Режими переносу заряду в наноструктурах

Раніше ми ввели, під час обговорення моделі Друде, концепцію довжини вільного пробігу.

Рис. 8. Електронні траєкторії для дифузійного , квазібалістичний й балістичного транспортних режимів.

Шляхом порівняння середньої довжини вільного пробігу `з характерними розмірами системи, і , можна розрізняти дифузійний, квазибалістичний і балістичний транспорт зарядів (див. рис.8.).

Як правило, нанопровідники виготовлено за допомогою планарної технології. Іншими словами, геометрична модель для них, яка дозволяє просунутися в область обчислення провідності, є плоска модель шару, для якого ширина значно перевищує довжину . Природно, що більше реалістична модель показана на рисунку 8 (а), проте, для планарних структур висота провідника значно менше інших розмірів, тому доцільно прийняти модель шару рисунка 8(в).

(а) (в)

Рис. 9. Модель нанопровідника.

Ми зосередимо нашу увагу на балістичній провідності, яка є більш актуальною в наноструктурах.

Опір балістичного провідника

Для того щоб вирішити чи використовувати модель балістичної провідності, необхідно знайти довжину хвилі Фермі й зрівняти її з розмірами системи (звичайно поперечними). Якщо довжина хвилі порівнянна із розміром і немає істотних нерегулярностей, то ми перебуваємо в балістичному режимі. Якщо взяти, приміром, GaAs, характерна поверхнева щільність носіїв заряду в якому дорівнює , то з формул знаходимо .

Розглянемо шматок провідника, що розташовано між двома великими контактними площадками, як показано на рис. 9 (в). Якщо б розміри провідника були великими, то ми знаємо, що його кондактанс (провідність) буде визначатися як , де - питома поверхнева провідність. Надалі, для цих величин ми будемо використовувати терміни: кондактанс і коефіцієнт провідності. Помітимо, що зараз працюємо з планарними (поверхневими) структурами. Із формули для кондактанса витікає, що якщо зменшується, то кондактанс збільшується необмежено. Експериментально, однак, було показано, що обмірювана провідність наближається до граничного значення й кінцевого опору , коли довжина провідника стає набагато менше, ніж довжина вільного пробігу.

Звідки виникає цей кінцевий опір? Адже, якщо електрони ні на чому не розсіюються, опір повинен бути дорівнювати нулю. Дійсно, рух електронів у цьому випадку, скоріше нагадує траєкторії більярдних куль. Та й квантова механіка не може дозволити такий парадокс. Ми просто заміняємо електрон на електронну хвилю й, якщо хвилі не на чому розсіюватися, вона буде поширюватися без загасання. Для того щоб знайти вихід з даного протиріччя, природно припустити, що кінцевий опір виникає в результаті взаємодії між провідником і контактними площадками, які складаються з різних матеріалів. Із цієї причини ми будемо думати про цей кінцевий опір балістичного провідника, як про контактний опір. Коли ми говоримо про різні матеріали провідника й контактів, то маємо на увазі, насамперед, геометричні особливості й характерні розміри. Основне завдання контактів – поставляти електрони в провідник із заданим хімічним потенціалом (енергією). У контактах електрони розподілено відповідно до розподілу Фермі-Дірака із певним значенням енергії Фермі. Якщо вважати, що контакти – двовимірні структури, які отримано в результаті напилювання, то електрони розподілено по поздовжнім і поперечним модам однаково, іншими словами, ми бачимо ізотропну картину. У самому ж провіднику енергія електронів має вигляд як на малюнку 4. Є набір поздовжніх станів, структура яких визначається розмірами системи; основна їхня особливість у тім, що вони розміщені дуже густо, відстань між ними в просторі хвильових чисел дорівнює . З іншого боку, існують і поперечні моди, які більш сильно рознесені по енергії. Зокрема, ( - поздовжня координата, - поперечна). Нагадаємо, що в поперечному напрямку ми приймаємо для хвильової функції умова обігу її в нуль на границі, тому Таким чином, ми знайшли розходження між контактами й провідником: якщо в провіднику електрони можуть перебувати в станах з більшою кількістю поперечних мод, то в провіднику їх буде кінцеве значення. Іншими словами, існує якась несумірність у розподілі по поперечних модах. У контактах вони розташовані дуже густо, , де - характерний розмір контакту, і їх можна вважати нескінченно багату кількість, а в провіднику рідко, внаслідок того що . Отже, можна вважати, що контактний опір - це результат перерозподілу електронів по модах при переході з контакту в провідник. Звичайно, ми позбудемося від цього контактного опору, просто зробивши контакти ідентичними провіднику. Але в цьому випадку ми вийшли б з області наноелектроніки й проблема втратила б зміст. У кожному разі, по розміру контакти набагато більші, ніж нанопровідники. І якщо зробити контакти з нанопровідників, у якому розподіл по модах буде таким же, той контактний опір буде відсутній, але не можна забувати, що ми повинні використовувати ще контакти для наших нових наноконтактів, до яких можна було б приєднати зовнішнє джерело. Від контактного опору ніяк не піти. Помітимо ще, що якщо подати напругу на систему контакти-нанопровідник, спадання напруги буде зосереджено на переходах контакт-провідник. Для того щоб обчислити струм, треба розглянути, що відбувається на контакті між резервуарами електронів (контакти 1 і 2 на малюнку 9(в)) і, властиво, нанопровідником.

