График функции распределения вероятностей дискретной случайной величины

Рис. 4.4

г) Определим вероятность того, что среди 4-х случайно отобранных человек не будет ни одного человека, предпочитающего добираться на работу личным автотранспортом.

Р(Х = 0) = 0,4096.

Вероятность того, что среди 4-х случайно отобранных человек не будет ни одного, предпочитающего добираться на работу личным автотранспортом составляет 0,4096.

д) Определим вероятность того, что среди 4-х случайно отобранных человек будет хотя бы один человек, предпочитающий добираться на работу личным автотранспортом.

“Хотя бы один” - “как минимум один” - “один или больше”. Другими словами, “хотя бы один” - это “или один, или два, или три, или четыре”.

Исходя из этого, для определения вероятности того, что среди 4-х случайно отобранных человек будет хотя бы один, предпочитающий добираться на работу личным автотранспортом, можно использовать теорему сложения вероятностей несовместных событий:

P(X ³ 1) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)

P(X ³ 1) = 0,4096 + 0,1536 + 0,0256 + 0,0016 = 0,5904.

С другой стороны, все возможные значения случайной величины образуют полную группу событий, а сумма их вероятностей равна 1. По отношению к событию (Х ³ 1) до полной группы событий не хватает события (Х = 0), которое является противоположным событию (Х ³ 1). Поэтому искомую вероятность того, среди 4-х случайно отобранных человек будет хотя бы один, предпочитающий добираться на работу личным автотранспортом, проще найти следующим образом:

P(X ³ 1) + P(X < 1) = 1, откуда

P(X ³ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,4096 = 0,5904.

Вероятность того, что среди 4-х случайно отобранных человек будет хотя бы один человек, предпочитающий добираться на работу личным автотранспортом, составляет 0,5904.

е) Определим вероятность того, что среди 4-х случайно отобранных человек будет не больше двух, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом.

“Не больше двух” - “два или меньше”, т.е. “или ноль, или один, или два”.

Используем теорему сложения вероятностей несовместных событий:

P(X £ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

P(X £ 2) = 0,4096 + 0,4096 + 0,1536 = 0,9728.

Вероятность того, что среди 4-х случайно отобранных человекбудет не больше двух, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом, составляет 0,9728.

Пример 4.2 Среднее число инкассаторов, прибывающих утром на автомобиле в банк в 15-ти минутный интервал, равно 2. Прибытие инкассаторов происходит случайно и независимо друг от друга.

а) Составьте ряд распределения числа инкассаторов, прибывающих утром на автомобиле в банк в течение 15-ти минут;

б) Найдите числовые характеристики этого распределения;

в) Напишите функцию распределения числа инкассаторов, прибывающих утром на автомобиле в банк в течение 15-ти минут, и постройте её график;

г) Определите, чему равна вероятность того, что в течение 15 минут в банк прибудут на автомобиле хотя бы два инкассатора;

д) Определите вероятность того, что в течение 15 минут число прибывших инкассаторов окажется меньше трех.

Решение.Пусть случайная величина Х - число инкассаторов, прибывающих утром на автомобиле в банк в течение 15-ти минут. Перечислим все возможные значения случайной величины Х: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... , n.

Это - дискретная случайная величина, т.к. ее возможные значения отличаются друг от друга не менее чем на 1, и множество ее возможных значений является счетным.

По условию прибытие инкассаторов происходит случайно и независимо друг от друга. Следовательно, мы имеем дело с независимыми испытаниями.

Если мы предположим, что вероятность прибытия инкассаторов на автомобиле одинакова в любые два периода времени равной длины, и что прибытие или неприбытие автомобиля в любой период времени не зависит от прибытия или неприбытия в любой другой период времени, то последовательность прибытия инкассаторов в банк может быть описана распределением Пуассона.

Итак, случайная величина Х - число инкассаторов, прибывающих утром на автомобиле в течение 15-ти минут, подчиняется распределению Пуассона. По условию задачи: l = np = 2; X = m.

