки на произвольное отличное от нуля число;

3) прибавление к любой строке всякой другой строки, умноженное на не- которое число;

4) аналогичные преобразования столбцов матрицы.

Справедлива теорема: при элементарных преобразованиях матрицы ее ранг не изменяется. Тогда при вычислении ранга матрицы можно исключить из рассмотрения (вычеркнуть, отбросить):

1) нулевые строки;

2) одну из двух равных строк;

3) одну из двух пропорциональных строк;

4) строку, являющуюся линейной комбинацией остальных строк.

Обычно, отбрасывая нулевые строки и столбцы, матрицу А = (аij) приводят к трапецоидальной форме или треугольной форме, если все элементы b11, b22, …, brr этих двух матриц отличны от нуля, то их ранги равны числу r.

 

Разложение вектора по базису.

Определение. Пусть – произвольный вектор, – произвольная система векторов. Если выполняется равенство

, (1)

то говорят, что вектор представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов является базисом векторного пространства, то равенство называется разложением вектора по базису . Коэффициенты линейной комбинации называются в этом случае координатами вектора относительно базиса .

Теорема. (О разложении вектора по базису.)

Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.

Доказательство. 1) Пусть L произвольная прямая (или ось) и –базис .

 

 

Прямая линия на плоскости.

Уравнением данной кривой (линии) на плоскости в выбранной системе коорди-

нат Oxy называется такое уравнение

F(x, y) =0,

которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки, и не удовлетворяют коор-

динаты ни одной точки, не лежащей на ней.

Основным предметом аналитической геометрии на плоскости является изучение

так называемых алгебраических линий, т.е. линий, которые определяются алгебраи-

ческим уравнением некоторой степени

Уравнение называется общим алгебраическим уравнением первой степени,

при это исключаются одновременное обращение в нуль коэффициентов A и B. Урав-

нение называется общим алгебраическим уравнением второй степени. Чтобы

уравнение содержало члены второй степени, надо предполагать, что хотя бы один

из коэффициентов A, B, C при членах второй степени был отличен от нуля.

Классификация задач ЛП

п.

1.Общая задача линейного программирования. Найти совокупность значений переменных х1,х2,...,хn, удовлетворяющих системе ограничений

-Приведем необходимые для дальнейшего определения.

1.Функция Z называется целевой функцией.2.Всякое неотрицательное решение системы называется допустимым решением или допустимым планом. Допустимый план обычно записывается в виде n-мерного вектора Х(счерт)(х1,х2,...,хn).3.Совокупность всех допустимых решений называется множеством(областью) допустимых решений.4.Допустимое решение, для которого целевая ф-ция достигает экстремума, называется оптимальным решением или оптимальным планом.

2.Стандартная задача линейного программирования. Найти совокупность значений переменных x1,x2,..,xn,удовлетворяющих системе неравенств:

3.Основная задача линейного программирования.Найти совокупность переменных x1,x2,...,xn, удовлетворяющих системе уравнений:

для которых целевая ф-ция Z=c1x1+c2x2+...+cnxn достигает максимума.

Можно использовать компактную запись основной задачи линейного программирования.

Найти максимум ф-ции

Замечание. Если в задаче требуется найти минимальное значение ф-ции Z, то заменив ее на противоположную

мы придем к эквивалентной задаче о максимизации ф-ции Z1.

 

 

31. Графический метод решения задач ЛП:

-Построим прямые,соотв каждому ограничению(2х1+3х2=5)

-Найдем решение каждого ограничения в отдельности,для этого выберем любую точку на плоскости(1,3) и подставим ее в данное ограничение.если нерав несправедливо,то не явл решением огранич,то решениям явл все точки,противоположные прямой;если же справедливо,то реш явл полуплоскость,которой принадл данная точка.

-Находим общую область системы лин ограничений.Для этого отбрас области,не явл реш-ем.Получается прямоугольник.Множ-во точек явл реш.

-Строим целевой вектор,координаты которого совпадают с коэфф данной функции зэд.Начало ветора равно началу координат.

-Проводим через область реш системы ограничений(прямоуг) перпендикулярно целевому вектору линию уровню(в любом месте,проход через область)

-Перемещаем линию уровня паралл самой себе в направлении вектора до самой крайней точки области.В этой точке функция принимает макс знач.Определяем координаты этой точки.(через систему уравнений тех прямых,на пересечении которых нах-ся точка)

-Это и будет ответ(координаты точки)

Теоремы симплексного метода.

Теорема1.(Достаточное условие оптимальности опорного плана). Если решается задача и при этом все элементы оценочной строки симплексной таблицы неотриц., то соответствующий план этой задачи явл-ся оптимальным, а элемент а00 представляет собой наибольшее значение целевой ф-ции на мн-ве планов задачи.

Теорема2.(Случай неограниченности целевой ф-ции).Если оценочная строка задачи содержит отрицательный элемент, например, а0n, а в столбце, соответствующему неизвестному xn, нет ни одного положительного элемента, то на мн-ве планов задачи целевая ф-ция не ограничена сверху.

