Описание численных методов решения СЛАУ

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Информатика»

«Автоматизация решения системы линейных алгебраических уравнений (метод Крамера и метод простой итерации)»

Выполнила студентка

инженерного факультета

Направление - Агроинженерия

Профиль «Электрооборудование и электротехнологии в АПК»

Курочкина Оксана Владимировна

Руководитель: К.Э.Н., зав. кафедрой Чертова М.Н.

Великие Луки 2015

Содержание.

Введение. 2

1.Описание численных методов решения СЛАУ. 2

1.2. Матричный метод. 2

1.3 Метод простых итераций. 2

2.Прикладное ПО, применяемое для решения СЛАУ. 2

3 Автоматизация решения СЛАУ. 2

3.1 Постановка задачи. 2

3.2.2 Метод простой итерации. 2

3.3Решение СЛАУ с помощью табличного процессора MS Excel 2

3.3.1 Решение СЛАУ матричным методом.. 2

3.3.2 Решение СЛАУ методом простой итерации. 2

3.4 Решение СЛАУ на VBA.. 2

3.4.1 Формализация задачи. 2

3.4.2 Алгоритмизация. 2

3.4.3 Программирование. 2

3.4.4 Отладка программы.. 2

Заключение. 2

Список литературы.. 2

Введение

В наше время, во многих сферах инженерной деятельности возникают сложные для простого человека задачи, связанные с решением систем алгебраических и дифференциальных уравнений, матричных вычислений и т.д.

Сейчас наука не стоит на месте и активно пользуется ЭВМ. Это помогает решению сложных задач на ЭВМ с использованием численных методов. Простые пользователи чаще всего используют уже готовое специализированное программное обеспечение (MS Excel, Mathcad, Scilab и др.)

Одной из эффективных форм учебного процесса при изучении дисциплины «Информатика» является курсовое проектирование. Оно помогает закреплению знаний по дисциплине и даёт возможность для их применения при решении инженерных задач.

Цель курсового проектирования по дисциплине «Информатика» включает 2 основных аспекта:

1.Закрепление и углубление теоретических знаний и практических навыков, полученных при изучении курса «Информатика».

2.Приобретение студентами навыков самостоятельного решения инженерных задач с использованием современных информационных технологий.

Задачи курсового проектирования:

1.Изучить предложенные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

2.Реализовать поставленную задачу в двух интегрированных средах:

- в табличном процессоре MS Excel;

- в среде программирования VBA.

Дать сравнительную характеристику полученных результатов и методов решения задачи

Описание численных методов решения СЛАУ

Метод Крамера

Метод Крамера(правило Крамера)— метод решения СЛАУ с количеством уравнений одинаковым с количеством неизвестных с главным определителем матрицы, который не равен нулю, коэффициентов системы (для подобных уравнений решение есть и оно только одно).

Теорема Крамера.

Когда определитель матрицы квадратной системы ненулевой, значит, система совместна и у нее есть одно решение и его можно найти по формулам Крамера:

где Δ-определитель матрицы системы,

Δ_i - определитель матрицы системы, в котором вместо i-го столбца находится столбец правых частей.

Когда определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной.

Этот способ обычно применяют для небольших систем с объемными вычислениями и если когда необходимо определить 1-ну из неизвестных. Сложность метода в том, что нужно вычислять много определителей.

Описание метода Крамера.

Есть система уравнений:

Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений.

Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:

Это будет определитель системы. Когда D≠0, значит, система совместна. Теперь составим 3 дополнительных определителя:

Решаем систему по формулам Крамера:

Метод простой итерации

Пусть дана система (2), корни которой требуется найти с заданной точностью.

Предположим, что система допускает лишь изолированные корни. Число этих корней и их приближенные значения можно установить, построив кривые и и определив координаты их точек пересечения.

Для применения метода итераций система (2) приводится к виду

Функции и называются итерирующими. Алгоритм решения задается формулами:

где - некоторое начальное приближение.

Для приведения системы (2) к виду (3) используем следующий прием.

Предположим

Коэффициенты найдем как приближенные решения следующей системы уравнений:

Характеристики метода:

1. Сходимость.

Локальная, то есть метод сходится при выборе начальных приближений достаточно близко к точному решению. Насколько близко необходимо выбирать начальное приближение, исследуем в практической части.

2. Выбор начального приближения

Начальные значения переменных должны выбираться близко к точным.

3. Скорость сходимости линейная.

4. Критерий окончания итераций.

Автоматизация решения СЛАУ

Постановка задачи

Решить систему линейных алгебраических уравнений 2-мя способами: методом Крамера и методом простой итерации с точностью e=0,01

Решение СЛАУ методом Крамера

1.Запишем исходную матрицу системы.

2.Найдем определитель основной матрицы:

Так как D¹0, то система имеет единственное решение.

3.Найдем определители дополнительных матриц, которые получаются из основной путем замены элементов одного из трех столбцов основной матрицы элементами матрицы свободных членов b.

4.Найдем решение системы алгебраических уравнений:

х1=∆1∕∆=276/266=1,04

х2=∆2/∆=92/266=0,35

х3=∆3/∆=42/266=0,16

Я итерация

σ=max ˃ɛ

σ=max ˃ɛ

σ=max ˃ɛ

Требуемая точность не достигнута

Я итерация

σ=max ˃ɛ

σ=max ˃ɛ

σ=max ˃ɛ

Требуемая точность не достигнута

Я итерация

σ=max ˂ɛ

σ=max ˂ɛ

σ=max ˂ɛ

Требуемая точность достигнута

Таким образом, = ɛ=0,01

Решение СЛАУ методом Крамера.

1.Вводим коэффициенты ( ) и свободные члены системы ( ).