а) Составим ряд распределения.

Вычислим вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений и запишем полученные результаты в таблицу.

Так как данная случайная величина Х подчинена распределению Пуассона, расчет искомых вероятностей осуществляется по формуле Пуассона (4.13).

Найдем по этой формуле вероятность того, что в течение 15-ти минут утром на автомобиле прибудет 0 инкассаторов:

Однако, расчет вероятностей распределения Пуассона легче осуществлять, пользуясь специальными таблицами вероятностей распределения Пуассона. В этих таблицах содержатся значения вероятностей при заданных m и (см. Приложение 6).

По условию l = 2, а m изменяется от 0 до n.

Воспользовавшись таблицей распределения Пуассона, получим:

Р(Х = 0) = 0,1353; Р(Х = 1) = 0,2707;

Р(Х = 2) = 0,2707; Р(Х = 3) = 0,1804;

Р(Х = 4) = 0,0902; Р(Х = 5) = 0,0361;

Р(Х = 6) = 0,0120; Р(Х = 7) = 0,0034;

Р(Х = 8) = 0,0009; Р(Х = 9) = 0,0002.

Данных для l = 2, и m > = 10 в таблице нет, что указывает на то, что эти вероятности составляют менее 0, 0001, т.е.

Р(Х = 10) » 0. Понятно, что Р(Х = 11) еще меньше отличается от 0.

Занесем полученные результаты в таблицу:

Так как все возможные значения случайной величины образуют полную группу событий, сумма их вероятностей должна быть равна 1.

Проверим: 0,1353 + 0,2707 + 0,2707 + 0,1804 + 0,0902 + 0,0361 + 0,0120 +

+ 0,0034 + 0,0009 + 0,0002 = 0,9999 » 1.

График, полученного ряда распределения дискретной случайной величины Х – полигон распределения вероятностей:

Рис. 4.5.

б)Найдем основные числовые характеристики полученного распределения случайной величины Х.

Можно рассчитать математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение по общим для любой дискретной случайной величины формулам.

Математическое ожидание случайной величины, подчиняющейся распределению Пуассона, может быть рассчитано и по формуле(4.13.):

M(X = m) = l = 2 (инкассатора).

Для выполнения дисперсии случайной величины, подчиняющейся распределению Пуассона, можно применить формулу:

Итак, дисперсия числа инкассаторов, прибывающих утром на автомобиле в течение 15-ти минут:

D(X = m) = l = 2 (кв.ед.)

Среднее квадратическое отклонение числа инкассаторов, прибывающих утром на автомобиле в течение 15-ти минут:

(инкассатора).

в)Зададим теперь дискретную случайную величину в виде функции распределения:

.

Рассчитаем значения F(x):

Эти данные можно представить и в виде таблицы:

Таблица 4.6.

График функции (вероятностная гистограмма)

Рис. 4.6.

г) Определим вероятность того, что в течение 15 минут в банк прибудут хотя бы два инкассатора.

“Хотя бы два” - “как минимум два” - “два или больше”. Другими словами, “хотя бы два” - это “или два, или три, или четыре, или ...”.

Исходя из этого, для определения вероятности того, что в течение 15 минут в банк прибудут хотя бы два инкассатора, можно использовать теорему сложения вероятностей несовместных событий:

P(X 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + ... + Р(Х = n).

С другой стороны, все возможные значения случайной величины образуют полную группу событий, а сумма их вероятностей равна 1. По отношению к событию (Х ³ 2) до полной группы событий не хватает события (Х < 2), т. е. (х 1), которое является противоположным событию (Х ³ 2). Поэтому искомую вероятность того, что в течение 15 минут в банк прибудут на автомобиле хотя бы два инкассатора, проще найти следующим образом:

P(X ³ 2) = 1 - P(X £ 1) = 1 - (P(X = 0) + P(X=1)) = 1 - (0,1353 + 0,2707) = 1 - 0,406 =

= 0,594.

