Оценка адекватности и точности трендовых моделей

Информация, содержащаяся в рабочей базе моделей - основа для построения прогноза по лучшей модели, выбранной по критериям адекватности и точности. При этом адекватность моделей оценивается по свойствам остаточной компоненты (расхождениям, рассчитанным по модели уровней и фактических наблюдений), а точность модели - по степени близости расчетных данных к фактическим.

Трендовая модель конкретного временного ряда считается адекватной, если правильно отражает систематические компоненты временного ряда. Это требование эквивалентно требованию, чтобы остаточная компонента (t=1, 2, . . ., n) удовлетворяла свойствам случайной компоненты временного ряда: случайность колебаний уровней остаточной последовательности, соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону распределения, равенство математического ожидания случайной компоненты нулю, независимость значений уровней случайной компоненты.

Проверка случайности колебаний уровней остаточной последовательности означает проверку гипотезы о правильности выбора вида тренда. Для исследования случайности отклонений от тренда необходимо располагать набором разностей

(t =1 , 2, . . ., n).

Характер этих отклонений изучается с помощью ряда непараметрических критериев. Одним из таких критериев является критерий пиков (поворотных точек). Уровень последовательности e_t считается максимумом, если он больше двух рядом стоящих уровней, т.е. e_{t -1} < e_t >e_t+1, и минимумом, если он меньше обоих соседних уровней, т.е. e_{t -1} > e_t <e_t+1. В обоих случаях e_t считается поворотной точкой; общее число поворотных точек для остаточной последовательности e_t обозначим через р.

В случайной выборке математическое ожидание числа точек поворота и дисперсия выражаются формулами:

Формула 15

Формула 16

Критерием случайности с уровнем значимости a=0,05 является выполнение неравенства

Формула 17

где квадратные скобки означают целую часть числа. Если это неравенство не выполняется, трендовая модель считается неадекватной.

Проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения может быть произведена по ряду критериев, в частности по RS-критерию.

Этот критерий численно равен отношению размаха вариации случайной величины R= e_max-e_minк стандартному отклонению, вычисляемому по формуле

Формула 18

Вычисленное значение RS -критерия сравнивается с табличными (критическими) нижней и верхней границами данного отношения. Если это значение попадает в интервал между критическими границами (с заданным уровнем значимости) свойство нормальности распределения выполняется. Для иллюстрации приведем несколько пар значений критических границ RS-критерия для уровня значимости 0,05: при п = 10 нижняя граница равна 2,67, а верхняя равна 3,685; при п = 20 эти числа составляют соответственно 3,18 и 4,49; при п = 30 они равны 3,47 и 4,89.

Проверка равенства математического ожидания случайной компоненты нулю, если она распределена по нормальному закону, осуществляется на основе t-критерия Стьюдента. Расчетное значение этого критерия задается формулой

Формула 19

где — среднее арифметическое значение уровней остаточной последовательности e_t;

s_e — стандартное (среднеквадратическое) отклонение для этой последовательности.

Если расчетное значение t меньше табличного значения t_a статистики Стьюдента с заданным уровнем значимости a и числом степеней свободы n - 1, то гипотеза о равенстве нулю математического ожидания случайной последовательности принимается; в противном случае эта гипотеза отвергается и модель считается неадекватной.

Проверка независимости значений уровней случайной компоненты, т.е. проверка отсутствия существенной автокорреляции в остаточной последовательности может осуществляться по ряду критериев, наиболее распространенным из которых является d-критерий Дарбина—Уотсона. Расчетное значение этого критерия определяется по формуле

Формула 20

Заметим, что расчетное значение критерия Дарбина—Уотсона в интервале от 2 до 4 свидетельствует об отрицательной связи; в этом случае его надо преобразовать по формуле

d' = 4 – d Формула 21

и в дальнейшем использовать значение d'.

Расчетное значение критерия d (или d') сравнивается с верхним d₂ и нижним d₁критическими значениями статистики Дарбина—Уотсона, фрагмент табличных значений которых для различного числа уровней ряда п и числа определяемых параметров модели k представлен для наглядности в табл. (уровень значимости 5%).

Таблица 6

Если расчетное значение критерия d больше верхнего табличного значения d₂ то гипотеза о независимости уровней остаточной последовательности, т.е. об отсутствии в ней автокорреляции, принимается. Если значение d меньше нижнего табличного значения d₁, то эта гипотеза отвергается и модель неадекватна. Если значение d находится между значениями d₁ и d₂, включая сами эти значения, то считается, что нет достаточных оснований сделать тот или иной вывод и необходимы дальнейшие исследования, например, по большему числу наблюдений. В общем случае, если d имеет значение, близкое к2, то можно считать модель регрессии достаточно адекватной.

Вывод об адекватности трендовой модели делается, если все указанные выше четыре проверки свойств остаточной последовательности дают положительный результат.

Для адекватных моделей имеет смысл ставить задачу оценки их точности. В качестве статистических показателей точности применяются следующие:

· среднее квадратическое отклонение

Формула 22

· средняя относительная ошибка аппроксимации (ошибка менее 5% свидетельствует об удовлетворительном уровне точности; ошибка в 10% и более считается большой)

Формула 23

· коэффициент сходимости

Формула 24

· коэффициент детерминации (трендовая модельадекватна изучаемому процессу и отражает тенденцию его развития во времени при значениях R², близких к 1).

Формула 25

В приведенных формулах n — количество уровней ряда, k — число определяемых параметров модели, - оценка уровней ряда по модели, - среднее арифметическое значение уровней ряда.

На основании указанных показателей можно сделать выбор из нескольких адекватных трендовых моделей экономической динамики наиболее точной.

Статистически точность прогнозов можно оценить, используя ретропрогноз. Его суть состоит в построении модели по усеченному объему данных (n - k) точек с последующим сравнением прогнозных оценок с известными фактическими, но умышленно «забытыми» уровнями ряда. По результатам сравнения вычисляются следующие показатели точности: среднее значение; среднеквадратическое отклонение; средний модуль ошибок прогнозирования (%); максимальное и минимальное отклонения. Чем меньше значения этих величин, тем выше качество ретропрогноза. Данный подход дает хорошие результаты, если на периоде ретропрогноза не содержится принципиально новых закономерностей.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение временного ряда и характеристику его структурно образующих элементов.

2. Что такое аномальный уровень временного ряда? Какие методы обнаружения и устранения аномальных уровней Вы знаете?

3. Перечислите основные этапы анализа временных рядов. Кратко охарактеризуйте задачи каждого этапа.

4. Поясните суть методов механического сглаживания временных рядов. Дайте сравнительную характеристику этих методов.

5. Перечислите и охарактеризуйте методы определения наличия тренда.

6. В чем суть прогнозирования процессов на основе метода экстраполяции?

7. Укажите методы формирования набора трендовых моделей. Как находятся параметры этих моделей?

8. Каким образом проводится оценка адекватности трендовых моделей? Какие статистические критерии при этом используются?

9. Назовите статистические критерии оценки точности трендовых моделей.