Моделирование одномерных временных рядов

Моделирование одномерных временных рядов

Направление подготовки дипломированного специалиста

080100 «Экономика»

Специальность 080109 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»

Уфа 2010

УДК

ББК

К

Рекомендовано к изданию методической комиссией экономического факультета (протокол №4 от «19» февраля 2010 г.)

Составитель: к.э.н., старший преподаватель Кабашова Е.В.

Рецензент: к.э.н., доцент кафедры бухгалтерского учета и анализа Никитина А.А.

Ответственный за выпуск: зав. кафедрой статистики и информационных систем в экономике, д.э.н., профессор Рафикова Н.Т.

Цель работы – овладеть навыками построения аддитивных и мультипликативных моделей временного ряда.

Теоретические положения

Существует аддитивная и мультипликативная модели временного ряда. Общий вид аддитивной модели следующий: Y=T+S+E как сумма трендовой (Т), сезонной (S) и случайной (Е) компонент.

Мультипликативная модель выглядит так: Y=T*S*E, как произведение тренд (Т), сезонный (S) и случайный (Е) компонент.

Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда.

Если амплитуда сезонных колебаний вырастает или уменьшается, строят мультипликативную модель, которая ставит уровни ряда в зависимости от значений сезонной компоненты.

Процесс построения модели состоит из следующих шагов:

1 Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2 Расчет значений сезонной компоненты S.

3 Устранение сезонной компоненты из исходных уравнений ряда и получение выравненных данных (Т+Е) в аддитивной или (Т×Е) в мультипликативной модели.

4 Аналитическое выравнивание уровней (Т+Е) или (Т×Е) и расчет значений с использованием полученного уравнения тренда.

5 Расчет полученных по модели значений (Т+S) или (Т×S).

6 Расчет абсолютных и относительных ошибок.

Таблица 3 Расчет значений сезонной компоненты в аддитивной модели

Показатель	Год	Номер квартала
		- 7,175 7,638	- 1,988 0,013	-2,238 -2,600 -	-7,663 -5,763 -
Итого за i-й квартал (за все годы)	´	14,813	2,001	-4,838	-13,426
Средняя оценка сезонной компоненты для i-ого квартала,	´	7,407	1,001	-2,419	-6,713
Скорректированная сезонная компонента,	´	7,588	1,182	-2,238	-6,532

Найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты . В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по все кварталам должна быть равна нулю.

Имеем для данной модели: 7,407+1,001-2,419-6,713 = -0,724.

Определим корректирующий коэффициент:

.

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом :

, где

Проверим условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты: 7,588+1,182-2,238-6,532 = 0.

Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:

1 кв.: 2 кв.: 3 кв.: 4 кв.:

Занесем полученные значения в таблицу 4 для соответствующих кварталов каждого года (графа 3).

Шаг 3. Вычтем значение сезонной компоненты из каждого уровня исходного временного ряда, чтобы устранить ее влияние. Получим: T + E = Y – S (графа 4 таблицы 4). Эти значения рассчитываются для каждого момента времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 4 Расчет выравненных значений Т и ошибок Е в аддитивной модели

			Т + Е =	Т	Т + S	Е = - (T + S)
	50,2	7,588	42,612	43,078	50,666	-0,466	0,217	144,0
	45,2	1,182	44,018	42,191	43,373	1,827	3,337	49,0
	39,0	-2,238	41,238	41,304	39,066	-0,066	0,004	0,6
	32,5	-6,532	39,032	40,417	33,885	-1,385	1,919	32,5
	46,3	7,588	38,712	39,530	47,118	-0,818	0,670	65,6
	40,5	1,182	39,318	38,643	39,825	0,675	0,455	5,3
	35,4	-2,238	37,638	37,757	35,519	-0,119	0,014	7,8
	31,2	-6,532	37,732	36,870	30,338	0,862	0,744	49,0
	43,5	7,588	35,912	35,983	43,571	-0,071	0,005	28,1
	35,0	1,182	33,818	35,096	36,278	-1,278	1,633	10,2
	32,1	-2,238	34,338	34,209	31,971	0,129	0,017	37,2
	27,5	-6,532	34,032	33,322	26,790	0,710	0,504	114,5
Итого	458,4	0,000	458,4	458,400	×	×	9,519	543,9

Шаг 4. Определим компоненту Т данной модели. Для этого проведем выравнивание ряда (Т + Е) с помощью линейного тренда.

