Показательная и логарифмическая функции

Показательная функция одной переменной имеет вид

,

, - основание натуральных логарифмов. Функцию

называют экспонентой. График экспоненты при показан на рис. П1.8а, а на рис. П1.8б отдельно приведен график экспоненты при отрицательных аргументах.

Рис. П1.8

График экспоненты с отрицательным показателем ( ) показан на рис. П1.9.

Логарифмическая функция

,

- основание логарифма, обратна показательной, то есть

.

Рис. П1.9

Аргумент логарифма положителен, графики показаны на рис. П1.10. Кривая 1 соответствует двоичному логарифму ( ), кривая 2 – натуральному ( ) , а кривая 3 - десятичному ( ) .

Рис. П1.10

Логарифм при положителен, при он равен нулю, а при - отрицателен.

Комплексная экспонента

Комплексная экспонента записывается в виде

,

где - мнимая единица, - круговая частота (рад./с). На комплексной плоскости она отображается линией, для построения которой запишем по формуле Эйлера

,

и получим функцию, заданную параметрически

Ее график имеет вид окружности с радиусом , как показано на рис. П1.11.

Рис. П1.11

Комплексная экспонента отображает движение конца вектора с радиусом 1, вращающегося с круговой частотой против часовой стрелки.

Тригонометрические функции

Рассмотрим функции синус и косинус,

их графики показаны на рис. П1.12, а период равен .

Рис. П1.12

Графики функций тангенс и котангенс представлены на рис. П1.13,

(в пакете MathCAD соответственно и ), период повторения равен .

Графики обратных тригонометрических функций арксинус и арккосинус

(в пакете MathCAD соответственно и ) пока-

заны на рис. П1.14.

Рис. П1.13

Рис. П1.14

Обратные тригонометрические функции арктангенс и арккотангенс

графически представлены на рис. П1.15.

Рис. П1.15

Гармонические функции частоты

В радиотехнике особый интерес представляют гармонические функции (токи и напряжения) заданной частоты , в канонической формезаписываемая в виде

,

- амплитуда, - круговая частота, рад./с, - циклическая частота, Гц), - начальная фаза,

,

- период повторения по времени, с.

Построение графика необходимо начинать с оценки периода повторения. Например, для функции

период равен

мкс.

Тогда график необходимо строить на интервале времени в 2-5 периодов, например, от 0 до 30 мкс, 1000 точек, то есть с шагом 5 нс. Листинг программы MathCAD показан на рис. П1.16.

Рис. П1.16

Пунктиром на рис. П16 показан график функции

с нулевой начальной фазой, которая обычно используется как опорное колебание, относительно которого рассматривается сигнал и ненулевой начальной фазой . Начальная фаза соответствует смещению гармонической функции во времени,

,

где смещение во времени равно

.

На рис. П16 сплошная кривая смещена относительно пунктирной (опорной с нулевой начальной фазой) влево (опережает опорную кривую) на величину

мкс.

Типичная ошибка в построении графика гармонической функции показана в программе на рис. П1.17.

Рис. П1.17

В этом случае шаг изменения переменной выбран равным 1, хотя период повторения функции равен , что многократно меньше заданного шага и приводит к ошибочному графику.

Дробно-рациональные функции

В радиотехнике широко используются дробно-рациональные функции, равные отношению двух полиномов. Графики простейших из них показаны на рис. П1.18.

Рис. П1.18

Графики простых гладких функций удобно строить «качественно» (без вычислений) по значениям функции при и . Например, для последней функции получим и , тогда при изменении функция меняется от 0 до 1 и форма графика становится очевидной.

На рис. П.1.19 показаны графики квадратичных функций, при качественном построении которых необходимо находить их максимум или минимум.

Рис. П1.19

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ

В радиотехнике широко используется спектральный анализ сигналов, которые представляются в виде суммы гармонических сигналов. Эти возможности заложены в пакет MathCAD и программы схемотехнического моделирования.

Спектр периодического сигнала (тока или напряжения) описывается его разложением в ряд Фурье вида

(П2.1)

где параметры разложения определяются выражениями

, (П2.2)

, (П2.3)

, (П2.4)

(П2.5)

Гармоническая функция (П2.1) вида называется -й гармоникой сигнала ( - номер гармоники).

Частота первой гармоники равна

, (П2.6)

частота - гармоникикратна и равна

, (П2.7)

постоянная составляющаясигнала

. (П2.8)

В выражении (5.1) - амплитуда -й гармоникисигнала, - начальная фаза -й гармоники. Момент начала интегрирования выбирается произвольно исходя из удобства расчетов.

