Двоичная, десятичная и шестнадцатеричная системы счисления. Перевод чисел в десятичную систему счисления

Значение числа, представленного конечной дробью, в n-ичной системе счисления

a_ma_m–1…a₁a₀,a_–1a_–2…a_–k,

где «,» – разделитель целой и дробной частей; a_i, i = –k, m; или с явным указанием основания системы счисления

(a_ma_m–1…a₁a₀,a_–1a_–2…a_–k)_n,

определяется по формуле

a_mn^m + a_m–1n^m–1 + … + a₁n¹ + a₀n⁰ +

+ a_–1n^–1 + a_–2n^–2 + … + a_–kn^–k = (4.1).

В информатике и вычислительной технике широко используются следующие системы счисления:

- двоичная n = 2; используемый алфавит: A = {0, 1}; например, 0111000₂;

- десятичная n = 10; используемый алфавит: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; например, 102₁₀; РІ дальнейшем числа без указания основания системы счисления будем считать десятичными;

- шестнадцатеричная n = 16; используемый алфавит: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}; цифры A, B, C, D, E, F имеют десятичные количественные эквиваленты 10, 11, 12, 13, 14, 15 соответственно; например, AB034D₁₆.

Представление цифр в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления представлено в табл. 4.1.

Таблица 4.1. Соответствие между цифрами двоичной, десятичной и шестнадцатеричной систем счисления

В вычислительной технике используется двоичная система счисления, то есть все числа и данные представляются в виде последовательности нулей и единиц (бит). Двоичная система счисления обладает следующими преимуществами перед системами счисления с другими основаниями:

- для реализации двоичных цифр необходимы технические устройства с двумя устойчивыми состояниями: «ток есть» – «ток отсутствует», «намагничено» – «не намагничено» и т. п., а не с десятью – как в десятичной системе счисления;

- представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

- для выполнения арифметических операций используется простой аппарат алгебры высказываний (булевой алгебры).

В вычислительной технике процессы ввода, вывода и обработки числовых данных связаны с преобразованием чисел из одной системы счисления в другую. Поэтому рассмотрим правила перевода чисел одной системы счисления в систему счисления с другим основанием.

Правило 4.1. (перевод целого или дробного числа из n-й системы счисления в десятичную) Число из n-й системы счисления в десятичную переводится с использованием формализованного представления числа (4.1).

Пример 4.2. Перевести число A50D,0B₁₆ РІ десятичную систему счисления.

Решение. Используем формулу (4.1):

A×16³ + 5×16² + 0×16¹ + D×16⁰ + 0×16^–1 + B×16^–2.

Запишем вместо цифр шестнадцатеричной системы счисления их десятичные эквиваленты и выполним операции умножения и сложения:

10×16³ + 5×16² + 0×16¹ + 13×16⁰ + 0×16^–1 + 11×16^–2 =

= 10×4096 + 5×256 + 13×1 + 11×0,00390625 = 42448,04296875. □

Очевидно, что цифру 0 при переводе чисел можно опускать.

4.3. Перевод целых чисел из одной системы
счисления в другую

Правила перевода числа в другую, не десятичную систему счисления различаются для целых и дробных чисел.

Правило 4.2. (перевод целых чисел из десятичной системы счисления в n-ую систему счисления) Перевод целого числа X осуществляется по следующему алгоритму:

1) получить цифру числа n-ой системы счисления как остаток от деления числа X на основание новой системы счисления n; полученную цифру приписать слева от имеющихся цифр;

2) принять за X частное от деления числа X на основание системы счисления n;

3) выполнять шаги 1-2, РїРѕРєР° X ¹ 0.

Пример 4.3. Перевести число 25 в двоичную систему счисления.

Решение. Удобно представить перевод числа в виде столбца, каждая строка которого содержит частное и остаток от деления числа X на основание двоичной системы счисления n = 2.

Р’ результате получим число 11001₂ – результат перевода числа 25 РІ двоичную систему счисления. □

Правило 4.3. (перевод из шестнадцатеричной в двоичную систему счисления) Каждая цифра шестнадцатеричного числа заменяется тетрадой (четырьмя битами), являющейся представлением этой цифры в двоичной системе счисления (табл. 4.1).

