Обработка ведется на одной машине круглые сутки.

5x1 + x2 <= 86400 - ограничение 1)

Изделия хранятся на складе 24 часа до отправки клиентам. Объем склада 1000 м³. Объем изделий 0,02 м³ для P1 и 0,03 м³ для P2.

0,02x1 + 0,03x2 <= 1000 - ограничение 2)

II Элементы векторной алгебры

Рассмотрим систему уравнений

(1)

(первое уравнение - характеристика снабжения, связывающая количество поставляемого товара Q с ценой P? второе - характеристика спроса)

P, Q - совместно определяемые переменные.

Решение:

(Q = 2.0, P=3.0)

В координатах (Q, P) решение представлено точкой (2, 3)

Направленный отрезок - вектор из точки O в точку (2, 3) обозначим х =

Компоненты вектора.

Вектор-столбец х = , вектор строка х' = х = , " ' " или "Т" - операция транспонирования.

Геометрически вектор-столбец и вектор-строка - эквивалентны. Нулевой вектор задает начало координат О' = . Любая точка пространства может быть задана линейной комбинацией двух единичных векторов I'₁ = и I'₂ = (I₁ и I₂ - два возможных базиса в данной системе координат)

Пример: Точка (2, 3) = 2 +3 =2I₁ + 3I₂

2. Операции над векторами

2.1 Умножение вектора на скаляр (действительное число)

A =

При умножении длина вектора увеличивается в k раз (если k отрицательно - меняется направление вектора)

2.2 Сложение векторов - складываются их соответствующие компоненты.

Пусть А = , B = А+В =

Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты.

2.3 Линейная независимость векторов

Векторы X и Y линейно-независимы, если не существует скаляров k₁ и k₂ таких, что

k₁X + k₂Y = 0,

при условии, что k₁ и k₂ не равны нулю.

Пример: I₁ и I₂ - линейно-независимы, т.к равенство

k₁ + k₂ = выполняется только при k₁ = 0 и k₂ = 0.

Векторы и - линейно-зависимы

k₁ + k₂ = 0; k₁ k₂

Выбираем любое k₁, пусть =1. Тогда

k₂ , т.е. ; k₂ =

Переходя от 2-х мерных векторов к n-мерным, получаем

2.4 Произведение векторов

а) скалярное произведение

А'В = =

Пусть А = , В = А'В =

А'В = B'A

Скалярное произведение двух векторов - это сумма произведений соответствующих компонент этих векторов.

А'A =

Отсюда - второе определение скалярного произведения.

Скалярным произведением векторов А и В называется произведение их длин (модулей) на косинус угла между ними.

Результат скалярного произведения - скаляр.

Если два вектора перпендикулярны (ортогональны) один другому, то их скалярное произведение равно нулю.

Все ортогональные векторы линейно-независимы (Обратное не всегда верно!)

Пример:

А' = В' =

Множество ортогональных векторов называется ортонормированным, если каждый вектор имеет единичную длину.

Пример1: I'₁ = и I'₂ =

Пример2: P'₁ = и Р'₂ =

в) переход от одной координатной системы к другой

Пусть заданы векторы I'₁, I'₂, P'₁, Р'₂ и вектор Х

Х =

Имеем две координатные системы I'₁, I'₂ и P'₁, Р'_2.

Относительно системы I₁, I₂ можно записать:

X = = x₁I₁+x₂I₂ = 1/2 +1/4

Аналогично запишем отношение P₁ Р₂

Х = Y₁P₁+Y₂P₂ (*)

Требуется найти значение Y₁, Y₂ в координатах P₁, P₂.

Умножаем (*) на P'₁

ХP'₁ = Y₁P'₁P₁+Y₂P'₁P2

т.к. P'₁P₁ =1; P'₁P₂ =0 - векторы ортонормированы

Получаем P'₁Х = Y₁

Аналогично, умножив (*) на Р'₂, получим P'₂Х = Y₂

Итак, получаем

Y₁ = P'₁Х = =

Y₂ = =

Таким образом можно переходить от одной координатной системы к другой.

Х = Y₁ P₁ + Y₂ P₂ = + =

Т.е. можно Х представить как Х = + =

либо как Х= x₁I₁+x₂I₂

Х = Y₁ P₁ + Y₂ P₂

Угол между P₁ и I₁ можно найти из определения скалярного произведения векторов А'В =

Вектор - упорядоченный набор чисел.

Матрица - упорядоченный набор векторов.

- матрица, размера (n x m) - n-строк, m-столбцов.

Матрица может состоять из векторов, записанных по строкам, либо по столбцам.