ПОСТРОЕНИЕ ТРЕНДА ДЛЯ ДВУХ РЯДОВ ДАННЫХ

. (1.5)

– стандартное отклонение коэффициента корреляции

Любое стандартное отклонение иногда называют стандартной ошибкойсоответствующего коэффициента.

Рассматривается основная гипотеза о равенстве параметров регрессии нулю.

H₀: b_i= 0 – коэффициент незначим;

H₁: b_i ≠ 0 – коэффициент значимый

По выборке находят t-статистики (Т_набл.):

. (1.8)

Критическое значение Т_кр для t-статистик находят с помощью распределения Стьюдента. Для этого надо знать объемвыборки и задать уровень значимости. Например, для a = 0,05 и n = 14, Т_кр = t_a/2,n-2= t_0,025,12 = 2,179.

Выдвинутая гипотеза:

– принимается, если выполняется неравенство |Т_набл| < Т_кри делают вывод, что коэффициент незначим (равен нулю);

– отвергается, если |Т_набл| > Т_кри делают вывод, что коэффициент значим.

Часто при проверке качества коэффициентов используют «грубое правило»:

если |t| £ 1 (b_j < S_j), то коэффициент статистически незначим;

если 1 < |t| £ 2 (b_j < 2S_j), то коэффициент относительно слабо значим, рекомендуется воспользоваться таблицей критических точек распределения Стьюдента;

если 2 < |t| £ 3, то коэффициент значим (это утверждение считается гарантированным при n > 20 и a ³ 0,05);

если 3 < |t|, то коэффициент считается сильно значимым (вероятность ошибки при достаточном числе наблюдений не превосходит 0,001).

Каждая оценка дополняется доверительным интервалом. Для этого определяют предельную ошибку для каждого коэффициента:

D_i = t_{a/2, n – 2} S_i, (1.9)

откуда границы доверительных интервалов находятся по формуле:

b_i ± D_bi. (1.10)

Коэффициент детерминации для парной регрессии совпадает с квадратом коэффициента корреляции R² = r²_xy и характеризует долю дисперсии результативного признака у, объясняемую регрессией в общей дисперсии результативного признака. Соответственно величина 1 – R² характеризует долю дисперсии у, вызванную влиянием неучтенных факторов в общей дисперсии признака у.

. (1.11^*)

Разделив обе части уравнения на общую сумму квадратов отклонений, получим:

,

. (1.11)

Таким образом, коэффициент детерминации R² является мерой, позволяющей определить, в какой степени найденная прямая регрессии дает лучший результат для объяснения поведения зависимой переменной у, чем горизонтальная прямая у = . Очевидно, что 0 ≤ R² ≤ 1. Откуда следует, что чем ближе он к единице, тем больше уравнение регрессии объясняет поведение фактических значений у. Поэтому следует строить регрессию с наибольшим значением R².

Корень квадратный из коэффициента детерминации называется индексом корреляции и обозначают r_xy.

Для проверки общего качества уравнения регрессии выдвигается предположение, что коэффициенты b₀ и b₁ одновременно равны нулю, тогда уравнение считают незначимым, в противном случае значимым. Данная гипотеза проверяется на основе дисперсионного анализа, при этом сравниваются объясненная и остаточная дисперсии:

– уравнение незначимо,

– уравнение значимо.

Строится F-статистика:

. (1.12)

При выполнении условий МНК статистика имеет распределение Фишера с числом степеней свободы n₁ = 1, n₂ = n – 1. При уровне значимости находят критическую точку F_{a, 1, n – 1} = F_кр с помощью функции FРАСПОБР и сравнивают его с наблюдаемым значением F. Так как рассматриваемая гипотеза правосторонняя, то:

- если F > F_кр, то гипотеза H₀ отклоняется в пользу H₁, что означает объясненная дисперсия существенно больше остаточной, следовательно, уравнение регрессии достаточно качественно отражает динамику изменения зависимой переменной от объясняющей.

- если F < F_кр, то гипотеза H₀ принимается, т.е. объясненная дисперсия соизмерима с остаточной дисперсией, вызванной случайными факторами. Это позволяет считать влияние объясняющих переменных модели несущественным, а, следовательно, общее качество уравнения регрессии невысоким.

