Главная Случайная страница Категории: ДомЗдоровьеЗоологияРнформатикаРскусствоРскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиРкологияРРєРѕРЅРѕРјРёРєР°Рлектроника |
Описание численных методов решения СЛАУКУРСОВАЯ РАБОТА РїРѕ дисциплине В«Рнформатика» «Автоматизация решения системы линейных алгебраических уравнений (метод Крамера Рё метод простой итерации)В»
Выполнила студентка
инженерного факультета Направление - Агроинженерия Профиль В«Рлектрооборудование Рё электротехнологии РІ РђРџРљВ» Курочкина Оксана Владимировна Руководитель: Рљ.Р.Рќ., зав. кафедрой Чертова Рњ.Рќ.
Великие Луки 2015 Содержание.
Введение. 2 1.Описание численных методов решения СЛАУ. 2 1.2. Матричный метод. 2 1.3 Метод простых итераций. 2 2.Прикладное РџРћ, применяемое для решения СЛАУ. 2 3 Автоматизация решения СЛАУ. 2 3.1 Постановка задачи. 2 3.2.2 Метод простой итерации. 2 3.3Решение СЛАУ СЃ помощью табличного процессора MS Excel 2 3.3.1 Решение СЛАУ матричным методом.. 2 3.3.2 Решение СЛАУ методом простой итерации. 2 3.4 Решение СЛАУ РЅР° VBA.. 2 3.4.1 Формализация задачи. 2 3.4.2 Алгоритмизация. 2 3.4.3 Программирование. 2 3.4.4 Отладка программы.. 2 Заключение. 2 РЎРїРёСЃРѕРє литературы.. 2 Введение Р’ наше время, РІРѕ РјРЅРѕРіРёС… сферах инженерной деятельности возникают сложные для простого человека задачи, связанные СЃ решением систем алгебраических Рё дифференциальных уравнений, матричных вычислений Рё С‚.Рґ. Сейчас наука РЅРµ стоит РЅР° месте Рё активно пользуется РР’Рњ. Рто помогает решению сложных задач РЅР° РР’Рњ СЃ использованием численных методов. Простые пользователи чаще всего используют уже готовое специализированное программное обеспечение (MS Excel, Mathcad, Scilab Рё РґСЂ.) РћРґРЅРѕР№ РёР· эффективных форм учебного процесса РїСЂРё изучении дисциплины В«Рнформатика» является РєСѓСЂСЃРѕРІРѕРµ проектирование. РћРЅРѕ помогает закреплению знаний РїРѕ дисциплине Рё даёт возможность для РёС… применения РїСЂРё решении инженерных задач. Цель РєСѓСЂСЃРѕРІРѕРіРѕ проектирования РїРѕ дисциплине В«Рнформатика» включает 2 основных аспекта: 1.Закрепление Рё углубление теоретических знаний Рё практических навыков, полученных РїСЂРё изучении РєСѓСЂСЃР° В«Рнформатика». 2.Приобретение студентами навыков самостоятельного решения инженерных задач СЃ использованием современных информационных технологий. Задачи РєСѓСЂСЃРѕРІРѕРіРѕ проектирования: 1.Рзучить предложенные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. 2.Реализовать поставленную задачу РІ РґРІСѓС… интегрированных средах: - РІ табличном процессоре MS Excel; - РІ среде программирования VBA. Дать сравнительную характеристику полученных результатов Рё методов решения задачи Описание численных методов решения СЛАУ Метод Крамера Метод Крамера(правило Крамера)— метод решения СЛАУ СЃ количеством уравнений одинаковым СЃ количеством неизвестных СЃ главным определителем матрицы, который РЅРµ равен нулю, коэффициентов системы (для подобных уравнений решение есть Рё РѕРЅРѕ только РѕРґРЅРѕ). Теорема Крамера. РљРѕРіРґР° определитель матрицы квадратной системы ненулевой, значит, система совместна Рё Сѓ нее есть РѕРґРЅРѕ решение Рё его можно найти РїРѕ формулам Крамера:
РіРґРµ Δ-определитель матрицы системы, Δi - определитель матрицы системы, РІ котором вместо i-РіРѕ столбца находится столбец правых частей. РљРѕРіРґР° определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной. Ртот СЃРїРѕСЃРѕР± обычно применяют для небольших систем СЃ объемными вычислениями Рё если РєРѕРіРґР° необходимо определить 1-РЅСѓ РёР· неизвестных. Сложность метода РІ том, что нужно вычислять РјРЅРѕРіРѕ определителей.
Описание метода Крамера. Есть система уравнений:
Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений. Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:
Рто будет определитель системы. РљРѕРіРґР° D≠0, значит, система совместна. Теперь составим 3 дополнительных определителя:
Решаем систему по формулам Крамера:
Метод простой итерации Пусть дана система (2), корни которой требуется найти с заданной точностью. Предположим, что система допускает лишь изолированные корни. Число этих корней и их приближенные значения можно установить, построив кривые и и определив координаты их точек пересечения.
