Критерий по асимметрии и эксцессу

Проверка выбросов может производиться по критерию, равному нормированному отклонению выброса:

,

где:

Т – критерий выброса;

– выделяющееся значение признака (или очень большое или очень малое);

μ, s – средняя и стандартное отклонение, рассчитанные для группы, включающей артефакт;

T_st – стандартные значения критерия выбросов, определяемых по таблице 1.

Таблица 1 – Стандартные значения критерия выбросов (T_st)

Если Т ≥ T_st, то анализируемое значение признака является выбросом. Альтернатива Т < T_st не позволяет исключить из анализа значение признака.

Артефакты могут являться следствием ошибки в ходе эксперимента, неправильной записи результата, сбоя измерительных приборов и т.д. Проверка на наличие выбросов желательна при предварительном анализе полученных данных, так как их наличие может существенно повлиять на конечные выводы об исследуемой совокупности. В принципе, если исследователь знает границы возможных результатов и какие-то полученные значения сильно выбиваются из этих границ, он может исключить их из анализа, не проводя дополнительной проверки вышеописанным способом

Стоит заметить, что иногда исследователя могут интересовать и сами выбросы как периодически возникающие аномальные явления, конечно, если они не являются следствием ошибки.

Выводы:

· Описательная статистика позволяет обобщать первичные результаты, полученные при наблюдении или в ходе эксперимента. Процедуры здесь сводятся к:

ü группировке данных по их значениям

ü построению распределения их частот

ü выявлению центральных тенденций распределения (например, среднего значения)

ü оценке разброса данных по отношению к найденной центральной тенденции.

· Когда совокупность подчиняется нормальному распределению, она исчерпывающе описывается параметрами распределения — средним и стандартным отклонением. Когда же распределение сильно отличается от нормального, более информативны медиана и перцентили.

· Проверкой распределения на принадлежность нормальному закону может служить построение графика, значения коэффициентов асимметрии и эксцесса, критерии нормальности, например Шапиро-Уилка или Колмогорова-Смирнова.

· От типа распределения признака зависит дальнейший ход исследования и работа с данными эксперимента.

Лекция 3

Сравнение групп

Постановка задачи

Часто возникает задача сравнить группы между собой. Такая задача может возникнуть, если необходимо выявить какой метод лечения более эффективный или, при изучении воздействия нового препарата, поставить эксперимент, сравнив препарат с аналогом, или исследовать эффективность препарата, поставив эксперимент с плацебо и т.д.

В подобных исследованиях одна из групп испытуемых принимается за контрольную – например, группа, которую лечили эталонным методом лечения или давали препарат плацебо вместо испытуемого лекарства, другая группа – экспериментальная. Сравнив между собой исследуемые показатели, исследователь делает вывод согласно цели эксперимента.

Нулевая гипотеза

Результатом исследования обычно является утверждение, имеющее жизненно важное значение, например, какой самый лучший метод лечения рака, каковы самые распространенные побочные эффекты определенного вида хирургического вмешательства, каков коэффициент выживаемости после определенного лечения и действительно ли новое экспериментальное лекарство увеличивает продолжительность жизни.

Однако, прежде чем получить результат (утверждение), необходимо правильно планировать ход исследования, одним из важных этапов является формулировка исходного утверждения, правильность которого и проверяется в ходе исследования. Такое утверждение называется гипотезой.

Гипо́теза (др.-греч. ὑπόθεσις — предположение) — утверждение, предполагающее доказательство.

Проверка гипотезы — это статистическая процедура, предназначенная для проверки утверждения.

После того как исследователь определил переменную и параметр, влияние на которую того или иного фактора проверяется в исследовании, он формулирует нулевую гипотезу.

Нулева́я гипо́теза —гипотеза, которая проверяется на согласованность с имеющимися выборочными (эмпирическими) данными.

Нулевая гипотеза - это предположение, что исследуемые факторы не оказывают никакого влияния на измеряемую величину признака и полученные различия (между группами исследуемых объектов) случайны.

