Категории: ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Свойства средней арифметической
Средняя арифметическая обладает некоторыми свойствами, имеющими практическое значение: n Сумма отклонений отдельных вариант от средней равна 0. n При умножении или делении всех частот ряда распределения на одно и то же число средняя не меняется. n Средняя от постоянной величины равна ей самой. n Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений вариант на частоты. n Изменение каждого варианта на одну и ту же величину изменяет среднюю на ту же самую величину. n Изменение каждого варианта в одно и то же число раз изменяет среднюю в это же число раз. n Средняя суммы равна сумме средних. n Сумма квадратов отклонений вариант от средней величины меньше, чем от любой другой величины. Изложенные свойства средней арифметической позволяют во многих случаях упростить ее расчеты: можно из всех значений признака вычесть произвольную постоянную величину, разность сократить на общий множитель, а затем исчисленную среднюю умножить на общий множитель и прибавить произвольную постоянную величину. Формула средней арифметической взвешенной получит следующий вид: -- X = m1 * i + A , ( x - A ) f å ----------- * ------ I k где m1 = ----------------------------------- ; f å ---- K (6.4.1) m1 - момент I порядка. ( x - A ) f å ----------- * ------ -- å xi * fi i k X = ------------- = -------------------------------- * i + A = m1 * i + A, å fi f å ---- K (6.4.2) где A – середина центрального (при нечетном количестве) интервала или интервала с наибольшей частотой; i – общее кратное для x; k – общее кратное для f.
Пример:
k = 10, A = 1200, i = 300. 1 -- 1 m1 = - ----- Х = - ---- * 300 + 1200 = - 33,3 + 1200 = 1166,6 руб. 9 9
В статистической практике нередко возникает необходимость определения средней для всей совокупности исходя из средних величин для отдельных частей этой совокупности. В этом случае среднюю величину определяем так: – -- å xi * fi Xобщая = ------------ . å fi (6.4.3) Мода, медиана
Для характеристики структуры совокупности применяются особые показатели, которые можно назвать структурными средними. К таким показателям относятся мода и медиана. Мода (Мо) – величина признака, которая встречается в ряду распределения наиболее часто. В вариационном ряду мода определяется по наибольшей частоте. Пример:
Мо = 800 руб.
В интервальном вариационном ряду мода определяется по формуле:
( fмо - fмо-1 ) Мо = х0 + i * -------------------------------------- , ( fмо - fмо-1 ) + ( fмо - fмо+1 ) (6.5.1) где х0 – нижняя граница модального интервала; i – величина модального интервала; fмо – частота модального интервала; fмо-1 – частота интервала, предшествующего модальному; fмо+1 – частота следующего после модального интервала.
В интервальном вариационном ряду модой приближенно считают центральный вариант так называемого модального интервала, то есть интервала, который имеет наибольшую частоту (частость). В пределах интервала надо найти то значение признака, которое является модой. Эта формула основана на предположении, что расстояния от нижней границы модального интервала до моды и от моды до верхней границы модального интервала прямо пропорциональны разностям между численностями (частотами) модального интервала и прилегающих к нему. Мода – это именно то значение признака, которое в действительности встречается чаще всего. В случае неравных интервалов предварительно необходимо исчислить плотность распределения, выделить модальный интервал, а затем рассчитать по формуле. Медиана (Ме) – это величина признака, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две части. Одна часть имеет значения варьирующего признака меньшие, чем медиана, а другая - большие. Пример:
Сложнее определить Ме в интервальном ряду. Сначала необходимо выделить медианный интервал. Медианный интервал находится по накопленным частотам. Первая накопленная частота, которая будет больше половины объема ряда, даст нам медианный интервал. å f / 2 - S Me = x0 + i * -------------------------- , F me (6.5.2) где x0 – нижняя граница медианного интервала; i – величина медианного интервала; å f / 2 – половина объема ряда; S – накопленная частота, предшествующая медианному интервалу; f me – частота медианного интервала.
Медиану следует применять в качестве средней величины в тех случаях, когда нет достаточной уверенности в однородности изучаемой совокупности. Медиана – величина всегда конкретная и имеет минимальную сумму отклонений от фактических значений (используется в строительстве общественных зданий, так как является точкой, дающей наименьшее расстояние, например, детских садов от места проживания родителей). Пример:
-- 1,8 * 2 + 2,2 * 3 + 2,6 * 5 + 3,0 * 7 + 3,4 * 10 + 3,8 * 3 Х = --------------------------------------------------------------------------- = 2,98 руб. 2 + 3 + 5 + 7 + 10 + 3 10 - 7 Мо = 3,2 + 0,4 * -------------------------------------- = 3,32 руб. ( 10 - 7 ) + ( 10 - 3 ) 30 / 2 - 10 Ме = 2,8 + 0,4 * ------------------------- = 3,086 руб. 7 Межорантность средних
Рассмотренные выше средние величины находятся между собой в определенных взаимоотношениях. Все средние являются частными случаями степенной средней. ______ -- z / å x z Х = Ö ---------- n при z = - 1 Þ средняя гармоническая; z = 0 Þ средняя геометрическая; z = 1 Þ средняя арифметическая; z = 2 Þ средняя квадратическая. При использовании одних и тех же исходных данных чем больше z, тем больше средняя величина: –––– Х гарм. < Х геометр. < Х арифм. < Х квадр.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-06-10 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда... |