Для применения метода итераций система (2) приводится к виду
Функции и называются итерирующими. Алгоритм решения задается формулами:
где - некоторое начальное приближение. Для приведения системы (2) к виду (3) используем следующий прием. Предположим
Коэффициенты найдем как приближенные решения следующей системы уравнений:
Характеристики метода:
1. Сходимость. Локальная, то есть метод сходится при выборе начальных приближений достаточно близко к точному решению. Насколько близко необходимо выбирать начальное приближение, исследуем в практической части. 2. Выбор начального приближения Начальные значения переменных должны выбираться близко к точным. 3. Скорость сходимости линейная. 4. Критерий окончания итераций.
Автоматизация решения СЛАУ Постановка задачи Решить систему линейных алгебраических уравнений 2-мя способами: методом Крамера и методом простой итерации с точностью e=0,01 Решение СЛАУ методом Крамера 1.Запишем исходную матрицу системы.
2.Найдем определитель РѕСЃРЅРѕРІРЅРѕР№ матрицы: Так как D¹0, то система имеет единственное решение. 3.Найдем определители дополнительных матриц, которые получаются РёР· РѕСЃРЅРѕРІРЅРѕР№ путем замены элементов РѕРґРЅРѕРіРѕ РёР· трех столбцов РѕСЃРЅРѕРІРЅРѕР№ матрицы элементами матрицы свободных членов b. 4.Найдем решение системы алгебраических уравнений: С…1=∆1∕∆=276/266=1,04 С…2=∆2/∆=92/266=0,35 С…3=∆3/∆=42/266=0,16 РЇ итерация σ=max ˃ɛ σ=max ˃ɛ σ=max ˃ɛ
Требуемая точность не достигнута Я итерация
σ=max ˃ɛ σ=max ˃ɛ σ=max ˃ɛ
Требуемая точность не достигнута Я итерация
σ=max ˂ɛ σ=max ˂ɛ σ=max ˂ɛ Требуемая точность достигнута Таким образом, = ɛ=0,01 Решение СЛАУ методом Крамера. 1.Р’РІРѕРґРёРј коэффициенты ( ) Рё свободные члены системы ( ). 2. РЎ помощью функции ЕСЛРпроанализируем значение определителя РѕСЃРЅРѕРІРЅРѕР№ матрицы. Так как метод Крамера можно использовать для решения систем линейных алгебраических уравнений, Сѓ которых определитель РѕСЃРЅРѕРІРЅРѕР№ матрицы РЅРµ равен 0,то РІ ячейку D12 РІРІРѕРґРёРј формулу =ЕСЛР(МОПРЕД(C7:E9)<>0;МОПРЕД(C7:E9);"использовать РґСЂСѓРіРѕР№ метод решения") Результаты расчета: 3.Введем дополнительные матрицы системы Результат: 4.Самостоятельно вычислим определители дополнительных матриц системы СЃ помощью функции МОПРЕД(): 5.Вычислим решение системы. Результат вычислений: 6.Проверка
Результат: Решение СЛАУ на VBA Формализация задачи А)Метод Крамера B)Метод простой итерации Входные данные Вектор свободных членов b={b(i)} – вещественный Массив коэффициентов при неизвестных a={a(i,j)}-вещественный Точность вычислений eps-вещественный Размер системы n-целое Сумма коэффициентов {a(i,j)} S-вещественная Критерии окончания итерационного процесса е-вещественный Максимальный критерий max-вещественный Выходные данные Вектор свободных членов b={b(i)} – вещественный Массив коэффициентов при неизвестных a={a(i,j)}-вещественный Вектор неизвестных x={x(i)}-вещественные Математическая модель:
Алгоритмизация Метод Крамера
РљРЈР РЎРћР’РђРЇ РАБОТА РїРѕ дисциплине В«Рнформатика» «Автоматизация решения системы линейных алгебраических уравнений (метод Крамера Рё метод простой итерации)В»
Выполнила студентка
инженерного факультета Направление - Агроинженерия Профиль В«Рлектрооборудование Рё электротехнологии РІ РђРџРљВ» Курочкина Оксана Владимировна Руководитель: Рљ.Р.Рќ., зав. кафедрой Чертова Рњ.Рќ.
Великие Луки 2015 Содержание.