Пример 4.4. Перевести число 3BC₁₆ РІ двоичную систему счисления.

Решение. Цифра 3₁₆ представляется числом 0011₂, B₁₆ – 1011₂, C₁₆ – 1100₂. РўРѕРіРґР° результат перевода числа 3BC₁₆ РІ двоичную систему счисления будет равен 001110111100₂. □

Правило 4.4. (перевод из двоичной в шестнадцатеричную систему счисления) Двоичное число делится на тетрады справа налево. Каждая тетрада заменяется соответствующей ей цифрой. Если самая левая тетрада неполная, то есть содержит меньше четырех цифр, то слева от числа дописываются нули.

Пример 4.5. Перевести число 1110111100₂ РІ шестнадцатеричную систему счисления.

Решение. Разделим число на тетрады и поставим в соответствие каждой тетраде шестнадцатеричную цифру. В самой левой тетраде только две единицы, поэтому дополним ее слева двумя нулями.

Р’ результате получаем число 3BC₁₆. Данный пример является обратным примеру 4.4, поэтому исходные данные Рё результат этих РґРІСѓС… примеров противоположны. □

РЎ помощью шестнадцатеричной системы счисления СѓРґРѕР±РЅРѕ записывать значения байт, так как восемь Р±РёС‚ записываются РґРІСѓРјСЏ шестнадцатеричными цифрами. Например, число 11110001₂ будет записано как число F1₁₆.

4.4. Перевод дробных чисел из одной системы
счисления в другую

Если при переводе конечной дроби в другую систему счисления получается конечная дробь, то такой перевод называется точным. Если при переводе получается бесконечная дробь, тогда перевод называется приближенным.

Правило 4.5. (перевод дробных чисел из n-й в десятичную систему счисления) Вещественное число переводится из n-й в десятичную систему счисления с использованием формализованного представления числа (4.1).

Правило 4.6. (перевод дробных чисел с нулевой целой частью из десятичной в n-ую систему счисления) Дробное число X, у которого целая часть равна 0, переводится из десятичной в n-ую систему счисления по следующему алгоритму:

1) умножить X на n;

2) получить цифру как целую часть числа X и приписать ее справа от имеющихся цифр;

3) обнулить целую часть числа X;

4) выполнять шаги 1-3, РїРѕРєР° X ¹ 0 (РїСЂРё точном переводе) или РґРѕ получения нужного количества цифр РІ РґСЂРѕР±РЅРѕР№ части (РїСЂРё приближенном переводе СЃ заданной точностью).

Пример 4.6. Перевести число 0,6875 в двоичную систему счисления.

Решение. Вновь схему перевода запишем в виде столбца.

РќР° последнем шаге перевода получена единица. После обнуления целой части получим 0. Значит, перевод закончен. Результат перевода числа 0,6875 РІ двоичную систему счисления – число 0,1011₂.

Если Р±С‹ нам было необходимо получить РґСЂРѕР±РЅСѓСЋ часть СЃ точностью РґРѕ 3 знаков, то процесс перевода был Р±С‹ остановлен после получения 3 цифр РІ РґСЂРѕР±РЅРѕР№ части. □

Правило 4.7. (перевод дробных чисел с ненулевой целой частью из десятичной в n-ую систему счисления) При переводе дробных чисел из десятичной в n-ую систему счисления отдельно переводятся целая и дробная части.

Пример 4.7. Перевести число 25,6875 в двоичную систему счисления.

Решение. Перевод целой и дробной частей был выполнен в примерах 4.3 и 4.6. Объединим результаты перевода в одно число:

25,6875 = 11001,1011₂. □

Десятичная система счисления может использоваться в качестве промежуточного этапа при переводе чисел из одной системы счисления в другую. Приведенные в этой главе правила позволяют перевести числа из одной системы счисления в десятичную, а из нее – в любую другую системы счисления.

Глава 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ,
СИМВОЛОВ, ГРАФИЧЕСКИХ
И ЗВУКОВЫХ ДАННЫХ В ЭВМ