Таблица 5 Расчет линейного тренда уровней временного ряда

№ п/п
		42,612	42,612		43,078
		44,018	88,036		42,191
		41,238	123,714		41,304
		39,032	156,128		40,417
		38,712	193,56		39,530
		39,318	235,908		38,643
		37,638	263,466		37,757
		37,732	301,856		36,870
		35,912	323,208		35,983
		33,818	338,18		35,096
		34,338	377,718		34,209
		34,032	408,384		33,322
Итого		458,4	2852,77		458,400

Для оценки параметров и необходимо составить систему нормальных уравнений:

.

Система нормальных уравнений составит:

Решив ее, получили параметры:

Итак, линейный тренд имеет вид: .

Найдем уровни Т для каждого момента времени (графа 5 таблицы 4).

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням Т значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов (графа 6 таблицы 4).

Шаг 6. Рассчитаем ошибку (случайную компоненту Е) модели. Численные значения абсолютных ошибок приведены в таблице 4 (графа 7).

Таким образом, мы рассчитали количественные значения трендовой, сезонной и случайной компонент уровней временного ряда за каждый квартал за три года по аддитивной модели.

Так, например, расчеты за четвертый квартал 2008 г. (12-й уровень ряда) показывают, что если бы ряд содержал только трендовую составляющую (тенденцию уровней – ежеквартальное уменьшение выручки от реализации на 0,887 млн. руб.), то выручка составила бы 33,322 млн. руб.

Отнимая (прибавляя) сезонную компоненту, равную за четвертый квартал -6,532 млн. руб., мы получаем уровень ряда 33,322 – 6,532 = 26,79 млн. руб. Однако из-за воздействия случайной составляющей (о причинах которой мы можем предполагать), равной 0,710, фактическая выручка в четвертом квартале 2008 г. составила 26,79 +0,710 = 27,5 млн. руб.

Для оценки качества построения модели можно использовать сумму квадратов абсолютных ошибок. Для данной построенной аддитивной модели сумма квадратов абсолютных ошибок равна = 9,519. По отношению к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня, равной , эта величина (коэффициент детерминации) составляет: или 98,2%, то есть аддитивная модель объясняет 98,2% общей вариации уровней временного ряда выручки от реализации за 2006 – 2008 гг.

На основе построенной модели сделаем точечный прогноз ожидаемой выручки в течение первого квартала 2009 года. Прогнозное значение уровня временного ряда в аддитивной модели – это сумма трендового значения и соответствующего значения сезонной компоненты

Для расчета трендовых значений воспользуемся уравнением тренда, рассчитанным нами на шаге 4: (первый квартал четвертого в ряду года будет стоять под номером 13 – продолжение ряда):

.

Значение сезонной компоненты за первый квартал равно

Прогнозное значение составит:

.

Таким образом, величина выручки от реализации первом квартале 2009 года составит 40,022 млн. руб.

Таблица 7 Расчет оценок сезонной компоненты в мультипликативной модели

Номер квартала,	Уровни ряда,	Итого за четыре квартала	Скользящая средняя за 4 квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
		-	-	-	-
			45,0	-	-
			47,5	46,25	1,081
			52,5	50,00	0,600
			57,5	55,00	0,909
			62,5	60,00	1,333
			65,0	63,75	1,098
			70,0	67,50	0,741
			72,5	71,25	0,842
			75,0	73,75	1,356
		-	-	-	-
				-	-

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда (графа 6 таблица 7). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S (таблица 7). Для этого найдем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты . Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной модели выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числе периодов в цикле, т.е. 4 (4 квартала в цикле – в году).