Вероятность того, что в течение 15 минут в банк прибудут на автомобиле хотя бы два инкассатора, составляет 0,5904.

д) Определим вероятность того, что в течение 15 минут число прибывших инкассатор окажется меньше трех.

“Меньше трех” - это “или ноль, или один, или два”.

Из теоремы сложения вероятностей несовместных событий следует:

P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2).

P(X < 3) = 0,1353 + 0,2707 + 0,2707 = 0,6767.

Ответ. Вероятность того, что в течение 15 минут в банк прибудет меньше трех инкассаторов, составляет 0,6767.

Пример 4.3. Из 20 лотерейных билетов выигрышными являются 4. Наудачу извлекаются 4 билета.

а) Составьте ряд распределения числа выигрышных билетов среди отобранных;

б) Найдите числовые характеристики этого распределения;

в) Напишите функцию распределения числа выигрышных билетов среди отобранных и постройте ее график;

г) Определите вероятность того, что среди отобранных 4 билетов окажется не меньше трех выигрышных билетов;

д) Определите вероятность того, что среди отобранных 4 билетов окажется не больше одного выигрышного билета.

Решение.В качестве случайной величины в данной задаче выступает число выигрышных билетов среди отобранных. Обозначим ее через X.

Перечислим все возможные значения случайной величины Х: 0, 1, 2, 3, 4.

Это - дискретная случайная величина, т.к. ее возможные значения отличаются друг от друга не менее чем на 1, и множество ее возможных значений является счетным.

Очевидно, что отбор лотерейных билетов - бесповторный. Следовательно, испытания - зависимые.

Вышеперечисленные признаки указывают на то, что рассматриваемая случайная величина - число выигрышных билетов среди отобранных - подчиняется гипергеометрическому закону распределения.

Изобразим ситуацию на схеме:

N

M N-M

n

m n-m

Рис. 4.7.

Случайная величина, интересующая нас, Х = m - число выигрышных билетов в выборке объемом в n билетов. Число всех возможных случаев отбора n билетов из общего числа N билетов равно числу сочетаний из N по n (С ), а число случаев отбора m выигрышных билетов из общего числа M выигрышных билетов (и значит, (n-m) проигрышных из общего числа (N - M) проигрышных) равно произведению

С ×С (отбор каждого из m выигрышных билетов может сочетаться с отбором любого из (n-m) проигрышных). Событие, вероятность которого мы хотим определить, состоит в том, что в выборке из n лотерейных билетов окажется ровно m выигрышных. По формуле для расчета вероятности события в классической модели вероятность получения в выборке m выигрышных билетов (то есть вероятность того, что случайная величина Х примет значение m) равна:

где С - общее число всех единственно возможных, равновозможных и несовместных исходов,

С ×С - число исходов, благоприятствующих наступлению интересующего нас события;

m £ n, если n £ M и m £ M, если M < n.

Если по этой формуле вычислить вероятности для всех возможных значений m и поместить их в таблицу, то получим ряд распределения.

а) Составим ряд распределения.

Вычислим вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений и запишем полученные результаты в таблицу.

По условию задачи N =20; M = 4; n = 4; m = 0, 1, 2, 3, 4.

Занесем полученные результаты в таблицу:

Таблица 4.7.

Произведем проверку. Так как все возможные значения случайной величины образуют полную группу событий, сумма их вероятностей должна быть равна 1.

Проверка: 0,37564 + 0,46233 + 0,14861 + 0,01321 + 0,00021 = 1.

График полученного распределения вероятностей дискретной случайной величины - полигон распределения вероятностей; изображенный на рис 4.8

Рис. 4.8.

б)Найдем основные числовые характеристики распределения данной случайной величины.

Можно рассчитать математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение по общим для любой дискретной случайной величины формулам.

