Построение аддитивной модели временного ряда

Исходные данные для построения модели временного ряда выручки от реализации продукции ОАО «Восход» представлены в таблице 1.

Таблица 1 Исходные данные для построения модели временного ряда

Годы	2006 г.	2007 г.	2008 г.
Квартал,
Выручка, млн. руб.,	50,2	45,2	39,0	32,5	46,3	40,5	35,4	31,2	43,5	35,0	32,1	27,5

Временной ряд выручки от реализации продукции изобразим графически.

Рисунок 1 Временной ряд

Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов.

График показывает, что ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4. По графику данного ряда можно установить наличие приблизительно равной амплитуды колебаний, что свидетельствует о возможности построения аддитивной модели временного ряда.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого составим вспомогательную таблицу 2.

1 просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени (графа 3);

2 разделим полученные суммы на 4 и найдем скользящие средние (графа 4). Полученные таким образом выравненные значения уже не содержат сезонной компоненты (их количество будет меньше количества уровней исходного временного ряда на 3 единицы);

3 приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для этого найдем средние значения их двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (графа 5) (их количество будет меньше количества уровней исходного временного ряда на 4 единицы).

Таблица 2 Расчет оценок сезонной компоненты в аддитивной модели

Номер квартала,	Уровни ряда,	Итого за четыре квартала	Скользящая средняя за 4 квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
	50,2	-	-	-	-
	45,2	166,9	41,725	-	-
	39,0	163,0	40,750	41,238	-2,238
	32,5	158,3	39,575	40,163	-7,663
	46,3	154,7	38,675	39,125	7,175
	40,5	153,4	38,350	38,513	1,988
	35,4	150,6	37,650	38,000	-2,600
	31,2	145,1	36,275	36,963	-5,763
	43,5	141,8	35,450	35,863	7,638
	35,0	138,1	34,525	34,988	0,013
	32,1	-	-	-	-
	27,5	-	-	-	-

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (графа 6 таблицы 2). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S (таблица 3).

Таблица 3 Расчет значений сезонной компоненты в аддитивной модели

Показатель	Год	Номер квартала
		- 7,175 7,638	- 1,988 0,013	-2,238 -2,600 -	-7,663 -5,763 -
Итого за i-й квартал (за все годы)	´	14,813	2,001	-4,838	-13,426
Средняя оценка сезонной компоненты для i-ого квартала,	´	7,407	1,001	-2,419	-6,713
Скорректированная сезонная компонента,	´	7,588	1,182	-2,238	-6,532

Найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты . В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по все кварталам должна быть равна нулю.

Имеем для данной модели: 7,407+1,001-2,419-6,713 = -0,724.

Определим корректирующий коэффициент:

.

Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом :

, где

Проверим условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты: 7,588+1,182-2,238-6,532 = 0.

Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:

1 кв.: 2 кв.: 3 кв.: 4 кв.:

Занесем полученные значения в таблицу 4 для соответствующих кварталов каждого года (графа 3).

Шаг 3. Вычтем значение сезонной компоненты из каждого уровня исходного временного ряда, чтобы устранить ее влияние. Получим: T + E = Y – S (графа 4 таблицы 4). Эти значения рассчитываются для каждого момента времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 4 Расчет выравненных значений Т и ошибок Е в аддитивной модели

			Т + Е =	Т	Т + S	Е = - (T + S)
	50,2	7,588	42,612	43,078	50,666	-0,466	0,217	144,0
	45,2	1,182	44,018	42,191	43,373	1,827	3,337	49,0
	39,0	-2,238	41,238	41,304	39,066	-0,066	0,004	0,6
	32,5	-6,532	39,032	40,417	33,885	-1,385	1,919	32,5
	46,3	7,588	38,712	39,530	47,118	-0,818	0,670	65,6
	40,5	1,182	39,318	38,643	39,825	0,675	0,455	5,3
	35,4	-2,238	37,638	37,757	35,519	-0,119	0,014	7,8
	31,2	-6,532	37,732	36,870	30,338	0,862	0,744	49,0
	43,5	7,588	35,912	35,983	43,571	-0,071	0,005	28,1
	35,0	1,182	33,818	35,096	36,278	-1,278	1,633	10,2
	32,1	-2,238	34,338	34,209	31,971	0,129	0,017	37,2
	27,5	-6,532	34,032	33,322	26,790	0,710	0,504	114,5
Итого	458,4	0,000	458,4	458,400	×	×	9,519	543,9

Шаг 4. Определим компоненту Т данной модели. Для этого проведем выравнивание ряда (Т + Е) с помощью линейного тренда.

Таблица 5 Расчет линейного тренда уровней временного ряда

№ п/п
		42,612	42,612		43,078
		44,018	88,036		42,191
		41,238	123,714		41,304
		39,032	156,128		40,417
		38,712	193,56		39,530
		39,318	235,908		38,643
		37,638	263,466		37,757
		37,732	301,856		36,870
		35,912	323,208		35,983
		33,818	338,18		35,096
		34,338	377,718		34,209
		34,032	408,384		33,322
Итого		458,4	2852,77		458,400

Для оценки параметров и необходимо составить систему нормальных уравнений:

.

Система нормальных уравнений составит:

Решив ее, получили параметры:

Итак, линейный тренд имеет вид: .

Найдем уровни Т для каждого момента времени (графа 5 таблицы 4).

Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням Т значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов (графа 6 таблицы 4).

Шаг 6. Рассчитаем ошибку (случайную компоненту Е) модели. Численные значения абсолютных ошибок приведены в таблице 4 (графа 7).

Таким образом, мы рассчитали количественные значения трендовой, сезонной и случайной компонент уровней временного ряда за каждый квартал за три года по аддитивной модели.

Так, например, расчеты за четвертый квартал 2008 г. (12-й уровень ряда) показывают, что если бы ряд содержал только трендовую составляющую (тенденцию уровней – ежеквартальное уменьшение выручки от реализации на 0,887 млн. руб.), то выручка составила бы 33,322 млн. руб.

Отнимая (прибавляя) сезонную компоненту, равную за четвертый квартал -6,532 млн. руб., мы получаем уровень ряда 33,322 – 6,532 = 26,79 млн. руб. Однако из-за воздействия случайной составляющей (о причинах которой мы можем предполагать), равной 0,710, фактическая выручка в четвертом квартале 2008 г. составила 26,79 +0,710 = 27,5 млн. руб.

Для оценки качества построения модели можно использовать сумму квадратов абсолютных ошибок. Для данной построенной аддитивной модели сумма квадратов абсолютных ошибок равна = 9,519. По отношению к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня, равной , эта величина (коэффициент детерминации) составляет: или 98,2%, то есть аддитивная модель объясняет 98,2% общей вариации уровней временного ряда выручки от реализации за 2006 – 2008 гг.

На основе построенной модели сделаем точечный прогноз ожидаемой выручки в течение первого квартала 2009 года. Прогнозное значение уровня временного ряда в аддитивной модели – это сумма трендового значения и соответствующего значения сезонной компоненты

Для расчета трендовых значений воспользуемся уравнением тренда, рассчитанным нами на шаге 4: (первый квартал четвертого в ряду года будет стоять под номером 13 – продолжение ряда):

.

Значение сезонной компоненты за первый квартал равно

Прогнозное значение составит:

.

Таким образом, величина выручки от реализации первом квартале 2009 года составит 40,022 млн. руб.