Опір нанопровідника. Формула Ландауера.

Якщо усередині провідника перебуває домішки, для струму справедлива формула Ландауера

(26)

де - різниця потенціалів, - коефіцієнт проходження. Фактор являє собою середню ймовірність того, що електрон, що інжектується з однієї сторони провідника, пройде до іншого кінця. Вище ми обговорювали завдання про розсіювання й підкреслювали, що, у принципі, коефіцієнт проходження можна обчислити для будь-якого завдання. Оскільки - відношення інтенсивності минаючої до падаючої хвилі, то зі струму , що приходить із контакту в провідник, залишиться тільки частина , інша частина, пропорційна коефіцієнту відбиття, , відіб'ється від перешкоди. У цьому й складається фізична сутність формули Ландауера. Звичайно, не можна забувати, що коефіцієнт відбиття практично завжди залежить від енергії, тому формула Ландауера повинна модифікуватися з урахуванням щільності станів.

Якщо , ми одержимо точне вираження для опору балістичного провідника з урахуванням контактного опору. Варто очікувати, що з довільним коефіцієнтом проходження складається аналогічна ситуація. Обговоримо це питання, розглядаючи провідник з кінцевим коефіцієнтом проходження , який пов'язано з контактами двома ідеальними балістичними провідниками (LEAD1 і LEAD2), як показано на рис. 15.

Провідники (LEAD1 і LEAD2) передбачаються ідеальними, кожний з яких має поперечних мод. При цьому передбачається, що електрони входять із провідників у контакти без опору (безвідбивно). Стани з позитивними в лівому провіднику заповнюються електронами, що приходять із лівого контакту аж до значення енергії рівного його хімічному потенціалу . Подібним чином, стани з негативними в правому провіднику заповнено електронами із правого контакту до .

Рис.15. Провідник з коефіцієнтом проходження , який пов'язано з контактами двома ідеальними провідниками. Унизу показано енергетичний розподіл в ідеальних балістичних провідниках.

Струмові стани зосереджено в інтервалі . Потік електронів, що падають на провідник (із домішками й ін.) з коефіцієнтом проходження , визначає силу струму

, (27)

де - різниця потенціалів. Через домішку проходить струм

. (28)

Електрони, що залишилися, відбиваються й ідуть у лівий контакт. При цьому, із закону збереження струму (перший закон Кірхгофа) треба, щоб

. (29)

Таким чином, струм у будь-якій крапці провідника буде постійним

, (30)

що збігається з формулою Ландауера (26). Отже, якщо подати на прилад напругу , по ньому потече струм, обумовлений рівнянням (30).

Відзначимо, що повний опір системи контакти-провідники-домішка витікає з рівнянь (26), (30) і дорівнює . Цей опір буде дорівнювати сумі опорів на контактах і на домішці. Як ми обговорювали раніше, опір на контакті зв'язано тільки з переходом електронів з контакту в провідник; цей процес не залежить від домішки. Контактний опір, див. рівняння (24), визначається як . Оскільки , де - опір домішки (будь-який об'єкт із коефіцієнтом проходження ), то

. (31)

Якщо згадати , що - коефіцієнт відбиття, фізичний зміст формули для опору, який пов'язано з домішкою в провіднику стає більш ясним: при відсутності відбиття (повне проходження), , електричний опір, а разом з ним і спадання напруги, на домішці звертається в нуль. У противному випадку, якщо вимірювати спадання напруги, одержимо, що вольтметр буде показувати кінцеве спадання напруги в областях переходу з контакту в провідник і, властиво, на домішці. При цьому треба знати, куди спрямовано потік електронів, оскільки електрони входять у провідник з кінцевим опором , а виходять із нульовим. Для домішки це не має ніякого значення. Таким чином, дисипація енергії відбувається на вхідних контактах і на домішці, зокрема, потужність, виділювана на домішці дорівнює . Відзначимо, що - зовнішня напруга й тепло на домішці не виділяється, якщо немає відбиття .

Отже, стає зрозумілим продуктивність формули Ландауера: у будь-якій ситуації питання про знаходження провідності балістичного провідника зводиться до розгляду завдання розсіювання, з якого визначається коефіцієнт проходження. Іншими словами, коли ми розглядаємо наноелектрону структуру, необхідно розбити її на ряд блоків, що складаються з ідеальних балістичних провідників, контактів і об'єктів, на яких відбувається розсіювання електронів. Останні можуть мати яку завгодно внутрішню структуру (своєрідний чорний ящик), і єдине, що нам треба знати, так це їхній коефіцієнт проходження, який можна визначити з експерименту або чисельного моделювання, якщо є неможливим його аналітичний розгляд.

У реальній ситуації домішок може бути багато, тому необхідно розглянути, як при цьому можна змінити формулу Ландауера. До цього питання ми переходимо в наступному розділі, стартуючи із завдання про дві послідовно розташовані домішки.