Безвідбивні контакти.Для розрахунку контактного опору ми розглянемо балістичний провідник і розрахуємо струм через нього для даної різниці хімічних потенціалів (енергій) між двома контактами , при цьому не можна забувати, що заряд електрона негативний, тому якщо напруга джерела , те . Для розрахунку струму необхідно зрозуміти, що відбувається, коли електрони входять із контакту в провідник. Це складне завдання, що, однак була вирішена в 1989 році шляхом чисельного моделювання проходження електронів з контакту в провідник. Було показано, що коли електрони виходять із провідника в контакт, то вони розсіваються в перехідній області із дуже малою ймовірністю. Іншими словами, можна вважати, що процес входу в контакт із провідника носить практично безвідбивний характер. З іншого боку, коли електрони виходять із контакту в провідник, вони сильно розсіваються. Це можна зрозуміти з наступних міркувань. У контакті багато вільних станів, це, фактично, макроскопічний об'єкт, основне завдання якого поставляти електрони в провідник, а в провіднику - всі стани (рахункове число) вільні доти, поки не потече струм; у цьому випадку вони будуть зайняті, причому в одному стані буде не більше одного електрона.

Рис. 10. Випадки встановлення рівноваги між контактом і провідником.

Таким чином, ніщо не буде перешкоджати електрону покинути провідник і зайняти вільні стани в контакті. Інша справа, зворотний процес, коли електрони з контакту намагаються вийти в провідник. Наочно можна уявити собі дві залюднені кімнати, з'єднані вузьким коридором. Людина, що знаходиться біля коридору, може зайти в нього тільки в тому випадку якщо коридор вільний, а вийти з коридору може безперешкодно в кожному разі. Таким чином, вихід - без опору, а весь опір на вході.

Тепер припустимо, що в провіднику є зайняті електронні стани й приєднаємо до нього один контакт. Подивимося як буде встановлюватися рівновага між контактом і провідником. Наочна картина зображена на рисунку 10.

Ні малюнку 10 показано енергетичні характеристики електронів усередині провідника, для кожної поперечної моди. Для простоти думаємо, що їх тільки дві . і - рівні енергії Фермі для електронів, які рухаються в позитивному й негативному напрямку осі , відповідно. - хімічний потенціал контакту. Коли , як на рис 10(а), електрони йдуть із провідника в контакт. При цьому хімічний потенціал контакту не змінюється, а перехід електронів відбувається із кінцевим опором, і скоріше нагадує процес дифузії. Причому йдуть електрони, які рухаються ліворуч, до контакту. У результаті стани спорожніють аж до енергії . Таким чином, усередині провідника встановиться асиметричний розподіл електронів, коли стани не змінюються, а практично спорожніють. Подальшої еволюції не буде, оскільки стани й не взаємодіють один з одним. Якщо ж , як на рис 10(в), то електрони будуть входити із контакту в провідник, заповнюючи стани . Рівноважна ситуація показана на рис.10(с) і не вимагає обговорення.

Приєднаємо два контакти з хімічними потенціалами . Рівноважний випадок, коли , показано на рис. 11(а). У цьому випадку електрони з лівого контакту заповнюють стани, які поширюються в позитивному напрямку осі , до енергії усередині провідника . Аналогічно з електронами із правого контакту, але тільки до .