В качестве нулевой гипотезыможет выступать гипотеза обратная утверждению о том, что значения признака распределены по нормальному закону распределения, или гипотеза о том, что различия между группами статистически не значимы или случайны и т.п. Часто в качестве нулевой гипотезы выступают гипотезы об отсутствии взаимосвязи или корреляции между исследуемыми переменными, об отсутствии различий (однородности) в распределениях (параметрах распределений) двух и/или более выборках.

Например, сравнивая различающиеся средние значения артериального давления при применении двух разных анестетиков, мы выдвигаем нулевую гипотезу о том, что полученные различия не значительны или случайны и анестетики воздействуют на измеряемый параметр организма в среднем одинаково

Альтернативная гипотеза обратна нулевой гипотезе. В исследовании обычно формулируется именно нулевая гипотеза, т.е., то, что мы хотим опровергнуть.

Статистическая значимость результатов

Уровень значимости

Получив результат, исследователь делает вывод о том, значим ли полученный результат с точки зрения статистического анализа. Другими словами он делает вывод о статистической значимости полученного результата.

Для того, чтобы сделать вывод о наличии или отсутствии статистической значимости используется так называемый критерий значимости.Под критерием значимости понимается некое числовое значение, позволяющее судить о значимости различий между сравниваемыми группами. Более подробно о критерии значимости будет рассказано далее.

Полученное числовое значение критерия значимости указывает на то, принимается или отвергается нулевая гипотеза.

Однако, вывод во многом зависит и от того с какой вероятностью мы можем получить наблюдаемые результаты при верности нулевой гипотезы.

Исследователь в подавляющем большинстве случаев работает с выборочными данными и в силу этого абсолютно избежать ошибок в статистических исследованиях и выводах на их основе невозможно. Статистические методы позволяют оценить вероятность возникновения подобных ошибок.

Другими словами, мы допускаем наличие ошибки, и максимальную вероятность ее возникновения устанавливаем сами. Если эта вероятность мала, то мы отвергаем нулевую гипотезу и заключаем что результаты эксперимента статистически значимы.

Максимальную приемлемую вероятность отвергнуть верную нулевую гипотезу называют уровнем значимости и обозначают α.

Обычно принимают α = 0,05 (5%). Это, разумеется, еще не означает что мы доказали действие именно изучаемых факторов (это вопрос прежде всего планирования эксперимента), но, во всяком случае, маловероятно, что результат обусловлен случайностью.

Если в ходе исследования мы получили результат, который отвергает нулевую гипотезу, при уровне значимости 5%, то можно сказать следующее:

если бы нулевая гипотеза была справедлива, то вероятность получить наблюдаемые результаты была бы меньше 5%.

В принятой системе обозначений это записывается как Р < 0,05. Р есть вероятность ошибочно отвергнуть нулевую гипотезу.

Отсюда мы заключаем, что гипотеза об отсутствии влияния препарата, например, на давление, вряд ли справедлива, то есть различия статистически значимы (при 5% уровне значимости). Разумеется, этот вывод по сути своей носит вероятностный характер. Не исключено, что мы ошибочно признаем неэффективный препарат эффективным, то есть найдем различия там, где их нет. Однако мы можем утверждать, что вероятность подобной ошибки не превышает 5%.

Ошибки первого и второго рода

Исходя из последнего утверждения, различают ошибки первого и второго рода.

Если мы ошибочно отклоняем верную нулевую гипотезу, например, находим различия там, где их нет, то это называется ошибкой I рода.

Максимальная приемлемая вероятность ошибки I рода и есть уровень значимости. Обычно α принимают равной 0,05 (то есть 5%), однако можно взять и какой-нибудь другой уровень значимости, например 0,1 или 0,01.

Если мы не отклоняем нулевую гипотезу, когда она не верна, то есть не находим различий там, где они есть, то это — ошибка II рода.

Методы анализа различий

Дисперсионный анализ

Проведем гипотетический эксперимент (Гланц С. «Медико-биологическая статистика»). Однажды в небольшом городке (200 жителей) ученые исследовали влияние диеты на сердечный выброс. Случайным образом отобрали 28 человек, каждый из которых согласился участвовать в исследовании. После этого они опять таки случайным образом были разделены на 4 группы по 7 человеке каждой.