В случае линейной регрессии проверка нулевой гипотезы для F-статистики равносильна проверке нулевой гипотезы для t_r-статистики для коэффициента корреляции:

,

Можно доказать равенство:

. (1.13)

ПОИСК ПРОГНОЗНОГО ЗНАЧЕНИЯ И ЕГО ОЦЕНКА

Прогнозное значение ŷ_р определяется, если в уравнение регрессии подставить значение х_р:

ŷ_р = b₀ + b₁ х_р. (1.14)

Границы доверительного интервала для параметра у_р будут равны:

ŷ_р ± t_{a/2, n – 2} S_p. (1.15)

Чтобы найти стандартную ошибку S_p прогнозного значения ŷ_р можно использовать два подхода: либо рассматривать параметр у_р как отдельное значение переменной х_р; или разброс у_р найти как условное среднее значение при известном значении х_р.

Доверительный интервал для отдельного значения у_р учитывает источники рассеяния: для коэффициентов регрессии (1.5, 1.6) и всего уравнения регрессии (1.4). В этом случае стандартная ошибка прогноза S_р вычисляется по формуле:

, (1.16)

Доверительный интервал для условного среднего не учитывает дисперсию для всего уравнения регрессии (1.4), поэтому формула для вычисления ошибки прогноза имеет вид:

, (1.17)

Пример 1.3. Воспользуемся данными примера 1.1 для выполнения следующих заданий:

1. по данным выборок построить линейную модель у = b₀+ b₁x + e;

a. оценить параметры уравнения регрессии ŷ_х;

b. оценить статистическую значимость коэффициентов регрессии;

c. оценить силу линейной зависимости между х и у;

d. спрогнозировать потребление при доходе х = 160.

2. построить модель, не содержащую свободный член у = vx + u.

a. найти коэффициент регрессии а;

b. оценить статистическую значимость коэффициента а;

c. оценить силу общее качество уравнения регрессии;

3. значимо или нет различаются коэффициенты b1 и а?

4. какую модель вы выбираете?

Инструкции для выполнения примера с помощью инструмента Регрессия пакета анализа.

Для задания 1.

1. Скопировать данные примера 1.1 на новый лист.

2. С помощью инструмента Регрессия Пакета анализа данных выведите регрессионную статистику с остатками и уровнем надежности 98%.

Все оценки по умолчанию проводятся в Excel с уровнем значимости a =0,05 (g =1 – a =0,95)

Описание результатов по данным примера 1.1

Результат состоит из четырех блоков: Регрессионная статистика, Дисперсионный анализ данных для коэффициентов регрессии и их оценок, вывод остатков.

РЕГРЕССИОННАЯ СТАТИСТИКА содержит строки, характеризующие построенное уравнение регрессии:

Для парной регрессии Множественный R равен коэффициенту корреляции (r_xe). По его значению 0,98 можно сказать, что между х и у существует сильная линейная зависимость.

Строка R–квадрат равна коэффициенту корреляции в квадрате.

Нормированный R–квадрат рассчитывается с учетом степеней свободы числителя (n – 2) и знаменателя (n – 1) по формуле 1.11.

Стандартная ошибка (S) регрессии вычисляется по формуле 1.4.

Последняя строка содержит количество выборочных данных (n).

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ позволяет исследовать общую дисперсию у (строка ИТОГО), дисперсию для теоретических данных (строка Регрессия) и остаточную дисперсию (строка Остаток).

Второй столбец (df) содержит число степеней свободы для каждой из сумм формулы (1.11*).

В третьем столбе (SS) находятся суммы квадратов (1.11*).

Четвертый столбец (MS) содержит средние значения SS/df для регрессии и остатков.

В пятом столбце вычисляется по выборочным данным значение статистики F (1.12).

Последний столбец, содержит F-значение равное Р(F > F_набл) = FРАСП(F_набл; 1; 10) с уровнем значимости 0,05. С его помощью можно оценить значимость всего уравнения регрессии. Это значение можно считать вероятностью выполнения гипотезы Н₀.

В нашем случае она практически равна нулю, следовательно, построенное уравнение дает хорошее приближение к исходным данным.