Форматы представления целых чисел

Числа в ЭВМ хранятся в соответствии с форматом. Формат – это соглашение или правила представления числа в виде последовательности бит.

Минимальная единица хранения данных в ЭВМ – 1 байт. Существуют следующие форматы представления целых чисел: байт (полуслово), слово (включает 2 байта), двойное слово (4 байта), расширенное слово (8 байт). Биты, из которых состоят эти форматы, называются разрядами. Таким образом, в байте 8 разрядов, в слове – 16 разрядов, а в двойном слове – 32 разряда. Слева находятся старшие разряды, а справа – младшие. Каждый из этих форматов может быть знаковым (рис. 5.1) для представления положительных и отрицательных чисел или беззнаковым (рис. 5.2) для представления положительных чисел.

Рис. 5.1. Знаковые форматы представления целых чисел

Знаковым является самый старший разряд. На рис. 5.1 знаковый разряд обозначен символом S. Если он равен 0, то число считается положительным, а если разряд равен 1, то число считается отрицательным.

Рис. 5.2. Беззнаковые форматы представления целых чисел

В общем виде диапазон значений, представляемых знаковыми форматами представления целых чисел (табл. 5.1) определяется по формуле

–2^n–1 £ X £ 2^n–1 – 1,

а для беззнакового формата определяется по формуле

0 £ X £ 2ⁿ – 1,

где n – число разрядов в формате.

Таблица 5.1. Форматы представления целых чисел в ЭВМ

5.1.2. Прямой и дополнительный коды
представления двоичных чисел

В прямом коде старший бит кодирует знак числа (0 – для положительного, 1 – для отрицательного), а остальные биты – модуль числа.

Пример 5.1. Число 11 РІ РїСЂСЏРјРѕРј РєРѕРґРµ будет представляться как 0|1011_Рї, Р° число –11 – как 1|1011_Рї. □

В дополнительном коде положительное число кодируется также как и в прямом. Для представления отрицательного числа в дополнительном коде, существуют два способа. При представлении чисел в дополнительном коде используется операция инвертирования – замена бита на противоположный, то есть 0 на 1, а 1 на 0.

Правило 5.1. (поразрядное представление отрицательного числа в дополнительном коде) Представить модуль отрицательного числа в прямом коде и проинвертировать все разряды левее самой младшей (правой) единицы.

Пример 5.2. Представить число –11 в дополнительном коде с помощью поразрядного представления.

Решение. Переведем модуль этого числа РІ двоичную систему: 11 = 1011₂ Рё представим его РІ РїСЂСЏРјРѕРј РєРѕРґРµ: 0|1011_Рї. Самая младшая единица – последняя, поэтому ее оставляем без изменения, Р° остальные разряды слева инвертируем (СЂРёСЃ. 5.3).

Р’ результате получаем 1|0101_Рґ – представление числа –11 РІ дополнительном РєРѕРґРµ. □

Рис. 5.3. Представление числа –11 в дополнительном коде

Правило 5.2. (арифметическое представление отрицательного числа РІ дополнительном РєРѕРґРµ) Прибавить Рє отрицательному числу 2^m, РіРґРµ m – количество разрядов РІ двоичном представлении или данном формате, Рё полученное число перевести РІ двоичную систему счисления. Для байта 2⁸ = 256, для слова 2¹⁶ = 65 536, для РґРІРѕР№РЅРѕРіРѕ слова 2³² = 4 294 967 296.

Из этих правил можно сделать вывод, что положительные числа в случае увеличения числа разрядов дополняются слева нулями, а отрицательные – единицами.

Пример 5.3. Представить число –11 в дополнительном коде путем арифметического представления.

Решение. Пусть необходимо получить m = 5 разрядов дополнительного РєРѕРґР°. Вычислим слагаемое 2^m = 2⁵ = 32. Произведем сложение Рё перевод РІ двоичную систему счисления:

–11 + 32 = 21 = 10101₂.

Полученный результат соответствует представлению числа –11 в дополнительном коде.

Для m = 8, 2⁸ = 256:

–11 + 256 = 245 = 11110101₂.