Таблица 8 Расчет сезонной компоненты в мультипликативной модели

Показатель	Год	Номер квартала
		- 0,909 0,842	- 1,333 1,356	1,081 1,098 -	0,600 0,741 -
Итого за i-й квартал (за все годы)	×	1,751	2,689	2,179	1,341
Средняя оценка сезонной компоненты для i-ого квартала,	×	0,876	1,345	1,090	0,671
Скорректированная сезонная компонента,	×	0,880	1,351	1,095	0,674

Имеем: 0,876 + 1,345 + 1,090 + 0,671 = 3,980.

Рассчитаем корректирующий коэффициент:

Определим скорректированные значения сезонной компоненты, умножив ее средние оценки на корректирующий коэффициент : , где

Проверим условие равенства четырем суммы значений сезонной компоненты: 0,880 + 1,351 + 1,095 + 0,674 = 4.

Получим следующие значения сезонной компоненты:

1 квартал: 2 квартал:

3 квартал: 4 квартал:

Занесем полученные значения в таблицу 8 для соответствующих кварталов каждого года (графа 3).

Шаг 3. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. Получим T × E = Y / S (графа 4 таблицы 9). Эти значения рассчитываются для каждого момента времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 9 Расчет выравненных значений Т и ошибок Е

в мультипликативной модели

			Т × Е =	Т	Т × S	Е = : (T×S)	Е = - (T×S)
		0,88	45,45	40,178	35,357	1,131	4,643	21,561	433,889
		1,351	44,41	44,062	59,528	1,008	0,472	0,223	0,689
		1,095	45,66	47,946	52,501	0,952	-2,501	6,254	117,289
		0,674	44,51	51,83	34,933	0,859	-4,933	24,339	950,489
		0,88	56,82	55,714	49,028	1,020	0,972	0,944	117,289
		1,351	59,22	59,598	80,517	0,994	-0,517	0,267	367,489
		1,095	63,93	63,482	69,513	1,007	0,487	0,237	84,089
		0,674	74,18	67,366	45,405	1,101	4,595	21,117	117,289
		0,88	68,18	71,25	62,700	0,957	-2,700	7,290	0,689
		1,351	74,02	75,134	101,506	0,985	-1,506	2,268	1534,289
		1,095	73,06	79,018	86,525	0,925	-6,525	42,572	367,489
		0,674	89,02	82,902	55,876	1,074	4,124	17,008	0,689
Итого		12,000	738,46	738,48	733,388	12,013	-3,388	144,080	4091,667

Шаг 4. Определим компоненту Т в мультипликативной модели. Для этого проведем выравнивание ряда (Т × Е) с помощью линейного тренда.

Для оценки параметров и необходимо составить систему нормальных уравнений:

.

Таблица 9 Расчет линейного тренда уровней временного ряда

№ п/п
		45,45	45,455		40,178
		44,41	88,823		44,062
		45,66	136,986		47,946
		44,51	178,042		51,830
		56,82	284,091		55,714
		59,22	355,292		59,598
		63,93	447,489		63,482
		74,18	593,472		67,366
		68,18	613,636		71,250
		74,02	740,192		75,134
		73,06	803,653		79,018
		89,02	1068,249		82,902
Итого		738,46	5355,380		738,480

Система нормальных уравнений составит:

Решив ее, получаем:

Итак, линейный тренд имеет вид: .

Найдем уровни Т для каждого момента времени (графа 5 таблицы 9).

Шаг 5. Найдем уровни ряда по мультипликативной модели, умножив уровни Т на значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов (графа 6 таблицы 8).

Шаг 6. Расчет ошибки в мультипликативной модели проводится по формуле Е = : (T × S). Численные значения ошибки приведем в графе 7 таблицы 9.

Чтобы сравнить мультипликативную модель ряда с другими моделями, используем сумму квадратов абсолютных ошибок. Абсолютные ошибки в мультипликативной модели определяются по формуле: Е = - (T×S). В данной модели сумма квадратов абсолютных ошибок составляет 144,080. Общая сумма квадратов отклонений фактических уровней ряда от среднего значения . Доля объясненной дисперсии уровней ряда динамики равна: или 96,5% - мультипликативная модель объясняет 96,5% общей вариации уровней временного ряда.