Теорема3.(Об улучшении опрного плана).Если решается задача и в оценочной строке симплексной таблицы есть хотя бы один отрицательный элемент а0k, а соответствующий столбец содержит хотя бы один положительный элемент, то можно улучшить план, выполнив преобразование однократного замещения.

33. Алгоритм симплекс-метода:

-Методом жордана гаусса система лин алг уравнений в матричном виде приводится к канонической

-Указывается первоначальное опорное решение

-Заполняется симплексная таблица

-Решение заканчивается если имеет место условие отсутствия оптимального решения ввиду неограниченности целевой функции(согласно Теореме если целевая функция задачи ЛП достигает оптимального значения в нескольких точках,то она достигает его в любой точке)

-Если все оценки свободных переменных оценочной строки исходной симплексной таблицы не отрицат,то первонач опорное решение будет оптимальным(по Теореме1).Оно будет единственным,если все оценки положительны.Наличие нулевых оценок свободных переменных свидетельствует о множестве оптимальных решений(Т:если существует единственное оптимальное решение и множество допустимых решений ограничено,то оптимальное реш совпадает с одним из опорных)

-Если в первой оценочной строке имеются отрицательные элементы,то нужно переходить к новым опорнм решениям.Переход возможен,если в каком либо столбце с отриц элементом имеется хотя бы один положительный коэфф.Переход осуществл с помощью преобразов однократного замещения.При этом разрешающ столбец выбирается по наименьш отрицат оценке свободной переменной.Заполняется вторая оценочная строка. Шаги симплексного метода продолж до тех пор,пока не возникнут ситуации пункта 4,5.Разреш столб и строк обознач стрелочкой

Матрицы и операции над ними

Система из m n элементов аij некоторого множества К, расположенных в виде прямоугольной таблицы, состоящей из m строк и n столбцов, называется матрицей размерности m n. Часто К – это множество всех действительных чисел или множество всех комплексных чисел.

В подробной записи матрица А с элементами аij размерности mхn имеет вид

А=( )

Если число строк в матрице равно числу cтолбцов (m=n), то матрица называется квадратной, а число строк (число столбцов) – ее порядком. В остальных случаях матрицы называют прямоугольными.

Две матрицы А=(аij) и В=(bij) одинаковой размерности m n называются равными (пишут А=В).

Основными операциями над матрицами являются следующие три операции:

-умножение матрицы на действительное число.

-сложение матриц.

- умножение матриц.

Таким образом, умножить матрицу А на число α означает, что надо умножить каждый элемент данной матрицы на это число.

Суммой двух матриц одинаковой размерности называется

матрица С = А+В такой же размерности m×n.

Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С = АВ размерности m×s, элементы Сik которой находятся по формуле

Cik = ai1b1k + … + ainbnk = (i =1,…,m; k = 1,…,s).

Отметим, что матрицу А можно умножить на матрицу В только в том случае, если

число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Если произведение АВ суще-

ствует, то ВА может и не существовать. В общем случае АВ ≠ ВА, т.е. матрицы при ум-

ножении не перестановочны (не коммутируют).

 

Определители 1,2 и 3 порядков

Каждой квадратной матрице А по определенным правилам ставится в соответствие число, называемое определителем или детерминантом этой матрицы. Обозначения определителя следующие: |А|, ∆(А), det А. Если матрица задана своей таблицей, то определитель обозначают путем заключения этой таблицы вертикальными чертами. Определителем первого порядка, соответствующим матрице А = (а11) первого порядка, называется сам элемент а11:

∆(А) ≡ |а11| = а11.

Определители квадратных матриц второго порядка называются определителями второго порядка. Это число определяется равенством

= а11 а22 – а21 а22

определитель второго порядка равен разности произведений элементов, стоящих на главной диагонали, и элементов, стоящих на второй (побочной)

диагонали.

Определителем квадратной матрицы третьего порядка (определителем третьего порядка) называется число, определяемое по формуле

= a11 a22 a33+ a12 a23 a31+ a21 a32 a13 – a31 a22 a13 – a21 a12 a33 – a32 a23 a11

 

Миноры и алгебраические дополнения элементов.

Определители n-го порядка

Определители квадратных матриц второго и высшего порядков вычисляются методом разложения определителя по элементам строки (столбца). Для этого вводятся понятие минора и алгебраического дополнения элемента матрицы.

Минором Мij элемента аij квадратной матрицы А порядка n ≥ 2 называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из элементов матрицы А (без изменения их распо ложения) путем вычеркивания i –й строки и j – го столбца, на пересечении которых

находится элемент аij

Алгебраическим дополнением (адъюнктом) Аij элемента аij называется число, определяемое равенством Аij = (-1)i+jMij .

Тогда определители второго и третьего порядков вычисляются методом разложения по элементам какой-нибудь строки (какого-нибудь столбца).

