П.2.7. Числовые характеристики распределения вероятностей

Числовые характеристики распределения случайной величины подразделяются на характеристики положения, определяющие характерные значения случайной величины, и характеристики рассеяния. Из характеристик положения наиболее интересным для нас является среднее значение дискретной случайной величины, формируемое через распределение ее вероятностей аналогично среднему арифметическому. Оно задается следующим определением:

математическим ожиданием (или средним значением ) МХ дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее возможных значений x_i на их вероятности р_i :

МХ= . (П2.20)

Аналогично, математическим ожиданием (или средним значением) МХ непрерывной случайной величины Х называется интеграл от произведения ее значений х на плотность распределения вероятностей р(х) :

МХ= , ( П2.21)

где α и β – начальное и конечное значения Х на интервале (α,β), на котором сосредоточены все возможные значения величины Х.

Аналогия формул (П2.20) и (П2.21) становится очевидной, если принять во внимание, что здесь элемент вероятности р(х)dx аналогичен вероятности , а интеграл (П2.21) – это сумма бесконечно малых слагаемых хр(х)dx.

Соответственно, математическое ожидание функции Y= ƒ(x) от случайной величины Х выражается через закон распределения самой величины Х :

а) для дискретной величины Х:

Мƒ(х) = ƒ(х )р ; (П2.20')

в) для непрерывной величины Х:

Мƒ(х) = . (П2.21')

Математическое ожидание называют также центром распределения случайной величины, так как ее рассеяние определяется относительно математического ожидания.

Основные свойства математических ожиданий:

1) постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

МСХ = СМХ ;

2) математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий

М(х +х +…+х ) = МХ +МХ +…+МХ ;

3) математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

М(ХY) = MX MY .

Важнейшими числовыми характеристиками рассеяния случайной величины являются дисперсия и среднеквадратическое отклонение. Последнее определяется по формуле:

σ(Х) = , (П2.22)

где а – математическое ожидание (среднее значение) случайной величины Х;

М(Х-а) - среднее значение квадрата отклонения Х от среднего значения а.

Подкоренное выражение в формуле (П2.22) часто употребляется самостоятельно и потому получило название дисперсии случайной величины Х:

DX = M(X-a) . (П2.23)

Выражение (П2.23) можно также записать в форме

DX = MX - (MX)² . (П2.23')

Согласно соотношения (П2.20') дисперсия дискретной величины равна

DX = , (П2.24)

а согласно соотношения (П2.21') дисперсия непрерывной величины равна

DX = , (П2.25)

где α и β – крайние точки интервала существования Х.

Основные свойства характеристик рассеяния:

1) у линейной функции случайной величины Х:

Y = kX+b ,

дисперсия увеличивается в к раз , а среднеквадратическое отклонение - в |к| раз;

2) если случайные величины Х и Y независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий:

D(X+Y) = DX + DY

и соответственно –

σ(X+Y) = .

В частности, дисперсия среднего арифметического n случайных величин, имеющих одинаковую дисперсию, составляет /n , так что среднеквадратическое отклонение в это случае равно:

σ( ( )/ n) = σ/ . (П2.26)

При испытаниях, заключающихся в проверке наличия или отсутствия какого-либо признака и ведущих к биномиальному распределению (см. §П2.4), наличие признака можно обозначить как х=1, а его отсутствие , как х=0. Если вероятность наличия признака равна р, то математическое ожидание при биномиальном распределении окажется равным, согласно (П2.20),

Мх = np . (П2.26')

Обозначив вероятность отсутствия признака через q и исходя из соотношения (П2.24), получим в случае однократной проверки наличия признака дисперсию:

DX = (1-p) p + (0-p) q = q p + p q = pq .

В общем случае биномиального распределения (когда производится n-кратная выборка),

получим :

DX = npq . (П2.27)

Если имеется простейший поток событий , ведущий к распределению Пуассона (см. §П2.5), формула ( п 2.15),то его математическое ожидание можно вывести непосредственно из формулы (П2.20); полагая, что Х=m, m 0. Получим:

МХ= = е а = а .

Если а=λt при λ= const, то а – это среднее число событий простейшего потока, наступающих за заданное время t и приходящихся на один наблюдаемый объект , что было показано с других позиций уже в §П2.5. Аналогичными рассуждениями можно показать , что дисперсия распределения Пуассона совпадает с его математическим ожиданием:

DX = a.