Категории: ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Тема 1.1 Алгоритмы метода ГауссаТема 1.2 Технические системы с неполной матрицей наблюдений Задача оценки состояния недоопределенных систем Типичным случаем недоопределённых систем являются групповые эталоны. В частности, эталоны времени и частоты, в которых в качестве вектора состояния рассматриваются относительные отклонения частоты стандартов, входящих в состав эталона. Структурная схема измерений, выполненных в таких эталонах, приведена на рисунке 2.
Рис. 2 – Структурная схема измерений
Если пренебречь шумами измерительной системы, а для измерений, выполняемых на суточных интервалах, это вполне допустимо, то для нахождения вектора состояния эталона достаточно получить оценку состояния опорного элемента (на рис. 2 это первый элемент). Оценки других составляющих вектора состояния найдутся немедленно из результатов измерений, выполненных на k-м такте. В групповых эталонах измерения выполняются путем сличения их элементов друг с другом. Чаще всего применяется схема сличения всех элементов с одним из них, выбранным в качестве «опорного». Без потери общности будем считать опорным первый элемент. Тогда матрица измерений имеет вид
(24) Размерность матрицы - (n-1) *(n). Эталоны времени и частоты можно рассматривать как динамические системы, в которых вектор состояния представлен в виде относительных отклонений частот квантово-механических генераторов, входящих в состав эталона. С течением времени относительные отклонения частот – yi меняют свои значения. Результаты измерений, выполненных в момент времени tj, – zji= yj1 – yj,i+1 (25) , где j = 1,2, … i = 1,2,…,n-1 В уравнении (25) предполагается, что измерения выполняются через равные интервалы времени. Различаются два режима обработки данных: статический и динамический. В статическом режиме предполагается, что все данные, полученные с момента t=1 до t=N , имеются в распоряжении исследователя и могут обрабатываться одновременно. При обработке данных в динамическом режиме используются результаты измерений, выполненных в момент tk, и априорная информация об объекте, чаще всего представленная в виде прогнозов вектора состояния. Как правило, прогнозы вычисляются на основе математической модели, описывающей динамику объекта. Оптимальные оценки вектора состояния в динамическом режиме обработки данных находятся с помощью рекуррентных соотношений, известных как фильтр Калмана . предложен алгоритм субоптимальной фильтрации для измерительных систем с матрицей измерений вида (24). Оценка состояния опорного элемента на момент tj в этом алгоритме находится из соотношения (26) где - вес i-го прогноза , - дисперсия прогноза i – ой составляющей вектора состояния, - прогноз i – ой составляющей вектора Y, полученный на предыдущем такте обработки данных. Вектор Zв выражении (9) дополнен фиктивной составляющей z1 = y1 – y1 = 0 , поэтому размерности векторов Zи совпадают. Альтернативный алгоритм основан на использовании МНК – оценок, вычисленных с помощью псевдообратной матрицы. Псевдообратная матрица в нашем случае вычисляется по формуле А+ = АT (AAT) -1 и имеет вид
При этом оценка вектора состояния находится по формуле (27) (27) Или, в развернутом виде, , k = 2,3,…, n (28) Очевидно, что МНК- оценка опорного элемента на k-м шаге совпадает со средним значениям результатов измерений. Т.о. имеем два класса алгоритмов вычисления вектора состояния недоопределенных систем: - алгоритм среднего арифметического – МНК – оценки; - алгоритм, опирающийся на использовании прогнозирующих моделейю
Раздел 2. Прогнозирующие модели и их построение по эмпирическим данным Основные операторы Для описания моделей АРПСС используются следующие операторы: · Оператор сдвига назад В определяется как (29) · Оператор сдвига вперед F (30) · Разностный оператор со сдвигом назад (31)
· Оператор суммирования (32)
2.1.2 “Белый шум”
Временные ряды, в которых последовательные значения сильно зависимы, целесообразно рассматривать как генерируемые последовательностью независимых импульсов . Эти импульсы – реализации случайных некоррелированных величин с фиксированным распределением, которое обычно предполагается нормальным с нулевым средним значением и дисперсией . Такая последовательность случайных величин называется в технической литературе «белым шумом».