Представление числа –11 было дополнено единицами слева РґРѕ 8 разрядов. □

Возможно и обратное преобразование отрицательных чисел, записанных в дополнительном коде.

Правило 5.3. (поразрядное определение значения отрицательного числа, записанного в дополнительном коде) Алгоритм определения значения отрицательного числа в дополнительном коде состоит из следующих шагов.

1. Проинвертировать все разряды левее самой младшей (правой) единицы.

2. Перевести число из двоичной системы счисления в десятичную систему по правилу 4.1.

3. Умножить результат на –1.

Пример 5.4. Определить, какое десятичное число закодировано числом 1|0101_д с помощью поразрядного определения.

Решение. Проинвертируем разряды числа:

1010|1_Рґ В® 0101|1_Рї.

Переведем число из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления:

01011₂ = 11.

Умножим результат РЅР° –1 Рё получим число –11. □

Правило 5.4. (арифметическое определение отрицательного числа, записанного в дополнительном коде) Перевести двоичное число в десятичную систему счисления и вычесть из полученного числа число 2^m, где m – количество разрядов в двоичном представлении.

Пример 5.5. Определить, какое десятичное число закодировано числом 1|0101_д с помощью арифметического определения.

Решение. Переведем число из двоичной системы счисления в десятичную систему счисления:

10101₂ = 21.

Вычтем РёР· полученного результата перевода число 2^m = 2⁵ = 32, так как двоичное число состоит РёР· 5 разрядов:

21 – 32 = –11.

Р’ результате получим десятичное число –11. □

Числа в знаковых форматах записываются в дополнительном коде, а в беззнаковых – в прямом.

Запись в дополнительном коде необходима, чтобы складывать и вычитать положительные и отрицательные числа без преобразований.

Пример 5.6. Сложить 21 и –11 в двоичной системе счисления.

Решение. Переведем слагаемые в дополнительный код:

21 = 0|10101_д; –11 = 1|10101_д.

Будем использовать правила двоичной арифметики:

0 + 0 = 0;

1 + 0 = 0 +1 = 1;

1 + 1 = 10 (с переносом единицы в следующий разряд).

Сложим два двоичных числа столбиком с учетом того, что перенос единицы из знакового разряда игнорируется:

010101₂

110101₂

001010₂ = 10.

Р’ результате получено число 10 – СЃСѓРјРјР° 21 Рё –11 без дополнительных преобразований. □

Форматы целых чисел слово Рё РґРІРѕР№РЅРѕРµ слово хранятся РІ памяти Р­Р’Рњ РІ обратном РїРѕСЂСЏРґРєРµ, то есть сначала младший байт, Р° затем старший. Например, слово B5DE₁₆ будет располагаться РІ памяти, как показано РЅР° СЂРёСЃ. 5.4.

Р РёСЃ. 5.4. Расположение слова B5DE₁₆ РІ памяти Р­Р’Рњ

Такое расположение байт удобно при операциях с числами, так как вычисления начинаются с младших разрядов, поэтому они и располагаются сначала.

5.2. Представление вещественных чисел
РІ Р­Р’Рњ

Вещественные числа представляются в форме числа с плавающей запятой (точкой) вида:

В±M × n^В±P,

где M – мантисса (значащая часть числа); n – основание системы счисления; P – порядок числа.

Пример 5.7. Число 2,5 × 10¹⁸ имеет мантиссу равную 2,5, Р° РїРѕСЂСЏРґРѕРє равный 18. □

Мантисса называется нормализованной, если ее абсолютное значение лежит в диапазоне:

1/n £ |M| < 1,

где n – основание системы счисления.

Это условие означает, что первая цифра после запятой не равна нулю, а абсолютное значение мантиссы не превышает единицы.

Число с нормализованной мантиссой называется нормализованным.

Пример 5.8. Представить числа –245,62 и 0,00123 в форме числа с плавающей точкой.

Решение. Число –245,62 можно представить РІ форме числа СЃ РїРѕСЂСЏРґРєРѕРј –245,62 × 10⁰. Мантисса этого числа РЅРµ нормализована, поэтому поделим его РЅР° 10³, увеличив РїСЂРё этом РїРѕСЂСЏРґРѕРє:

–0,24562 × 10³.