Рис. 11. Два контакти.

Коли подається напруга на контакти, їхні хімічні потенціали змінюються на величину . Оскільки , електронів з локальною енергією Ферми буде більше чим електронів с. У результаті в системі потече струм, тому що потік електронів у позитивному напрямку буде більше, ніж у негативному. На малюнку 12 зафарбованим прямокутником зображено шар електронів, які, власне кажучи, дають внесок у струм.

Рис.12. Дисперсійне співвідношення для електронів усередині провідника при заповненні чотирьох поперечних мод. Електрони з лівого контакту заповнюють стани до , а із правого до . У зафарбованому прямокутнику електрони, що дають внесок у струм.

Тепер, коли ми познайомилися з питанням про взаємодію провідника з контактами, перейдемо до одержання формули для струму. Нагадаємо, що в даному випадку електрони рухаються в одному напрямку, а облік поперечного руху приводить тільки до необхідності підрахунку числа поперечних мод. Природно, може трапитися, що кожна поперечна мода вносить свій, відмінний від інших, внесок у струм; тоді розрахунок струму значно ускладниться. На щастя, це не так: всі поперечні моди вносять однаковий вклад у струм. Це тим більше дивно, що, дивлячись на мал.11, бачимо, що інтервали станів по хвильових числах (зафарбований прямокутник) будуть різні для кожної поперечної моди. Але справа в тому, що для струму в одному вимірі є важливим не інтервал по , а різниця енергій (вертикальна вісь на рис.11), яка для всіх мод однакова.

Визначимо струм для одномірної системи. Нехай електрони входять із лівого контакту в провідник зі швидкістю (швидкість електрона із хвильовим числом ) і залишає його, ідучи в правий контакт. Який струм переносить цей один електрон? З визначення струму, заряд розділений на час, витікає, для одного електрона. Проблема у тім, який береться час. Отут вступає в дію принцип Паулі, а саме, в одному стані – тільки один електрон (без обліку спина). Таким чином, поки електрон у певному стані перебуває в системі, інший електрон у такому ж стані не може влетіти в провідник. Електрон пролітає провідник довжиною за час . Звідси треба, що струм одного електрона дорівнює . Загальний струм знаходиться підсумовуванням по всіх станах . Причому, як ми з'ясували раніше, частина електронних станів рухається в позитивному напрямку , інші в негативному , їхній внесок у струм компенсує один одного, залишаться тільки електрони які перебувають в інтервалі енергій . У формулі для струму зараз все відомо, крім швидкості. Тут діє просте правило: якщо електрон має енергію , його швидкість дорівнює . Дійсно, для квадратичного закону дисперсії маємо . Слід зазначити, що формула для знаходження швидкості працює для будь-якого закону дисперсії, якщо тільки не маємо справу з релятивістськими частинками. Отже, вираз для струму має вигляд

, (22)

Де підсумовування поширюється по всіх поперечних модах і попадає в енергетичний інтервал . У випадку, коли , легко перейти від підсумовування до інтегрування . Застосовуючи цю формулу, одержуємо для однієї поперечної моди

(23)

Що зміниться, якщо в нас є поперечних мод? Відповідь така: кожна поперечна мода вносить однаковий вклад у струм, оскільки струм, як видно з (23), визначається тільки різницею енергій. При обліку спина остаточне вираження для струму

, (24)

де кондактанс (провідність) балістичного провідника. Далі визначимо опір, що дорівнює . Обчислимо опір на одну поперечну моду, . Це вже значний опір, яким не можна зневажати при дослідженні нанопровідників. Для макроскопічних провідників цей опір практично не спостережуваний, оскільки ширина провідників така, що ми повинні приймати в розгляд велику кількість поперечних мод, а опір обернено пропорційний кількості поперечних мод.

Обговоримо, як визначити . Для цього знову повернемося до рис. 9. Як ми вже згадували, відстань у просторі хвильових чисел між поперечними модами дорівнює . У контактах же електрони розподілено ізотропно. Таким чином, у провідник вільно влітають електрони, у яких поперечні хвильові числа , де - хвильове число Фермі ( - енергія Ферми в контактах). Звідси число поперечних мод

, (25)

де - довжина хвилі Фермі, - ціла частина від числа під дужкою, - ширина провідника.

