П.2.3. Дискретные случайные величины

При оценке интересующих нас событий часто оказывается, что их исходы характеризуются различными числами, являющимися значениями интересующих нас величин. Однако, эти значения либо равны, либо отличаются друг от друга на величину, которая не может быть признана бесконечно малой, так как ограничена снизу дискретностью шкалы измерений, или каким-либо иным способом. Так, значения очков, подсчитываемых при выбрасывании игральных костей шестигранной формы, не могут быть меньше единицы на одной грани игральной кости. Равным образом, при дискретности измерений в 1В далеко не всегда разность напряжений в 1В может быть признана бесконечно малой и имеющей пренебрежимо малую вероятность реализации. Подобные рассуждения приводят к определению:

величина Х есть дискретная случайная величина, если множество её значений образует последовательность различных чисел x₁ , x₂, …x_i, …x_n и есть каждое событие Х=x_i является случайным событием, характеризуемым вероятностью p_i .

События Х=x_i будем называть составляющими событиями, а закон распределения случайной величины Х будем называть правило, позволяющее находить любые вероятности p_i(x_i). Если составляющие события образуют полную группу, то имеем:

(П2.8)

Закон распределения дискретной случайной величины зависит от характера событий, в процессе которых она выявляется. Если случайная величина Х выявляется только в процессе заранее запланированных испытаний таких, как выборка шаров того, или иного цвета из урны, или взятие проб с целью определения качества изделий, то получается биномиальное распределение. Если же случайная величина связана с простейшим потоком случайных событий, то получается распределение Пуассона.

П.2.4. Биномиальное распределение

Биномиальное распределение связано с n-кратным повторением одного и того же испытания с целью обнаружения случайного события Е, имеющего вероятность реализации P(Е)=p. Полагают, что в результате проведения испытаний величина P не изменяется. Порядок проведения испытаний, который обеспечивает неизменность P , называют независимыми испытаниями по схеме Бернулли, или схема повторной выборки. Скажем, если из урны вынимают наугад один шар и проверяют на наличие какого-либо признака, то по схеме Бернулли шар после проверки следует возвратить в урну, а затем все шары следует тщательно перемешать. Вероятность того, что событие Е не реализуется, определяется как

q=(1-p) . (П2.9)

После проведения каждой серии из n испытаний событие Е может быть фактически реализовано Х раз, причём величина Х может принимать значения от нуля до n. Биномиальное распределение даёт закон распределения случайной величины Х после каждой серии из n выше описанных испытаний. При этом полагают, что сложное событие Х=m состоит в том, что за n испытаний случайное событие Е наступит ровно m раз, а противоположное событие Р наступит n-m раз. Биномиальное распределение описывается соотношением

P(Х=m)=C^m_n p^m q^n-m , (П2.10)

где С^m_n=n!/m!(n-m)! – число сочетаний из n элементов по m, а m = 0,1,2,…n.

Данный закон распределения называется биномиальным, так как вероятности подсчитаны по формуле (П2.10) и соответствуют членам разложения бинома

(q+p)ⁿ (П2.10')

по степеням p.

Заметим, что если количество объектов, из которых производится выборка, много больше n, то распределение вероятностей Х достаточно близко к биномиальному распределению и в случае бесповторной выборки, когда используемые объекты (изделия) после проведения испытаний не возвращаются в состав проверяемой партии.

П.2.5. Распределение Пуассона

Распределение Пуассона связано с процессами, характеризующимися простейшим потоком событий. Потоком событий будем называть последовательность событий, наступающих одно за другим в случайные моменты времени. Примерами потоков событий могут служить потоки заявок в системах массового обслуживания: на телефонной станции, заявки на ремонт, заказы на покупку товаров и прочее, а также поток бракованных изделий, или поток отказов при эксплуатации оборудования. Простейший поток событий отличается отсутствием последействия, а именно:

а) вероятность наступления тех, или иных событий в простейшем потоке событий за любой промежуток времени зависит только от длительности этого промежутка (а не от начала отсчёта);

б) указанная вероятность не зависит от того, какое число событий имело место до начала рассматриваемого промежутка времени.

Кроме того, в простейшем потоке событий вероятность наступления очередного события в течение малого промежутка времени можно считать пропорциональной длительности этого промежутка с коэффициентом пропорциональности λ. Коэффициент λ является параметром потока. Его обычно определяют как изменение вероятности наступления события в единицу времени. Учитывая ,что вероятность реализации события определяется соотношением

P = r / , (П2.11)

где N – общее количество объектов, с которыми могут происходить интересующие нас события;

r – количество фактически происшедших событий в рассматриваемый промежуток времени, то параметр λ может быть определен как:

λ= ∆r / (N∆t) , (П2.12)

∆t →0, N→∞

причем ∆r-есть количество событий, происшедших в течение времени ∆t. .Величина λ есть удельная частота реализации интересующих нас событий.

Если промежуток ∆t настолько мал, что за это время может произойти только одно событие ( ∆r =1), то вероятность однократной реализации события будет равна:

P₁=λ∆t+θ₁, где lim (θ₁/∆t)→0 при ∆t→0.

Соответственно, отсутствие реализации данного события в том же промежутке t выразится соотношением:

P₀(∆t)=1-λ∆t+θ₀ , где lim(θ₀/∆t)=0 при ∆t →0 . (П2.13)

Приняв во внимание, что отсутствие реализации события в промежутке времени t+∆t означает совпадение отсутствия реализации его как в промежутке t , так и за промежуток ∆t , по правилу умножения вероятностей получим:

P₀(t+∆t) = P₀(t) P₀(∆t),

что с учетом (П2.13) дает:

P₀(t+∆t) = P₀(t) (1-λ∆t +θ₀ ) и

(P₀( t+∆t) - P₀(t))/∆t = P₀(t) (-λ + θ₀/∆t) .

Далее, переходя к пределу при ∆t→0, приходим к дифференциальному уравнению

dP₀/dt = -λP₀ ,

решением которого (при начальном условии P₀(0)=1) является соотношение

P₀(t) = е^-λt . (П2.14)

Уравнение (П2.14) является уравнением вероятности отсутствия интересующих нас событий, в частности, вероятности безотказной работы оборудования в течении времени t при простейшем потоке отказов, когда параметр потока стационарен (λ=const).

Если же необходимо определить вероятность сложного события Х, заключающегося в том, что за промежуток времени t произойдет именно m интересующих нас событий в составе простейшего потока, то применяют формулу распределения Пуассона:

Р(Х=m) = (а^m / m!) е^-a , (П2.15)

в которой а – это среднее число событий, приходящихся в течении времени t на один обслуживаемый (или наблюдаемый) объект.

Если известен параметр потока λ, то имеем

а = λt , (П2.15')

так что показательное распределение (П2.14) есть частный случай распределения Пуассона при m=0.

В заключение напомним, что , в отличие от распределения Пуассона, биномиальное распределение характеризуется задаваемым заранее параметром n - количество проводимых испытаний. Однако, если значение n достаточно велико (n >20), а значение p , фигурирующее в формуле (П2.10), достаточно мало (p<0,1), то можно применить формулу распределения Пуассона, считая, что за время проведения n испытаний получится

а = np . (п 2.15")

В этих условиях (и при умеренных значениях а, скажем, а<4) биномиальное распределение приближается к распределению Пуассона ("асимптотическое приближение") и формула (П2.10) может быть заменена более простой формулой (П2.15).