Р’ результате число –0,24562 × 10³ нормализовано.

Число 0,00123 РІ форме числа СЃ РїРѕСЂСЏРґРєРѕРј 0,00123 × 10⁰ РЅРµ нормализовано, так как РЅРµ нормализована мантисса. Умножим мантиссу РЅР° 10², уменьшив РїСЂРё этом РїРѕСЂСЏРґРѕРє:

0,123 × 10^–2.

Р’ результате число 0,123 × 10^–2 нормализовано. □

В данном примере для нормализации мантиссы запятая сдвигалась вправо или влево. Поэтому такие числа называют числами с плавающей точкой. В отличие от чисел с фиксированной точкой, они значительно ускоряют арифметические операции, при этом каждый раз необходимо нормализовывать мантиссу чисел с плавающей точкой.

Для основанного на стандарте IEEE-754 представления вещественного числа в ЭВМ используются m + p + 1 бит, распределяемые следующим образом (рис. 5.5): 1 разряд знака мантиссы; p разрядов порядка; m разрядов мантиссы.

Рис. 5.5. Структура общего формата числа с плавающей точкой

Это представление называется (m, p)-форматом.

Диапазон представления чисел X (m, p)-форматом определяется из неравенства:

£ X £ (1 – 2^{– m –1}) В» .

При этом порядок числа P должен удовлетворять условию
–2^{p – 1} + 1 £ P £ 2^{p – 1} – 1

Для вещественных чисел в стандарте IEEE-754 используются (23,8)- и (52,11)-форматы, называемые одинарным и двойным вещественными форматами соответственно (табл. 5.2).

Чтобы представить значение этих РїРѕСЂСЏРґРєРѕРІ, количество секунд, прошедших СЃ момента образования планеты Земля, составляет всего 10¹⁸.

Правило 5.5. (перевод десятичных чисел в (m, p)-формат) Алгоритм перевода десятичного числа X в (m, p)-формат состоит из следующих шагов.

1. Если Х = 0, то принять знаковый разряд, порядок и мантиссу за ноль и закончить алгоритм.

2. Если X > 0, то принять знаковый разряд 0, иначе принять 1. Знаковый разряд сформирован.

3. Перевести целую и дробную часть абсолютного значения числа X в двоичную систему счисления. Если число дробное, то получить m + 1 разрядов. Принять порядок равный нулю.

Таблица 5.2. Сравнительные характеристики
вещественных форматов

4. Если X ³ 1, то перенести запятую влево РґРѕ самого старшего разряда Рё увеличить РїРѕСЂСЏРґРѕРє, иначе перенести запятую вправо РґРѕ первого ненулевого (единичного) разряда Рё уменьшить РїРѕСЂСЏРґРѕРє.

5. Если число разрядов дробной части меньше m, то дополнить дробную часть нулями справа до m разрядов. Отбросить единицу из целой части. Мантисса сформирована.

6. Прибавить к порядку смещение 2^{p – 1} – 1 и перевести порядок в двоичную систему счисления. Порядок сформирован. Код, в котором представлен порядок, называется смещенным. Смещенный порядок упрощает сравнение, сложение и вычитание порядков при арифметических операциях.

7. Записать знаковый разряд, порядок и мантиссу в соответствующие разряды формата.

Пример 5.9. Представить число –25,6875 в одинарном вещественном формате.

Решение. В примере 4.7 был произведен перевод абсолютного значения числа –25,6875 в двоичную систему и было получено 9 разрядов:

25,6875 = 11001,1011₂.

Нормализуем число, сдвинув запятую влево и повысив порядок:

1,10011011₂ × 2⁴.

После отбрасывания целой части остается 23 разряда дробной части (в соответствии с форматом (23,8)), записываемые как мантисса:

10011011000000000000000.

Порядок равен 4 (степень двойки после сдвига запятой влево). Произведем его смещение и перевод в двоичную систему счисления:

4 + 127 = 131 = 10000011₂.

Число –25,6875 отрицательное, следовательно, знаковый разряд равен 1.