Ряд Фурье (П2.1) можно записать в комплексной форме,

, (П2.9)

где комплексная амплитуда -й гармоники равна

. (П2.10)

Набор чисел , называют спектром амплитуд сигнала, а набор , - его спектром фаз. Их значения отображаются графически в декартовых координатах вертикальными отрезками прямых (столбиками) как функция номера или частоты гармоники. Для сигнала на рис. П2.1 спектры амплитуд и фаз приведены на рис. П2.2.

Рис. П2.1

Рис. П2.2

В основе расчетов спектров сигналов лежит техника интегрирования (повторите соответствующий материал).

При численном расчете интегралов для различных компьютер будет многократно повторять одни и те же операции, что приводит к значительному увеличению времени вычислений. Для устранения этого недостатка разработаны алгоритмы быстрого преобразования Фурье (БПФ).

В программе MathCAD алгоритм БПФ реализуется, например, функцией fft(x) от массива отсчетов сигнала в моменты времени , - интервал квантования сигнала по времени, - номера отсчетов, а - число отсчетов сигнала,

. (П2.11)

Дискретизация по времени проводится на периоде сигнала ,

. (П2.12)

Для функции fft(x) объем массива отсчетов x должен быть равен целой степени 2, , - целое число, например, . Функция возвращает вектор (массив) комплексных чисел размером значений, определяющих комплексные амплитуды сигнала,

, (П2.13)

тогда для спектров амплитуд и фаз получим

, (П2.14)

, (П2.15)

Обратное преобразование Фурье вида (П2.9) также требует выполнения большого числа повторяющихся вычислений и для него разработаны алгоритмы быстрого обратного преобразования Фурье, которое в MathCAD реализуется функцией ifft(c), c – вектор комплексных чисел размером значений, формируемый функцией fft(x). Результатом является массив отсчетов исходного сигнала размером .

Примеры расчетов спектров сигнала в виде последовательности прямоугольных импульсов тока i(t) с амплитудой А, периодом с и длительностью с показаны на рис. П2.3. В программе получен массив F результатов БПФ и комплексные амплитуды гармоник тока (как видно, они не одинаковы). Получены графики спектров амплитуд и фаз, показанные в центре рис. П2.3, и проведено суммирование гармоник в соответствии с рядом Фурье (П2.1), графики показаны на рис. П2.3 внизу слева. Рядом справа показан результат обратного преобразования Фурье с помощью функции ifft(c) (отображается только один период сигнала).

Спектральный анализ сигналов можно проводить в программе MicroCAP, пример модели цепи показан на рис. П2.4, модель импульсного источника описана на рис. П2.5.

На рис. П2.6 показаны временные диаграммы напряжений на входе цепи v(1) (на источнике) и на емкости v(2). Они представлены на одном периоде сигнала мс, по которому и будет определяться его спектр, частота первой гармоники равна кГц. Спектры сигналов в отмеченных узлах показаны на рис. П2.7, большие по уровню гармоники соответствуют напряжению v(1), меньшие - v(2).

Рис. П2.3

Рис. П2.4

Рис. П2.5

Рис. П2.6

Рис. П2.7

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

СИМВОЛИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Программа MathCAD позволяет проводить разнообразные символьные вычисления. На рис. П3.1 показаны пошаговые примеры использования простых элементов меню «Символы»: символического знака равенства, комплексных вычислений и расширения выражения.

Рис. П3.1

Символический знак равенства используется для выполнения аналитических вычислений сумм, прогрессий и произведений, символы этих операций выбираются из меню «математический анализ», примеры которых показаны на рис. П3.2.

Рис. П3.2

Примеры символических вычислений интегралов показаны на рис. П3.3.

Рис. П3.3

Имеется возможность проводить прямое (fourier) и обратное (invfourier) преобразования Фурье, как показано на рис. П3.4. Для заданной функции времени с параметром (одиночного колоколообразного импульса) получено прямое преобразование Фурье (спектральная плотность) и затем обратным преобразованием Фурье получена исходная функция с использованием оператора упрощения результата. В нижней части рис. П3.2 показаны графики полученных функций.

Рис. П3.4

Преобразование Фурье используется при спектральном анализе одиночных сигналов.

Программа MathCAD позволяет проводить в символьном виде прямое и обратное преобразования Лапласа, необходимые, например, для анализа переходных процессов в электрических цепях. На рис. П3.5 показаны примеры применения символьного преобразования Лапласа.

Рис. П3.5

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Введение в математическое моделирование [Текст] / под ред. П.В. Трусова. – М.: Логос, 2005. - 440 с.

2. Макаров Е. Г. – Mathcad: учебный курс [Текст] / Е.Г. Макаров. СПб.: Питер, 2009. – 394 с.

3. Амелина М.А. Программа схемотехнического моделирования Micro-Cap 8 [Текст] / М.А. Амелина, С.А. Амелин. – М.: Горячая линия – Телеком, 2005. – 464 с.

