Сведение произвольной системы ОДУ произвольного порядка к системе ОДУ 1-го порядка.

Большинство численных решений ОДУ разработаны для следующей задачи:

(1) (2) где 1 –ОДУ 1-го порядка при этом как видно оно разрешено относительно производной, а 2 –начальное условие т.е. значение неизвестной функции в первой точке интервала, на котором нужно построить решение.

X₀ – левая граница интервала наблюдения; X_кон – правая граница интервала наблюдения; Задача 1-2 называется канонической формой задачи Коши. Она заключается в том ,чтобы построить функцию y=y(x) удовлетворяющую условиям 1-2.

Предположим, что у нас метод и его программная реализация позволяют решить задачу 1,2 тогда если имеем задачу другого вида:

То в программном обеспечении можно создать цикл решения таких уравнений и задача 3 сведется к 1-2;

Приближение инженерных данных. Виды приближений.

В различных областях при проведении эксперимента инженер получает таблицу данных, эти дискретные данные необходимо обработать таким образом, чтобы можно было восстановить незамеренные значения в промежуточных точках или может быть подобрать зависимость, которая приближенно воспроизводит закон, позволяя вместо дискретных данных использовать непрерывные зависимости.

Рисунок 1.

Для того, чтобы рассчитать прочность и жесткость, необходимо знать геометрические характеристики: площадь, моменты инерции .

В этом случае необходимо знать зависимости и .

В реальности можно выполнить замеры на кромках. Таким образом, получим таблицу данных:

Возникает вопрос: как по этой таблице восстановить значения ?

Существуют различные способы приближения. Одним из таких методов является интерполирование. Здесь требуют, чтобы приближающая функция совпадала с приближаемыми значениями, то есть если обозначить как приближающую функцию, а приближающие значения , то получим

, .

Эти точки называются ее узлами. Чаще всего полученная таблица содержит не точные значения, а замеры, полученные с некоторой погрешностью. Поэтому требовать совпадения с табличными значениями приближенной функции неуместно. Имеет смысл использовать другие критерии близости.

Поточечное среднеквадратическое приближение.

Рисунок 1.

Иногда возникает задача о приближении не табличных данных, а функции других функций. Пусть приближаемая функция (является известной функцией), а приближающая (подбираемая функция).

Аналогом приближения, рассматриваемого на рисунке 1, в этом случае будет непрерывное приближение в среднеквадратическом смысле.

Непрерывное приближение в среднеквадратичном смысле.

Рисунок 1.

Такое приближение может использоваться в том случае, если исходная функция очень сложно или долго вычисляется, при этом ее заменяют другой функцией, которая известна.

Равномерное приближение.

Понятно, что равномерное распределение выдвигает самое жесткое требование.

Примеры сведения дифференциальных уравнений и их систем произвольного порядка к системе ОДУ 1-го порядка в канонической форме Коши.

- заданные числа.

Введем новые переменные

Исходное уравнение разрешим относительно старшей производной

Пример 2:

y(0) = y₀ ; y^’(0)= y^’₀ ; y”(0)=y₀” ; y’’’(0)= y₀’’’ – значения

z₁=y(x); z₂=y’(x); z₃=y”(x); z₄=y’’’(x);

Интерполирование. Аппроксимация методом наименьших квадратов. Равномерное приближение. Поточечная аппроксимация табличных данных по методу наименьших квадратов.

Интерполирование – в этом виде приближения приближающая функция (интерполирующая) должна в точке х1,х2,х3,….хn(называемые узлами) совпадать с табличными данными. Если эту интерполирующую функцию обозначить как F(x)

F(x_i)=f₁(x_i) i=1,n

Часто оказывается, что измерения выполняются с погрешностью, которая зависит от точности измерительного прибора в этом случае требовать совпадения табличных данных с приближенной функцией неразумно. Тогда можно использовать приближение по методу наименьших квадратов.