Введение. 2 1.Описание численных методов решения СЛАУ. 2 1.2. Матричный метод. 2 1.3 Метод простых итераций. 2 2.Прикладное РџРћ, применяемое для решения СЛАУ. 2 3 Автоматизация решения СЛАУ. 2 3.1 Постановка задачи. 2 3.2.2 Метод простой итерации. 2 3.3Решение СЛАУ СЃ помощью табличного процессора MS Excel 2 3.3.1 Решение СЛАУ матричным методом.. 2 3.3.2 Решение СЛАУ методом простой итерации. 2 3.4 Решение СЛАУ РЅР° VBA.. 2 3.4.1 Формализация задачи. 2 3.4.2 Алгоритмизация. 2 3.4.3 Программирование. 2 3.4.4 Отладка программы.. 2 Заключение. 2 РЎРїРёСЃРѕРє литературы.. 2 Введение Р’ наше время, РІРѕ РјРЅРѕРіРёС… сферах инженерной деятельности возникают сложные для простого человека задачи, связанные СЃ решением систем алгебраических Рё дифференциальных уравнений, матричных вычислений Рё С‚.Рґ. Сейчас наука РЅРµ стоит РЅР° месте Рё активно пользуется РР’Рњ. Рто помогает решению сложных задач РЅР° РР’Рњ СЃ использованием численных методов. Простые пользователи чаще всего используют уже готовое специализированное программное обеспечение (MS Excel, Mathcad, Scilab Рё РґСЂ.) РћРґРЅРѕР№ РёР· эффективных форм учебного процесса РїСЂРё изучении дисциплины В«Рнформатика» является РєСѓСЂСЃРѕРІРѕРµ проектирование. РћРЅРѕ помогает закреплению знаний РїРѕ дисциплине Рё даёт возможность для РёС… применения РїСЂРё решении инженерных задач. Цель РєСѓСЂСЃРѕРІРѕРіРѕ проектирования РїРѕ дисциплине В«Рнформатика» включает 2 основных аспекта: 1.Закрепление Рё углубление теоретических знаний Рё практических навыков, полученных РїСЂРё изучении РєСѓСЂСЃР° В«Рнформатика». 2.Приобретение студентами навыков самостоятельного решения инженерных задач СЃ использованием современных информационных технологий. Задачи РєСѓСЂСЃРѕРІРѕРіРѕ проектирования: 1.Рзучить предложенные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. 2.Реализовать поставленную задачу РІ РґРІСѓС… интегрированных средах: - РІ табличном процессоре MS Excel; - РІ среде программирования VBA. Дать сравнительную характеристику полученных результатов Рё методов решения задачи Описание численных методов решения СЛАУ Метод Крамера Метод Крамера(правило Крамера)— метод решения СЛАУ СЃ количеством уравнений одинаковым СЃ количеством неизвестных СЃ главным определителем матрицы, который РЅРµ равен нулю, коэффициентов системы (для подобных уравнений решение есть Рё РѕРЅРѕ только РѕРґРЅРѕ). Теорема Крамера. РљРѕРіРґР° определитель матрицы квадратной системы ненулевой, значит, система совместна Рё Сѓ нее есть РѕРґРЅРѕ решение Рё его можно найти РїРѕ формулам Крамера:
РіРґРµ Δ-определитель матрицы системы, Δi - определитель матрицы системы, РІ котором вместо i-РіРѕ столбца находится столбец правых частей. РљРѕРіРґР° определитель системы нулевой, значит, система может стать совместной или несовместной. Ртот СЃРїРѕСЃРѕР± обычно применяют для небольших систем СЃ объемными вычислениями Рё если РєРѕРіРґР° необходимо определить 1-РЅСѓ РёР· неизвестных. Сложность метода РІ том, что нужно вычислять РјРЅРѕРіРѕ определителей.
Описание метода Крамера. Есть система уравнений:
Систему 3-х уравнений можно решить методом Крамера, который рассмотрен выше для системы 2-х уравнений. Составляем определитель из коэффициентов у неизвестных:
Рто будет определитель системы. РљРѕРіРґР° D≠0, значит, система совместна. Теперь составим 3 дополнительных определителя:
Решаем систему по формулам Крамера:
Метод простой итерации Пусть дана система (2), корни которой требуется найти с заданной точностью. Предположим, что система допускает лишь изолированные корни. Число этих корней и их приближенные значения можно установить, построив кривые и и определив координаты их точек пересечения.
Для применения метода итераций система (2) приводится к виду
Функции и называются итерирующими. Алгоритм решения задается формулами:
где - некоторое начальное приближение. Для приведения системы (2) к виду (3) используем следующий прием. Предположим
Коэффициенты найдем как приближенные решения следующей системы уравнений:
Характеристики метода:
1. Сходимость. Локальная, то есть метод сходится при выборе начальных приближений достаточно близко к точному решению. Насколько близко необходимо выбирать начальное приближение, исследуем в практической части. 2. Выбор начального приближения Начальные значения переменных должны выбираться близко к точным. 3. Скорость сходимости линейная. 4. Критерий окончания итераций.
12 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-06-09 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда... |