Прогнозное значение уровня временного ряда в мультипликативной модели есть произведение трендового значения и соответствующего значения сезонной компоненты

Для расчета трендовых значений воспользуемся уравнением тренда, рассчитанным нами на шаге 4: : первый квартал 2009 г. будет стоять под номером 13 в ряду, поэтому

Значение сезонной компоненты за первый квартал равно

Прогнозное значение составит:

Выплата дивидендов в первом квартале 2009 года составит 76,372 усл. ден. ед.

Библиографический список

1) Афанасьев, В.Н. Эконометрика [Текст] : учебник / В. Н. Афанасьев, М. М. Юзбашев, Т. И. Гуляева ; под ред. В. Н. Афанасьева. – М. : Финансы и статистика, 2005. – 256 с.

2) Колемаев, В. А. Эконометрика [Текст] : учебник / В. А. Колемаев. − М.: ИНФРА-М, 2007. − 160 с.

3) Мазуркин, П.М. Статистическая эконометрика [Текст] : учеб. пособие / П. М. Мазуркин; Федеральное агентство по образованию, Марийский гос. технический ун-т. - Йошкар-Ола : МарГТУ, 2006. - 374 с.

4) Практикум по эконометрике [Текст] : учеб. пособие / И. И. Елисеева [и др.] ; под ред. И. И. Елисеевой. – М. : Финансы и статистика, 2008. – 344 с.

5) Регионы России. Социально-экономические показатели [Электронный ресурс] : 2009. – Режим доступа: http://www.gks.ru/ . – 20.01.2010.

6) Эконометрика [Текст] : учебник / [И. И. Елисеева и др.] ; под ред. И. И. Елисеевой. − М.: Проспект, 2010. − 288 с.

7) Эконометрика [Текст] : учебник / И. И. Елисеева [и др.] ; под ред. И. И. Елисеевой. − 2-е изд., перераб. и доп. - М. : Финансы и статистика, 2008. - 575с.

8) Эконометрика [Текст] : учебник / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко ; под ред. Н. Ш. Кремер. − М.: ЮНИТИ, 2007. − 311 с.

Моделирование одномерных временных рядов

Направление подготовки дипломированного специалиста

080100 «Экономика»

Специальность 080109 «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»

Уфа 2010

УДК

ББК

К

Рекомендовано к изданию методической комиссией экономического факультета (протокол №4 от «19» февраля 2010 г.)

Составитель: к.э.н., старший преподаватель Кабашова Е.В.

Рецензент: к.э.н., доцент кафедры бухгалтерского учета и анализа Никитина А.А.

Ответственный за выпуск: зав. кафедрой статистики и информационных систем в экономике, д.э.н., профессор Рафикова Н.Т.

Цель работы – овладеть навыками построения аддитивных и мультипликативных моделей временного ряда.

Теоретические положения

Существует аддитивная и мультипликативная модели временного ряда. Общий вид аддитивной модели следующий: Y=T+S+E как сумма трендовой (Т), сезонной (S) и случайной (Е) компонент.

Мультипликативная модель выглядит так: Y=T*S*E, как произведение тренд (Т), сезонный (S) и случайный (Е) компонент.

Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда.

Если амплитуда сезонных колебаний вырастает или уменьшается, строят мультипликативную модель, которая ставит уровни ряда в зависимости от значений сезонной компоненты.

Процесс построения модели состоит из следующих шагов:

1 Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2 Расчет значений сезонной компоненты S.

3 Устранение сезонной компоненты из исходных уравнений ряда и получение выравненных данных (Т+Е) в аддитивной или (Т×Е) в мультипликативной модели.

4 Аналитическое выравнивание уровней (Т+Е) или (Т×Е) и расчет значений с использованием полученного уравнения тренда.

5 Расчет полученных по модели значений (Т+S) или (Т×S).

6 Расчет абсолютных и относительных ошибок.