Модификации средневзвешенных величин

В работе [91.Цветков Э. И. Об оценке качества сложных многофункциональных измерительных систем.— Труды ВНИИЭП, 1969, № 2. [Тульчин ЭИП] ] предлагаются зависимости, являющиеся сочетанием вышеперечисленных, например:

(10.21.)

(10.22.)

3.4.4.Доказательство эквивалентности формул [Шор]

Заметим, что эти три варианта формул вопределенном смысле эквивалентны. Поясним это, учитывая, что показатели качества величины переменные К= var, Q_i=var, а параметры весомости – фиксированные величины M_i=const.

Логарифмируя уравнение (10.15.), получим

Выносим значение степени:

Логарифм суммы равен сумме логарифмов:

Учитывая, что M_i=const :

Выносим значение степени:

Поскольку величины К_кв, Q₁ , Q₂ …, Q_n являются показателями качества, то и их логарифмы также будут показателями качества. Вводя обозначения

,

получим из уравнения (10.15.), уравнение вида, эквивалентного (10.14.).

Рассмотрим теперь уравнение (10.16.). Поскольку величины К_гар, Q₁, Q₂, …, Q_n являются показателями качества, то их обратные значения также будут показателями качества. Вводя обозначения

, ,

получим из уравнения (10.16.) уравнение вида, эквивалентного (10.14.).

→ →

3.4.6. Рекомен­дации по выбору вида средневзвешенной величины

Общие требования, предъяв­ляемые к комплексным показателям качества произвольного вида:

1. Репрезентативность (представительность) комплексного по­казателя, согласно которому он должен включать основные харак­теристики изделия, по которым оценивается его качество.

2. Монотонность. Комплексный показатель является обяза­тельно строго монотонной функцией оценок единичных показате­лей. Тогда улучшение любого из показателей качества при фикси­рованных остальных показателях должно вызвать соответствующее повышение комплексного показателя.

3. Критичность (чувствительность) к варьируемым параметрам. В соответствии с этим требованием комплексный показатель каче­ства должен соответствующим образом реагировать на изменение каждого из единичных показателей. Это особенно важно, когда по­следний выходит из допустимых пределов. В данном случае ком­плексный показатель качества должен значительно уменьшать свое значение (вплоть до нуля).

Чувствительность комплексного показателя качества опреде­ляется первой производной

т. е. в общем случае она является функцией оценок единичных по­казателей качества.

4. Нормированность. Согласно этому свойству численное зна­чение комплексного показателя качества заключено между макси­мальным и минимальным значениями относительных показателей качества:

Это требование не влияет на результат оценки уровня качества. Оно носит чисто нормировочный характер и определяет размах шкалы измерений комплексных показателей качества.

5. Сравниваемость результатов комплексной оценки качества. Согласно этому требованию результаты комплексной оценки не должны зависеть от выбора нормирующих показателей качества. Иначе говоря, если

(3-8)

то

где

(P_iH — нормирующие показатели; tiPi_H — измененные нормирую­щие показатели; t_i — постоянная величина).

		Среднее арифметическое взвешенное	Среднее гармоническое взвешенное	Среднее геометрическое взвешенное
1.Репрезентативность (представительность) включение основных харак­теристик изделия - Очевидна
2.Монотонность повышение любого Qi ведет к повышению К		очевидна	очевидна	очевидна
3.Критичность (чувствительность) Реакция К на любые изменения Qi	значение	крайне мала	средняя	очень высока
опасность	даже при К≠0 за счет множества других Pi	если есть Qi =0 1/Qi® ¥ и К® ¥ при любых остальных Qi	Даже при неважном Qi=0 K=0
выход	применяют коэффициент «вето»	применяют только при небольшом разбросе зна­чений Qi	неважное Qi искусственно принимается Qi=1
4.Нормированность определяет размах шкалы измерений Qmax≥К≥ Qmin - Очевидна
5.Сравниваемость К не зависит от Piбаз		не обладает	не обладает	обладает

Проверка выполнения требований

2. Монотонность – очевидна, 4. Нормированность - очевидна

3.Критичность – берем частную производную по какому-либо произвольному относительному показателю ( оценке единичного показателя), учитывая, чтооценки единичных показателейQ_i=var, а параметры весомости – фиксированные величины M_i=const.

Средневзвешенный арифметический комплексный показатель:

Поскольку производная является постоянной величиной, изменение любого, даже самого важного единичного показателя при большом числе единич­ных показателей не оказывает большого влияния на комплексный показатель средневзвешенной арифметической зависимости . Это может привести к тому, что при выходе значения какого-то единичного показателя за предельно допустимые ( ) комплексный показатель качества будет велик за счет остальных показателей. Этой опасности можно избежать, вводя в формулу комплексного показателя коэффициент «вето», который обратит этот показатель в нуль, как только хотя бы один из единичных показателей выйдет за допустимые пределы. Тогда комплексный показатель качества будет иметь вид [91 ]:

где

(Y_i = Р_i "^р— P­_i , когда уменьшение Р_i соответствует улучшению качества прибора; Y_i = P_i —Р_i "^р, когда уменьшение Р_i соответст­вует ухудшению качества прибора).

Средневзвешенный геометрический комплексный показатель:

Чувствительность средневзвешенной геометрической очень высока, малые значения одних показа­телей не могут быть перекрыты высокими значениями других показателей качества. В частности, из самой формулы очевидно, что комплексный показатель обра­щается в нуль, как только одна из оценок единичных показателей Q_i окажется равной «0», Это может привести к нулевому значе­нию комплексного показателя из-за отсутствия в изделии полезных, но необязательных свойств. Чтобы избежать этого, оценки соот­ветствующих единичных показателей в этих случаях полагаются равными единице.

Средневзвешенный гармонический комплексный показатель:

Чувствительность средневзвешенной гармонической зависимо­сти больше чувствительности средневзвешенной арифметической, но меньше чувствительности средневзвешенной геометрической. Исходя из анализа самой формулы очевидно, что седневзвешенную гармоническую зависимость можно применять только при небольшом разбросе зна­чений показателей качества. В противном случае среди оценок будут близкие к нулю, а поскольку при Q_i =0 имеет место выраже­ние 1/Q_i® ¥ , то все остальные оценки будут оказывать незначи­тельное влияние на значение комплексного показателя.

5. Сравниваемость Свойством сравнимости обладает только средневзвешенная гео­метрическая зависимость

т. е. влияние нормирующих показателей не сказывается на резуль­татах оценки качества.