Полную группу можно определить так: если

для любой пары (i ¹ j), тогда {A₁, A₂, … , A_n} - полная группа событий.

Вероятностью появления события А называют отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всех единственно возможных и несовместных элементарных исходов.

Обозначим число благоприятствующих событию А исходов через М, а число всех исходов - N.

	(2.1)
где M - целое неотрицательное число, 0 M N

Другой тип объективной вероятности определяется исходя из относительной частоты (частости) появления события. Если, к примеру, некоторая фирма в течение времени провела опрос 1000 покупателей нового сорта напитка и 20 из них оценили его как вкусный, то мы можем оценить вероятность того, что потребителям понравится новый напиток как 20/1000=0,02. В этом примере 20 - это частота наступления события, а 20/1000=0,02 - это относительная частота.

Относительной частотой события называется отношение числа испытаний m, при которых событие появилось, к общему числу проведенных испытаний n.

	(2.2)
где m - целое неотрицательное число, 0 m n

Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частость) этого события, вычисленная по результатам большого числа испытаний. Будем обозначать её Р^*(А). Следовательно, . При очень большом числе испытаний статистическая вероятность приближенно равна классической вероятности, т.е. Р^* (A) » Р(A)

Для определения вероятности выпадения 1 или 2 при подбрасывании кости нам необходимо только знать “модель игры “, в данном случае - кость с 6 гранями. Мы можем определить наши шансы теоретически, без подбрасывания кости, это - априорная (доопытная) вероятность. Во втором примере мы можем определить вероятность только по результатам опыта, это - апостериорная (послеопытная) вероятность. То есть классическая вероятность - априорная, а статистическая - апостериорная.

Какой бы вид вероятности не был выбран для их вычисления и анализа используется один и тот же набор математических правил.

Свойства вероятности, вытекающие из классического определения.

1. Вероятность достоверного события равна 1, то есть Р( ) = 1.

Действительно, если событие А = , то M = N, значит Р( ) = N/N = 1.

2.Если событие невозможное, то его вероятность равна 0, то есть Р(Æ)= 0.

Если А = Æ, то оно не осуществится ни при одном испытании, то есть M = 0 и Р(Æ) = 0/N = 0.

3.Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1.

В самом деле, та к как 0 M N , то 0 M/ N 1, то есть 0 Р(А) 1.

4. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, то есть . В самом деле,

А отсюда:

(2.3)

Например, если вероятность извлечения туза из колоды, состоящей из 52 карт, равна 4/52, то вероятность извлечения карты, не являющейся тузом, равна 1 - 4/52 = 48/52.

Пример 2.1 Магазин в целях рекламы нового товара проводит лотерею, в которой 1 главный приз, 5 вторых призов, 100 третьих призов и 1000 четвертых призов. В конце рекламного дня выяснилось, что лотерейные билеты получили 10000 покупателей. По правилам розыгрыша, после извлечения выигрышного билета он не возвращается в урну, и покупатель не может получить более одного выигрыша. Чему равна вероятность того, что покупатель, который приобрел рекламируемый товар: а) выиграет первый приз; б) выиграет хотя бы один приз; в) не выиграет ни одного приза?

Решение. Определим событие А: «Покупатель выиграл первый приз». Согласно условию задачи в лотерее участвовало 10000 покупателей, отсюда общее число испытаний N = 10000, а число исходов, благоприятствующих событию А, M = 1. Все исходы являются равновозможными, единственно возможными и несовместными элементарными событиями. Следовательно, по формуле классической вероятности: P (A)=0,0001

Соответственно, определим событие В: «Покупатель выиграл любой приз». Для этого события число благоприятствующих исходов M = 1 + 5 + 100 + 1000 = 1106.

.

Событие «Покупатель не выиграет ни одного приза» - противоположное событию В: «Покупатель выиграет хотя бы один приз», поэтому обозначим его как . По формуле 2.3 найдем:

.

Ответ. Вероятность того, что покупатель выиграет первый приз, равна 0,0001; любой приз - 0,1106; ни одного приза - 0,8894.

.

Пример 2.2. Структура занятых в региональном отделении крупного банка имеет следующий вид:

Если один из служащих выбран случайным образом, то какова вероятность, что он: 1. Мужчина-администратор? 2. Женщина-операционист? 3. Мужчина? 4. Операционист?

Решение.

1. В банке работают 100 человек, N = 100. Из них 15 – мужчины-администраторы, M = 15. Следовательно,

35 служащих в банке – женщины-операционисты, следовательно,

3. 40 служащих в банке – мужчины, следовательно,

4. Из общего числа служащих в банке 60 – операционисты, следовательно,

Ответ. Вероятность того, что один из служащих: 1.

2. 3.

4.