Но математическое ожидание случайной величины, подчиняющейся гипергеометрическому распределению, может быть рассчитано по более простой формуле:

Рассчитаем математическое ожидание числа выигрышных билетов среди отобранных:

(билета).

Дисперсию случайной величины, подчиняющейся распределению, также может быть рассчитано по более простой формуле:

Вычислим дисперсию числа выигрышных билетов среди отобранных:

D(X = m) = 0,53895 (кв.ед.).

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение числа выигрышных билетов среди отобранных:

3 (билета).

в)Зададим дискретную случайную величину в виде функции распределения:

.

Рассчитаем значения F(х):

Эти данные можно представить и в виде таблицы:

Таблица 4.8.

График функции распределения.

Рис. 4.9.

г) Определим вероятность того, что среди 4-х отобранных билетов окажется не меньше трех выигрышных.

“Не меньше трех” - “как минимум три” - “три или больше”. Другими словами, “не меньше трех” - это “или три, или четыре”.

Исходя из этого, для определения вероятности того, что среди отобранных 4-х билетов окажется не меньше трех выигрышных билетов, можно применить теорему сложения вероятностей несовместных событий:

P(X ³ 3) = P(X = 3) + P(X = 4) = 0,01321 + 0,00021 = 0,01342.

Вероятность того, что среди отобранных окажется не меньше трех выигрышных билетов составляет 0,01342.

д) Определим теперь вероятность того, что среди отобранных 4-х билетов окажется не больше одного выигрышного билета.

“Не больше одного” - это “один или меньше” - “или ноль, или один”.

Следовательно, для определения вероятности того, что среди отобранных окажется не больше одного выигрышного билета, также применяем теорему сложения вероятностей для несовместных событий:

P(X £ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,37564 + 0,46233 = 0,83797.

Ответ. Р(Х 3) = 0,01342; Р(Х £ 1) = 0,83797.

Задачи к теме 4

1. Нефтеразведовательная компания получила финансирование для проведения 7 нефтеразработок. Вероятность успешной нефтеразведки 0,2. Предположим, что нефтеразведки осуществляют независимые друг от друга разведывательные партии.

а) Составьте ряд распределения числа успешных нефтеразведок и постройте его график;

б) Найдите числовые характеристики этого распределения;

в) Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график;

г) Чему равна вероятность того, что как минимум три нефтеразведки принесут успех?

2. В салоне мобильной техники представлены 4 модели телефона Samsung, 5 моделей телефона Nokia и 6 моделей телефона Motorola. В течение дня было продано 3 различных телефона.

а) Составьте ряд распределения числа телефонов Samsung и постройте его график;

б) Найдите числовые характеристики этого распределения;

в) Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график;

г) Чему равна вероятность того, что в течение дня было продано как минимум два телефона Samsung?

3. Некоторый ресторан славится хорошей кухней. Управляющий ресторана утверждает, что в субботний вечер в течение получаса подходит в среднем 5 групп посетителей.

а) Составьте ряд распределения возможного числа групп посетителей ресторана в течение получаса; постройте его график;

б) Найдите числовые характеристики этого распределения;

в) Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график;

г) Чему равна вероятность того, что три или более групп посетителей прибудут в ресторан в течение 10-минутного промежутка времени?

4. В кредитном отделе банка работают 5 специалистов с высшим финансовым образованием и 3 специалиста с высшим юридическим образованием. Руководство банка решило направить 3 специалистов для повышения квалификации, обирая их в случайном порядке.

а) Составьте ряд распределения числа специалистов с высшим юридическим образованием, которые могут быть направленны на повышение квалификации и постройте его график;

б) Найдите числовые характеристики этого распределения.

в) Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график;

г) Какова вероятность того, что повышать квалификацию будут не более двух специалистов с высшим юридическим образованием?