2. С помощью функции ЕСЛИ проанализируем значение определителя основной матрицы. Так как метод Крамера можно использовать для решения систем линейных алгебраических уравнений, у которых определитель основной матрицы не равен 0,то в ячейку D12 вводим формулу =ЕСЛИ(МОПРЕД(C7:E9)<>0;МОПРЕД(C7:E9);"использовать другой метод решения")

Результаты расчета:

3.Введем дополнительные матрицы системы

Результат:

4.Самостоятельно вычислим определители дополнительных матриц системы с помощью функции МОПРЕД():

5.Вычислим решение системы.

Результат вычислений:

6.Проверка

Результат:

Решение СЛАУ на VBA

Формализация задачи

А)Метод Крамера

B)Метод простой итерации

Входные данные

Вектор свободных членов b={b(i)} – вещественный

Массив коэффициентов при неизвестных a={a(i,j)}-вещественный

Точность вычислений eps-вещественный

Размер системы n-целое

Сумма коэффициентов {a(i,j)} S-вещественная

Критерии окончания итерационного процесса е-вещественный

Максимальный критерий max-вещественный

Выходные данные

Вектор свободных членов b={b(i)} – вещественный

Массив коэффициентов при неизвестных a={a(i,j)}-вещественный

Вектор неизвестных x={x(i)}-вещественные

Математическая модель:

Алгоритмизация

Метод Крамера

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Информатика»

«Автоматизация решения системы линейных алгебраических уравнений (метод Крамера и метод простой итерации)»

Выполнила студентка

инженерного факультета

Направление - Агроинженерия

Профиль «Электрооборудование и электротехнологии в АПК»

Курочкина Оксана Владимировна

Руководитель: К.Э.Н., зав. кафедрой Чертова М.Н.

Великие Луки 2015

Содержание.

Введение. 2

1.Описание численных методов решения СЛАУ. 2

1.2. Матричный метод. 2

1.3 Метод простых итераций. 2

2.Прикладное ПО, применяемое для решения СЛАУ. 2

3 Автоматизация решения СЛАУ. 2

3.1 Постановка задачи. 2

3.2.2 Метод простой итерации. 2

3.3Решение СЛАУ с помощью табличного процессора MS Excel 2

3.3.1 Решение СЛАУ матричным методом.. 2

3.3.2 Решение СЛАУ методом простой итерации. 2

3.4 Решение СЛАУ на VBA.. 2

3.4.1 Формализация задачи. 2

3.4.2 Алгоритмизация. 2

3.4.3 Программирование. 2

3.4.4 Отладка программы.. 2

Заключение. 2

Список литературы.. 2

Введение

В наше время, во многих сферах инженерной деятельности возникают сложные для простого человека задачи, связанные с решением систем алгебраических и дифференциальных уравнений, матричных вычислений и т.д.

Сейчас наука не стоит на месте и активно пользуется ЭВМ. Это помогает решению сложных задач на ЭВМ с использованием численных методов. Простые пользователи чаще всего используют уже готовое специализированное программное обеспечение (MS Excel, Mathcad, Scilab и др.)

Одной из эффективных форм учебного процесса при изучении дисциплины «Информатика» является курсовое проектирование. Оно помогает закреплению знаний по дисциплине и даёт возможность для их применения при решении инженерных задач.

Цель курсового проектирования по дисциплине «Информатика» включает 2 основных аспекта:

1.Закрепление и углубление теоретических знаний и практических навыков, полученных при изучении курса «Информатика».

2.Приобретение студентами навыков самостоятельного решения инженерных задач с использованием современных информационных технологий.

Задачи курсового проектирования:

1.Изучить предложенные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

2.Реализовать поставленную задачу в двух интегрированных средах:

- в табличном процессоре MS Excel;

- в среде программирования VBA.

Дать сравнительную характеристику полученных результатов и методов решения задачи

Описание численных методов решения СЛАУ

Метод Крамера

Метод Крамера(правило Крамера)— метод решения СЛАУ с количеством уравнений одинаковым с количеством неизвестных с главным определителем матрицы, который не равен нулю, коэффициентов системы (для подобных уравнений решение есть и оно только одно).

Теорема Крамера.

Когда определитель матрицы квадратной системы ненулевой, значит, система совместна и у нее есть одно решение и его можно найти по формулам Крамера:

где Δ-определитель матрицы системы,

Δ_i - определитель матрицы системы, в котором вместо i-го столбца находится столбец правых частей.

Когда определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной.

Этот способ обычно применяют для небольших систем с объемными вычислениями и если когда необходимо определить 1-ну из неизвестных. Сложность метода в том, что нужно вычислять много определителей.

Описание метода Крамера.

Есть система уравнений:

Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений.

Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:

Это будет определитель системы. Когда D≠0, значит, система совместна. Теперь составим 3 дополнительных определителя:

Решаем систему по формулам Крамера:

Метод простой итерации

Пусть дана система (2), корни которой требуется найти с заданной точностью.

Предположим, что система допускает лишь изолированные корни. Число этих корней и их приближенные значения можно установить, построив кривые и и определив координаты их точек пересечения.

Для применения метода итераций система (2) приводится к виду

Функции и называются итерирующими. Алгоритм решения задается формулами:

где - некоторое начальное приближение.

Для приведения системы (2) к виду (3) используем следующий прием.

Предположим

Коэффициенты найдем как приближенные решения следующей системы уравнений:

Характеристики метода:

1. Сходимость.

Локальная, то есть метод сходится при выборе начальных приближений достаточно близко к точному решению. Насколько близко необходимо выбирать начальное приближение, исследуем в практической части.

2. Выбор начального приближения

Начальные значения переменных должны выбираться близко к точным.

3. Скорость сходимости линейная.

4. Критерий окончания итераций.