Для арсеніду галію =40 нм, якщо взяти =1 мікрометр, то і контактний опір . Для реальних провідників кількість поперечних мод стає дуже великою, тому контактний опір там не грає особливої ролі, у зв'язку із чим, експериментальне спостереження було не простим завданням.

Квантовий крапковий контакт

Контактний опір може бути обмірюваним безпосередньо за допомогою крапкових контактів, ширина яких значно менше, ніж довжина вільного пробігу в провіднику. Типова геометрія квантового крапкового контакту показана на рис. 13. Електрони провідності будуть зосереджені в гетерошарі між двома напівпровідниками (квантова яма), по якому потече струм, якщо подати поздовжню напругу. Вузький нанопровідник буде формуватися в області між двома затворами G, якщо подати на них негативну напругу. Таким чином, як показано праворуч на малюнку, електрони будуть рухатися тільки в проміжку між затворами. По ширині W ми можемо визначити ефективне число поперечних мод і виміряти контактний опір.

Рис.13. Квантовий крапковий контакт.

Проте, через температурні ефекти прямий вимір цього опору досить складне завдання. Куди простіше змінювати ефективну ширину крапкового контакту шляхом зміни напруги на затворах і дивитися, що відбувається з опором. Це було зроблено наприкінці 1960-х для металів. Слід зазначити, що в металах довжина хвилі Фермі дуже маленька, порядку відстані між атомами. Це пов'язане з тим, що в металах більша щільність електронів

Рис.14. Квантування опору балістичного провідника; (а) схема крапкового контакту; (b) – залежність кондактанса (в одиницях ) від напруги на затворах (gate voltage).

провідності. Отже, кількість мод M досить велика і контактний опір відносно невеликий. У напівпровідниках, з іншого боку, довжина хвилі Фермі як правило 30 нм, так що кількість поперечних мод можна зробити досить малою і відслідковувати ефекти, які пов'язано з появою окремих поперечних мод.

Перший експеримент на напівпровідниках був зроблений в 1988 році (див. рис. 14).

Оскільки напруга на затворі міняється, змінюється число поперечних мод відповідно до (25). Кожна така зміна приводить до сходинки висотою , як треба з рівняння (24). При великій негативній напрузі на затворі, менш -2 вольтів, ширина провідного каналу така маленька, що число поперечних мод дорівнює 1. При збільшенні напруги на затворі, кондактанс не змінюється доти, поки ефективне число поперечних мод не стане рівним точно двом. Отже ми одержали першу сходинку. При подальшому збільшенні напруги ширина каналу стає такою, що вже задіяно 3 моди, потім 4 і т.д. Очікувані з (24) сходи спостерігаються з дуже великою точністю. Причому точність така, що показана конструкція нагостреного контакту використовується в метрології для точного виміру заряду електрона й постійної Планка. Хоча самі сходи розташовано з дуже великою точністю, перехід між ними не відбувається раптово, як це повинно було б бути. Це пов'язане з тим, що затвори створюють певний розподіл потенціалу в провідному шарі, що досить далеко від ідеального, тому й ширина провідного каналу буде сильно варіюватися в поздовжньому напрямку.

Отже, ми з'ясували, що сам нанопровідник без домішок, має нульовий опір. Кінцевий опір пов'язано з областю переходу з контакту в провідник. Таким чином, якщо до системи, показаної на рис.9(в), приєднати джерело електрорушійної сили, тобто подати різницю потенціалів, то спадання напруги буде повністю зосереджено на вході з контакту в провідник. Вимір спадання напруги усередині провідника між двома довільними крапками дасть нуль, природно, в ідеальному випадку. Проте, сам нанопровідник може мати домішки, на яких електрони будуть розсіюватися. У цьому випадку виникає необхідність в обчисленні опору, пов'язаного з домішками. Слід зазначити, що коли ми говоримо про домішки, то маємо на увазі будь-яке включення в однорідний балістичний провідник. Це може бути й неоднорідність у матеріалі, і потенційний бар'єр, і т.д. Головне полягає в тому, що подібний об'єкт характеризується цілком певними характеристиками розсіювання (коефіцієнт відбиття й т.д..).