5. Для экспертной оценки качества растворимого кофе было отобрано 9 образцов разных производителей: 6 образцов фирмы Nestle и 3 образца фирмы Kraft Food. В результате проверки выяснилось, что 4 случайно выбранных образца соответствуют стандартам качества.

а) Составьте ряд распределения числа образцов продукции фирмы Nestle, среди отобранных и постройте его график;

б) Найдите числовые характеристики этого распределения;

в) Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график;

г) Чему равна вероятность того, что как минимум два образца фирмы Nestle соответствуют качеству?

6. В течение часов-пик в общественном транспорте города происходит в среднем два дорожных происшествия в час. Утреннее время пик длится полтора часа, а вечернее - два часа.

а) Составьте ряды распределения числа дорожных происшествий в утренние и вечерние часы пик и постройте их графики;

б) Найдите числовые характеристики этих распределений;

в) Запишите функции распределений вероятностей и постройте их графики;

г) Чему равна вероятность того, что в определенный день в течение и утреннего, и вечернего времени не произойдет ни одного дорожного происшествия?

7. В городе 6 коммерческих банков. У каждого риск банкротства в течение года составляет 10%.

а) Составьте ряд распределения числа банков, которые могут обанкротиться в течение следующего года; постройте его график;

б) Найдите числовые характеристики этого распределения;

в) Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график;

г) Чему равна вероятность того, что в течение года обанкротятся не больше двух банков?

8. В течение семестра преподаватели проводят консультации по вопросам, которые остались неясными для студентов. Преподаватель, проводящий консультации по статистике, заметил, что в среднем 12 студентов посещают его за час консультационного времени, хотя число студентов, посещающих консультацию в определенный день, в назначенный час, - случайная величина.

а) Составьте ряд распределения числа студентов, посещающих консультации преподавателя по статистике в течение получаса и постройте его график;

б) Найдите числовые характеристики этого распределения;

в) Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график;

г) Чему равна вероятность того, что трое студентов придут на консультацию в течение определенных 15 минут?

9.Сеть кафе «Пить кофе» включает 7 кофеен, 3 из которых имеют круглосуточный режим работы. Для оценки качества обслуживания клиентов, администрация кафе случайным образом отбирает 4 кофейни.

а) Составьте ряд распределения числа кофеен с круглосуточным режимом работы, отобранных для анализа и постройте его график;

б) Найдите числовые характеристики этого распределения;

в) Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график;

г) Чему равна вероятность того, что в исследовании будут участвовать не более двух круглосуточно работающих кофеен?

10. Туристическая фирма оценивает вероятность того, клиент отменит уже оплаченное путешествие вследствие личных обстоятельств как 0,1. Группа из 6 туристов оплатила тур в Индию.

а) Составьте ряд распределения числа туристов, отменивших поездку вследствие личных обстоятельств, и постройте его график;

б) Найдите числовые характеристики этого распределения;

в) Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график;

г) Определите вероятность того, что не более одного туриста отменят поездку.

11. В мастерскую по ремонту бытовой техники поступили 8 холодильников, из которых 3 подлежали гарантийному обслуживанию. Бригада специалистов, работающая в первую смену, получила наряд на ремонт 4 холодильников.

а) Составьте ряд распределения числа холодильников, отремонтированных по гарантии в первую смену; если холодильники для ремонта отбирались случайным образом и постройте его график;

б) Найдите числовые характеристики этого распределения;

в) Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график;

г) Определите вероятность того, что по гарантии было отремонтировано не более двух холодильников.

12. Для того чтобы проверить правильность своих финансовых счетов, компания регулярно пользуется услугами аудиторов для проверки в бухгалтерских проводках счетов. Предположим, что служащие компании при обработке входящих счетов допускают примерно 5% ошибок. Предположим, аудитор случайно отбирает 5 входящих документов.

а) Составьте ряд распределения числа ошибок, выявленных аудитором и постройте его график;

б) Найдите числовые характеристики этого распределения;

в) Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график;

г) Определите вероятность того, что аудитор обнаружит не менее двух ошибок.