Члены первой (контрольной) группы продолжали питаться как обычно, члены второй группы стали есть только макароны, третьей группы — мясо, четвертой — фрукты. Члены наших экспериментальных групп изображены заштрихованными кружками. Через месяц у всех участников эксперимента измерили сердечный выброс.

Анализ данных мы начинаем с формулировки нулевой гипотезы. В данном случае она заключается в том, что ни одна из диет НЕ влияет на сердечный выброс

Как видно из рисунка, группы все же различаются по средней величине сердечного выброса. Вопрос можно поставить так: какова вероятность получить такие различия, извлекая случайные выборки из нормально распределенной совокупности? Прежде чем ответить на этот вопрос нам надо получить показатель, характеризующий величину различий.

Из рисунков видно, что группы различаются между собой. Рисунок в рамке – результаты исследования из примера. Рисунки снизу – возможные результаты эксперимента

Для определения значимости различий между группами необходимо ввести критерий, который указывает на это различие. В дисперсионном анализе этим критерием является критерий Фишера или критерий F:

И числитель, и знаменатель этого отношения — это оценки одной и той же величины — дисперсии совокупности σ², поэтому если различий между группами нет, то значение F должно быть близко к 1

Если F значительно превышает 1, нулевую гипотезу следует отвергнуть. Если же значение F близко к 1, нулевую гипотезу следует принять. Осталось понять, начиная с какой именно величины F следует отвергать нулевую гипотезу.

Критическое значение F

Если извлекать случайные выборки из нормально распределенной совокупности, значение F будет меняться от опыта к опыту.

Значение критерия, начиная с которого мы отвергаем нулевую гипотезу, называетсякритическим значением.

Вероятность ошибочно отвергнуть верную нулевую гипотезу, то есть найти различия там, где их нет, обозначается Р.

Как правило, считают достаточным, чтобы эта вероятность не превышала 5%. (Максимальная приемлемая вероятность ошибочно отвергнуть нулевую гипотезу называется уровнем значимости и обозначается α). Почему бы не повысить критическое значение F тем самым, уменьшая эту вероятность? Однако в этом случае возрастет риск ошибочно принять неверную нулевую гипотезу (то есть не найти различий там, где они есть). Критическое значение F однозначно определяется уровнем значимости (обычно 0,05 или 0,01) и еще двумя параметрами, которые называются внутригрупповым и межгрупповым числом степеней свободы и обозначаются греческой буквой ν («ню»).

Степени свободы - числа, показывающие количество элементов варьирования, которые могут принимать произвольные значения, не изменяющие заданных характеристик. Степени свободы пришлось ввести из практического опыта вычислений. Дело в том, что в выборке у нас n данных, скажем 10, но когда мы с ними начинаем манипулировать, то между этими десятью значениями (в ряду) оказывается 9 промежутков, то есть (n-1).

Межгрупповое число степеней свободы — это число групп минус единица ν_меж = m – 1. Внутригрупповое число степеней свободы — это произведение числа групп на численность каждой из групп минус единица ν_вну = m (n – 1). В примере с исследованием диеты межгрупповое число степеней свободы равно 4 – 1 = 3, а внутригрупповое 4 (7 – 1) = 24. Вычислить критическое значение F довольно сложно, поэтому пользуются таблицами критических значений F для разных α, ν_меж и ν_вну.

На основании значения уровня значимости и степеней свободы определяется величина критического значения критерия Фишера F_кр (значение критерия, начиная с которого мы отвергаем нулевую гипотезу).

Для определения статистической значимости различий между группами сравниваются между собой F и F_кр, а также P и α, если

F > F_кр и P < α,

то нулевая гипотеза отвергается и различия между группами статистически значимы, в противном случае различия – случайны или незначимы.

Следует учитывать, что даже при обнаруженной статистической значимости различий исследователь может ошибаться, но допустимая вероятность ошибки равна уровню значимости (т.е. незначительна). Т.е. если оказалось, что P столь велико, что превышает уровень значимости, то различия признаются статистически незначимыми, правда в этом случае возможно возникновение ошибки второго рода, т.е. не выявление различия там, где оно есть.

Пример таблицы результатов дисперсионного анализа в MS Excel

Пример исследования