4. Карлащук В.И . Электронная лаборатория на IBM PC.Программа Electronics Workbench и ее применение. [Текст] / В.И. Карлащук. - М.: Солон-Р,1999. – 506 с.

5. Литвиненко В.П. Расчет линейных электрических цепей [Текст]: учеб. пособие / В.П. Литвиненко, Ю.В. Литвиненко. - Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2009. - 243 с.

6. Литвиненко В.П. Основы электротехники. Цепи постоянного тока, линейные цепи при гармонических воздействиях [Текст]: учеб. пособие / В.П. Литвиненко. - Воронеж: ВГТУ, 2005. - Ч.1. 152 с.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Освоение современных методов расчета и моделирования радиоэлектронных устройств и необходимого для этого программного обеспечения является основой подготовки высококвалифицированных специалистов.

Универсальная вычислительная программа MathCAD позволяет проводить инженерные расчеты на языке, приближенном к привычной для человека записи математических выражений. Она обладает развитыми вычислительными средствами, возможностями универсального программирования, графического представления результатов, символьных преобразований. Достоинство MathCAD – удобство и быстрота программирования, недостаток – снижение скорости выполнения программы.

Схемотехническое моделирование является мощным инструментом проектирования электронных устройств. Для анализа сравнительно простых электрических цепей используются программы MicroCAP и WorkBench. Они позволяют определять токи и напряжения в цепи, передаточные и частотные характеристики. Результаты моделирования хорошо согласуются с экспериментами.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………... 3

1. ВЫЧИСЛЕНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ……….. 4

1.3. Основные понятия …………………………………. 4

1.4. Вычисления ……………………………………..….. 5

1.3. Моделирование …………………………………….. 7

2. ПРОГРАММА MATHCAD………………………... 8

2.1. Назначение программы ………………………….… 8

2.2. Ввод данных ……………………………………...… 8

2.3. Операторы и функции ………………………….… 10

2.4. Графики ………………………………………….... 12

2.5. Решение уравнений …………………………….… 15

2.6. Матрицы …………………………………………... 18

2.7. Дифференциальные уравнения ………………….. 20

2.8. Программирование ……………………………….. 23

2.9. Моделирование сигналов и помех …………...….. 26

3. РАСЧЕТ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА …..… 30

3.1. Цепь постоянного тока …………………………... 30

3.2. Расчет на основе закона Ома …………………….. 32

3.3. Расчет цепи по уравнениям Кирхгофа ………….. 34

3.4. Мощность в цепи постоянного тока …………..… 38

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ,

МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД……... 41

4.1. Гармонический сигнал ………………………….... 41

4.2. Комплексная амплитуда …………………………. 44

4.3. Комплексные числа ………………………………. 45

4.3. Расчет гармонических токов и напряжений

методом комплексных амплитуд ………………... 48

4.3.1. Расчет цепи на основе закона Ома …….. 48

4.3.2. Общий метод расчета цепи по уравнениям

Кирхгофа ……………………………………….... 51

5. ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦЕПИ …………………..… 56

5.1. Виды характеристик цепи ………………………... 56

5.2. Вольтамперные характеристики ……………….... 56

5.3. Передаточные характеристики по постоянному

току ……………………………………………...… 61

5.4. Частотные характеристики ……………………..... 64

СИСТЕМА СХЕМОТЕХНИЧЕСКОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ MICROCAP …………….... 67

6.1. Формирование модели ………………………….... 67

6.2. Моделирование цепи постоянного тока ……….... 68

6.3. Моделирование цепи переменного тока ……..….. 71

6.4. Моделирование частотных характеристик ….….. 73

6.5. Моделирование электронных устройств ………... 76

7. ПРОГРАММА WORKBENCH ………………...… 81

7.1. Общее описание программы …………………….. 81

7.2. Измерительные приборы ……………………….... 82

7.3. Построение модели ………………………………. 86

7.4. Модель импульсного генератора ……………...… 87

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

И ИХ ГРАФИКИ ...…….…… …. 89

ПРИЛОЖЕНИЕ 2СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

СИГНАЛОВ ………….…………106

ПРИЛОЖЕНИЕ 3 СИМВОЛИЧЕСКИЕ

ВЫЧИСЛЕНИЯ …………...….. 114

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ………………. 117

ЗАКЛЮЧЕНИЕ …………………………………….… 118

Учебное издание

Литвиненко Владимир Петрович

Чернояров Олег Вячеславович

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ВЫЧИСЛЕНИЯ

В авторской редакции

Компьютерный набор В.П. Литвиненко

Подписано в печать 19.01.2015.

Формат 60 84/16. Бумага для множительных аппаратов.

Усл. печ. л. 7,5. Уч.-изд. л. 5,1. Тираж 250 экз.

Зак. №

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический

университет»

394026 Воронеж, Московский просп., 14