Все готово для представления числа –25,6875 в одинарном вещественном формате по схеме знаковый разряд + порядок + мантисса:

1 10000011 10011011000000000000000.

Разделим это число по 8 разрядов, сформируем байты и запишем их шестнадцатеричными числами:

Таким образом, число –25,6875 можно записать как C1CD8000. □

Как и форматы целых чисел, форматы вещественных чисел хранятся в памяти ЭВМ в обратном порядке следования байт (сначала младшие, потом старшие).

Арифметические операции над числами с плавающей точкой осуществляются в следующем порядке.

При сложении (вычитании) чисел с одинаковыми порядками их мантиссы складываются (вычитаются), а результату присваивается порядок, общий для исходных чисел. Если порядки исходных чисел разные, то сначала эти порядки выравниваются (число с меньшим порядком приводится к числу с большим порядком), а затем выполняется операция сложения (вычитания) мантисс. Если при выполнении операции сложения мантисс возникает переполнение, то сумма мантисс сдвигается влево на один разряд, а порядок суммы увеличивается на 1.

При умножении чисел их мантиссы перемножаются, а порядки складываются.

При делении чисел мантисса делимого делится на мантиссу делителя, а для получения порядка частного из порядка делимого вычитается порядок делителя. При этом если мантисса делимого больше мантиссы делителя, то мантисса частного окажется больше 1 (происходит переполнение) и запятую следует сдвинуть влево, одновременно увеличив порядок частного.

Представление символов в ЭВМ

В ЭВМ каждый символ (например, буква, цифра, знак препинания) закодирован в виде беззнакового целого двоичного числа. Кодировка символов – это соглашение об однозначном соответствии каждому символу одного беззнакового целого двоичного числа, называемого кодом символа.

Для русского алфавита существует несколько кодировок (табл. 5.3).

Таблица 5.3. Кодировки букв алфавита русского языка

В кодировках 866, 1251, КОИ-8 и Unicode первые 128 символов (цифры, заглавные и строчные латинские буквы, знаки препинания) со значениями кодов от 0 до 127 одни и те же и определяются стандартом ASCII (American Standard Code for Information Interchange – американский стандартный код для обмена информацией). Цифры 0, 1, ..., 9 имеют соответственно коды 48, 49, ..., 57; прописные латинские буквы A, B, ..., Z (всего 26 букв) – коды 65, 66, ..., 90; строчные латинские буквы a, b, ..., z (всего 26 букв) – коды 97, 98, ..., 122.

Вторые 128 символов СЃРѕ значениями РєРѕРґРѕРІ РѕС‚ 128 РґРѕ 255 РєРѕРґРёСЂРѕРІРѕРє 866, 1251, КОИ-8 содержат символы псевдографики, математические операции Рё символы алфавитов, отличных РѕС‚ латинского. Причем разные символы разных алфавитов имели РѕРґРёРЅ Рё тот же РєРѕРґ. Например, РІ РєРѕРґРёСЂРѕРІРєРµ 1251 СЃРёРјРІРѕР» СЂСѓСЃСЃРєРѕРіРѕ алфавита Р‘ имеет тот же РєРѕРґ, что Рё СЃРёРјРІРѕР» Á РІ стандартной РєРѕРґРёСЂРѕРІРєРµ ASCII. Такая неоднозначность вызывала проблемы СЃ РєРѕРґРёСЂРѕРІРєРѕР№ текста. Поэтому была предложена двухбайтовая РєРѕРґРёСЂРѕРІРєР° Unicode, которая позволяет закодировать символы РјРЅРѕРіРёС… нелатинских алфавитов.

Десятичные значения кодов букв русского алфавита в кодировках 866, 1251 и Unicode приведены в табл. 5.4.

Таблица 5.4. Значения кодов букв русского алфавита

В кодировке КОИ-8 (табл. 5.5) коды букв русского алфавита упорядочены не по расположению букв в алфавите, а по соответствию их буквам латинского алфавита. Например, коды латинских букв А, В, С имеют соответственно десятичные значения 65, 66, 67, а русских букв А, Б, Ц – значения 225, 226, 227.

Таблица 5.5. Значения кодов букв русского алфавита
в кодировке КОИ-8