13. В магазине имеется 11 автомобилей определенной марки. Среди них - 6 автомобилей черного цвета, 3 - серого и 2 - белого. Представители фирмы обратились в магазин с предложением о продаже им трех автомобилей этой марки, безразлично какого цвета.

а) Составьте ряд распределения числа проданных автомобилей черного цвета при условии, что автомобили отбирались случайно и постройте его график;

б) Найдите числовые характеристики этого распределения;

в) Напишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график;

г) Какова вероятность того, что среди проданных фирме автомобилей окажется, по крайней мере, 2 автомобиля черного цвета?

14. В международном аэропорту время прибытия самолетов различных рейсов высвечивается на электронном табло. Появление информации о различных рейсах происходит случайно и независимо друг от друга. В среднем в аэропорт прибывает 6 рейсов в течение получаса.

а) Составьте ряд распределения числа сообщений о прибытии самолетов в течение получаса и постройте его график;

б) Найдите числовые характеристики этого распределения;

в) Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график;

г) Чему равна вероятность того, что в течение получаса появится информация о прибытии не менее трех рейсов?

д) Чему равна вероятность того, что в течение четверти часа не появится информация о прибытии ни одного самолета?

15. Телевизионный канал рекламирует новую марку автомобилей. Вероятность того, что телезритель увидит эту рекламу, оценивается в 0,4. В случайном порядке выбраны 5 телезрителей.

а) Составьте ряд распределения числа лиц, видевших рекламу и постройте его график;

б) Найдите числовые характеристики этого распределения;

в) Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график;

г) Чему равна вероятность того, что по крайней мере 2 телезрителя этого канала видели рекламу новой марки автомобиля?

16. Экзаменационный тест содержит 5 вопросов, каждый из которых имеет 4 варианта ответа и только 1 из них верный.

а) Составьте ряд распределения числа правильных ответов и постройте его график;

б) Найдите числовые характеристики этого распределения;

в) Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график;

г) Чему равна вероятность того, что по крайней мере 3 ответа будут правильными?

17. Менеджер ювелирного магазина утверждает, что в течение дня совершается в среднем 4 покупки.

а) Составьте ряд распределения числа покупок, совершенных в ювелиром магазине в течение дня и постройте его график;

б) Найдите числовые характеристики этого распределения;

в) Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график;

г) Чему равна вероятность того, что за два дня в магазине будет совершено не более 2 покупок?

18. В подгруппе английского языка занимается 9 студентов, 4 из которых окончили школы с углубленным изучением языка. Для стажировки по бухгалтерскому учету в Англии случайным образом отбираются 3 студентов.

а) Составьте ряд распределения числа студентов, среди отобранных, углубленно изучавших английский языка и постройте его график;

б) Найдите числовые характеристики этого распределения;

в) Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график;

г) Чему равна вероятность того, что на стажировку будет отправлено не более двух студентов, окончивших ранее спецшколы?

19. По данным страховой компании вероятность неурожая составляет 0,3. В случае неурожая, страховая фирма обязуется выплатить страховое возмещение. Договор страхования был заключен с 5 фермерскими хозяйствами.

а) Составьте ряд распределения числа фермерских хозяйств получивших страховое возмещение и постройте его график;

б) Найдите числовые характеристики этого распределения;

в) Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график;

г) Чему равна вероятность того, страховое возмещение было выплачено не более трем фермерским хозяйствам?

20. На предприятии 2000 единиц оборудования определенного вида Вероятность отказа единицы оборудования в течение часа составляет 0,001.

а) Составьте ряд распределения числа отказов оборудования в течение часа и постройте его график;

б) Найдите числовые характеристики этого распределения;

в) Запишите в общем виде функцию распределения вероятностей и постройте ее график;

г) Чему равна вероятность того, что в течение часа откажут как минимум 3 единицы оборудования?

5. Непрерывные случайные величины.