Лабораторная работа 2 Построение динамических стохастических моделей (моделей авторегрессии - скользящего среднего АРСС) по эмпирическим временным рядам.(Интерактивное обучение -150 минут) Лабораторная работа № 3 Тема 1.1 Алгоритмы метода Гаусса Пусть дана система из n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными: (1) Решением системы (1) называется упорядоченное множество чисел ξ, если подстановка превращает уравнения (1) в равенства . Общая схема метода Гаусса для систем, имеющих единственное решение Пусть . (В противном случае в качестве первого уравнения возьмем какое-либо другое). Разделим первое уравнение на . Получим , (2) где ; , Умножим разрешающее уравнение (2) на и вычтем полученное уравнение из второго уравнения системы (1). Аналогично преобразуем остальные уравнения. Система примет вид (3) где
Если какой-либо из коэффициентов окажется равным нулю, то j-ое уравнение системы (1) войдет в систему (3) без изменений т.е.
(То есть если в какой-либо из уравнений отсутствовала переменная , то уравнение не преобразуется). Теперь, оставив без изменения первое уравнение системы (5), сделаем разрешающим второе уравнение и применим описанную процедуру к системе из n-1 уравнений, исключая из оставшихся уравнений. Получим систему
где
Продолжая аналогичные вычисления, приведем систему (1) к эквивалентной системе с треугольной матрицей коэффициентов (4) Прямой ход решения выполнен. Обратный ход: a) последовательно исключаем неизвестное , начиная с уравнения и заканчивая первым. Получаем (5) Затем исключаем неизвестное из уравнений с номером j и т.д. В результате получаем решение системы. Алгоритм Гаусса относится к классу «точных алгоритмов», поскольку можно определить число шагов, необходимых для решения системы линейных уравнений: 2n -1 шаг. Однако числа – приближенные, в силу чего решение задачи также приближенное, а, стало бытьЮ содержит погрешность. При делении на малые помодулю числа погрешность резко возрастает. Для уменьшения этой погрешности применяются модифицированные алгоритмы Гаусса: - алгоритмы с поиском максимального по модулю элемента по столбцам; - алгоритмы с поиском максимального по модулю элемента по всей матрице коэффициентов. При выполнении процедуры прямого хода возможны следующие случаи: 1. матрица А приводится к треугольной (получаю решение). 2. число преобразованных уравнений системы меньше числа неизвестных (ранг матрицы А< n) – Это происходит, если в системе получаются в процессе преобразований тождества 0=0. Система имеет бесконечное множество решений. 3. все коэффициенты при неизвестных в каком-либо уравнении равны нулю, свободный член отличен от нуля. Система не имеет решения. В случае 3) решение системы может быть найдено приближенно с использованием статистических методов (метод наименьших квадратов (МНК), минимизируюший сумму квадратов «невязок»). МНК широко применяется при обработке измерительной информации. Случай 2) соответствует недоопределенным системам (системам с неполной матрицей наблюдений), когда число уравнений меньше числа неизвестных. Этот случай весьма часто встречается при анализе технических систем и заслуживает особого рассмотрения. Задача обработки данных, получаемых в различных технических системах, сводится к нахождению оценок параметров системы, представляющих интерес для исследователя, по имеющимся результатам наблюдений. Пусть - вектор параметров (будем называть его вектором состояния системы) в момент tj. Z = [z1, z2, …zn]T - вектор наблюдений, зависящий от вектора Y, т.е. (6) В общем случае зависимость Zот Y – нелинейная, и размерности векторов Zи Yне совпадают. Существуют технические системы, в которых результаты наблюдений являются линейными функциями вектора состояния. Для нелинейных систем зачастую можно применить процедуру линеаризации. При этом уравнение (6) принимает вид ,(7) где А – матрица наблюдений. При равной размерности векторов Zи Y(m = n) и ранге матрицы А , равном n , имеет единственное решение (8) где A-1– обратная матрица. Чаще всего имеет место неравенство n > m, т.е. число наблюдений больше числа оцениваемых параметров. В этом случае система линейных уравнений (7) может оказаться несовместной. На самом деле эта несовместность – кажущаяся, т.к. в уравнениях (6) и (7) не учтены погрешности наблюдений – вектор ε , имеющий размерность n. Оценки метода наименьших квадратов – МНК – оценки, минимизирующие сумму квадратов « невязок »εi (9) находятся из уравнения [1] (10) Если ранг матрицы А меньше n , обратной матрицы не существует. В таком случае МНК – оценка вектора Y находится с помощью псевдообратной матрицы А+ [2] (11) Системы с подобной матрицей – неполной матрицей наблюдений – называют недоопределенными. К таким системам относятся измерительные системы групповых эталонов физических величин, например, эталонов времени и частоты
|
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-06-10 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда... |