Например: = а11 А11 + а12А12

вычисление определителя второго порядка сведется к вычислению определителей

первого порядка, а вычисление определителя третьего порядка – к вычислению определителей второго порядка.

Определитель n-го порядка введем по определению как разложение по элементам первой строки:

= =a11A11+…+a1nA1n

Формула позволяет вычислить определитель n-го порядка через определители (n-1)-го порядка, постепенно снижая порядок до вычисления определителей второго порядка.

Доказывается, что определитель n-го порядка можно вычислять разложением поэлементам любой его строки (любого его столбца). На практике надо вычислять определитель разложением по элементам той строки (того столбца), в которой (в котором) имеется больше всего нулей, т.к. это позволяет не вычислять миноры Мij тех элементов аij, которые равны нулю.

 

 

Свойства определителей

Свойство 1.

Определитель не меняется при транспонировании, т.е. Δ(А)= Δ(А^T).

Свойство 2.

При перестановке двух строк (или столбцов) определитель меняет знак.(Для определителей 3го порядка свойство можно доказать непосредственным применением правила треугольника.)

Свойство 3.

(для определителей 2го и 3го порядка). Определитель n-го порядка = сумме произведений элементов любой строки на соответствующие им алгебраические дополнения.

= ai1 Ai1+ai2Ai2+…+ainAin (i=1,…,n)

Свойство 4.

Определитель у которого две строки одинаковы = 0.

Свойство5.

Если все элементы какой-либо строки определителя = 0, то и определитель =0.(Это св-во вытекает из свойства 3, только нужно разложить этот определитель по элементам его нулевой строки.)

Свойство6.

Если все элементы какой-нибудь строки определителя умножить на одно и то же число альфа, то значение определителя умножится на это число.

Свойство7.

Определитель у которого элементы 2х строк соответственно пропорциональны = 0.

Свойство8.

Пусть каждый элемент i-ой строки определителя есть сумма 2х слагаемых:

Aij = bj + cj (j=1,…,n)

Тогда заданный определитель = сумме 2х определителей: у одного из них i-ая строка состоит из элементов bj , а у другого- из элементов cj; все остальные строки этих 2х опред-й , кроме i-ой, имеют такие же элементы, как и исходный определитель

Свойство9.

Определитель не изм-ся, если к элементам какой-нибудь строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число. Свойство10.

Сумма произведений элементов какой-нибудь строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки = 0, т.е.

ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0 (i≠j)

Доказательство. Пусть Δ(А) - определитель квадратной матрицы А. Заменим в матрице А j-ю строчку её i-ой строчкой, а все остальные строки, включая i-ю, оставим без изменения. В результате получим новую матрицу В, у которой i-я и j-я строки совпадают. По свойству 4 опр-ль этой матр =0: Δ(В)=0. Теперь вычислим определитель матрицы В разложением по элементам j-ой строки. При этом учтем , что миноры элементов j-й строки матрицы В совпадают с минорами соответствующих элементов j-й строки матрицы А. Тогда совпадают и алгебр дополнения элементов j-й строки матриц А и В. В результате получим:

Δ(B) = ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn

Отсюда получаем 1е, т.к. ранее установлено, что Δ(В)=0.

Теорема. Определитель произведения 2х матриц n-го порядка = произведению определителей этих матриц: Δ(АВ)= Δ(А)* Δ(В).

 

Алгоритм Гаусса

Алгоритм Гаусса использует элементарные преобразования матрицы двух типов.

Преобразование первого рода: две строки матрицы меняются местами, и при этом знаки всех элементов одной из строк изменяются на противоположные.

Преобразование второго рода: к одной строке матрицы прибавляется другая строка, умноженная на произвольное число.

Элементарные преобразования сохраняют определитель и ранг матрицы, а также множество решений линейной системы. Алгоритм Гаусса приводит произвольную матрицу элементарными преобразованиями к ступенчатому виду. Для ступенчатой квадратной матрицы определитель равен произведению диагональных элементов, а ранг - числу ненулевых строк

Метод Гаусса в математическом варианте состоит в следующем:

ищем сначала ненулевой элемент в первом столбце. Если все элементы первого столбца нулевые, то переходим ко второму столбцу, и так далее. Если нашли ненулевой элемент в k-й строке, то при помощи элементарного преобразования первого рода меняем местами первую и k-ю строки, добиваясь того, чтобы первый элемент первой строки был отличен от нуля;

используя элементарные преобразования второго рода, обнуляем все элементы первого столбца, начиная со второго элемента. Для этого от строки с номером k вычитаем первую строку, умноженную на коэффициент ak1/a11 .

переходим ко второму столбцу (или j-му, если все элементы первого столбца были нулевыми), и в дальнейшем рассматриваем только часть матрицы, начиная со второй строки и ниже. Снова повторяем пункты 1) и 2) до тех пор, пока не приведем матрицу к ступенчатому виду.

 

Последнее изменение этой страницы: 2016-08-28

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...