Рассмотрим особенности моделирования случайных событий.

Пусть имеются случайные числа x_i, т.е. возможные значения случайной величины x, равномерно распределённой в интервале {0,1}. Необходимо реализовать случайное событие А, наступающее с заданной вероятностью Р. Определим А как событие, состоящее в том, что выбранное значение x_i удовлетворяет неравенству:

x_i­£Р (1)

Тогда вероятность события А будет : . Противоположное событию А состоит в том, что x_i­>р. Тогда . Процедура моделирования состоит в этом случае в выборе значений x_i и сравнение их с р. При этом, если условие (1) удовлетворяется, то исходом испытания будет событие А.

Таким же образом можно рассмотреть группу событий. Пусть А₁, А₂…А_n – полная группа событий, наступающая с вероятностями Р₁, Р₂, … Р_n соответственно. Определим А_m как событие, состоящее, в ом, что выбранное значение x_i случайной величины x удовлетворяет неравенству:

l_m-1­<x_i<l_m, где (2)

Тогда . Процедура моделирования испытаний в этом случае состоит в последовательности сравнений случайных чисел x_i со значениями l_k. Исходом испытания оказывается событие A_m, если выполняется условие (2). Эту процедуру называют определением исхода по жребию в соответствии с вероятностями Р₁, Р₂, … Р_n.

При моделировании систем часто необходимо осуществить такие испытания, при которых искомый результат является сложным событием, зависящим от 2-х и более простых.

Пусть например, независимые события А и В имеют вероятности наступления Р_А и Р_В. Возможными исходами совместных испытаний в этом случае будут события с вероятностями Р_АР_В, (1-Р_А)Р_В, Р_А(1-Р_В), (1-Р_А)(1-Р_В). Для моделирования совместных испытаний можно использовать последовательную проверку условия (1). Он требует двух чисел x_i.

Рассмотрим случай, когда события А и В являются зависимыми и наступают с вероятностями Р_А и Р_В. Обозначим через Р(В/А) условную вероятность события В при условии, что событие А произошло. Считаем, что Р(В/А) задана. Из последовательности случайных чисел {X_i­} извлекается определённое число x_m и проверяется справедливость неравенства x_m<P_A. Если это неравенство справедливо, то наступило событие А. Для испытания, связанного с событием В используется вероятность Р(В/А). Из совокупности чисел {X_i­} берётся очередное число x_m+1 и проверяется условие x_m+1£ Р(В/А). В зависимости от того выполняется или нет это неравенство, исходом испытания является АВ или . Если неравенство x_m<P_A не выполняется, то наступило событие . Поэтому для испытания, связанного с событием В необходимо определить вероятность:

Выберем из совокупности {X_i­} число x_m+1 и проверим справедливость неравенства . В зависимости от того, выполняется оно или нет, получаем исходы испытания . Алгоритм вычислений можно представить в виде схемы, которая изображена на рисунке 7.1.

Рис.7.1. Схема моделирования группы случайных событий

7.2 Преобразование случайных величин.

Дискретная случайная величина h принимает значения y₁£ y₂ y₃… y_l с вероятностями P₁, P₂…, P_l составляющими дифференциальное распределение вероятностей:

y y₁ y₂…… y_j…

P(h=y) P₁, P₂……P_j… (3)

При этом интегральная функция распределения y_m£y_m+1; m=1,2,...

F_h(y)=0, y<y₁. (4)

Для получения дискретных случайных величин можно использовать метод обратной функции. Если x - равномерно распределённая на интервале (0, 1), случайная величина h получается с помощью преобразования

h=F_h^-1(x), где F_h^-1 - функция, обратная F_h. (5)

Алгоритм вычисления по (4) и (5) сводится к выполнению следующих действий:

если х₁<Р₁ то h=y₁ иначе,

если х₂<Р₁+Р₂ то h=y₂ иначе,

(6)

если х_j< то h=y_m иначе

При счёте по (6) среднее число циклов сравнения равняется

Пример 1. Необходимо методом обратной функции на основании базовой последовательности случайных чисел {x_i}, равномерно распределённых в интервале (0,1), получить последовательность чисел {y_i}, имеющих биноминальное распределение, задающее вероятность у удачных исходов в N реализациях некоторого эксперимента:

P(t_i=y)=P_N(y)=C_N^yP^y(1-P)^N-y , где P=0.5 и N=6; C_N^y=N!/y!(N-y)!

Математическое ожидание и дисперсия биноминального распределения соответственно будут М[y]=np(1-P). Используя для Р_j обозначения, принятые в (6), вычислим:

j …
yj …
Pj …	0.01562	0.09375	0.23438	0.3125	0.23438	0.09375	0.01562
…	0.01562	0.10937	0.34375	0.65625	0.89063	0.98438	1.0000

Например, получив из равномерного распределения число Х­_i=0.89063 и проведя сравнения по алгоритму (6), найдём, что 0.85393<0.89063, т.е. y_i=4. При этом среднее число циклов сравнения =1*0.01562+2*0.09375+3*0.23438+4*0.31250+5*0.23438+6*(0.09375+0.01562)»3.98.