ПРОВЕРКА ВЫПОЛНИМОСТИ МНК. АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ ОСТАТКОВ. СТАТИСТИКА ДАРБИНА–УОТСОНА

Все предыдущие рассуждения основаны на том, что выполняются предпосылки МНК: мы предполагали, что случайные отклонения е_i являются независимыми случайными величинами со средней, равной нулю. При работе с фактическими данными, такое допущение не всегда выполняется. Например, если вид функции выбран неудачно, то отклонения от регрессии вряд ли будут независимыми. В этом случае замечается концентрация положительных или отрицательных отклонений от регрессии и можно сомневаться в их случайном характере.

Если последовательные значения е_i коррелируют (зависят) между собой, то говорят, что имеет место автокорреляция остатков.

МНК в случае автокорреляции дает несмещенные и состоятельные оценки, однако полученные в этом случае доверительные интервалы имеют мало смысла в силу своей ненадежности. Значительная автокорреляция говорит о том, что спецификация модели неправильная. Проверка остатков на автокорреляцию должна выполняться обязательно. Наиболее простым приемом обнаружения автокорреляции является метод Дарбина–Уотсона (DW). Идея, которого состоит в том, что проверяются на коррелированность не любые, а только соседние величины е_i. Соседними обычно считаются соседние по возрастанию объясняющей переменной Х (в случае перекрестной выборки) или по времени (в случае временных рядов) значения е_i.

Статистика DW рассчитывается по формуле:

. (1.34)

При условии что М(е_i) = 0, (i = 1, 2, …, n) и n – большое число можно предположить , тогда после преобразования получим:

. (1.35)

Очевидно, что 0 ≤ d ≤ 4, так как коэффициент корреляции

- d = 2, если cov(e_i, e_i–1) = 0 – автокорреляция отсутствует;

- d = 0 – полная положительная автокорреляция;

- d = 4 – полная отрицательная автокорреляция.

Область для принятия гипотезы об отсутствии автокорреляции.

Возникает вопрос, какие значения d можно считать близкими к 2? Для обнаружения границ наблюдений статистики d существуют специальные таблицы. Для заданных a-уровня значимости; n – числа наблюдений и m –числа объясняющих переменных указывается два числа: d₁ – нижняя граница и d₂ – верхняя граница. Не обращаясь к таблице критических точек DW можно воспользоваться правилом: если 1,5 < d < 2,5, автокорреляция отсутствует. Изобразим на рисунке числовой отрезок, используемый для проверки гипотезы об отсутствии автокорреляции.

Статистику DW для примера 1.4 находим по формуле (1.34).

Сумма в ячейках D39:Е39 рассчитаны с помощью встроенных функций из категории Математические.

D39: =СУММКВРАЗН(C40:C49;C39:C48)

Е39: =СУММКВ(C39:C49)

DW = 41,87394/24,2406 = 1,72743.

Если зависимость между С и Х линейная, то график остатков должен иметь случайный вид. На рисунке для графика остатков C, % (см. результаты для Примера 1.4) видим систематический рисунок, поэтому скорее всего между С и Y существует нелинейная зависимость, а значит надо изменить модель, включая в нее нелинейную зависимость.

МУЛЬТИКОЛЛИНЕАРНОСТЬ

Увеличение числа переменных в уравнении множественной регрессии повышает точность описания взаимосвязи, однако при этом должно выполняться условие, что Х_i – объясняющие переменные, линейно независимые величины.

Под мультиколлинеарностью понимают взаимосвязь объясняющих переменных регрессии. Если между переменными X_n и X_m существует функциональная за-висимость (X_n = a×X_m), то говорят о строгой мультиколлинеарности. Чаще всего между переменными существует довольно сильная корреляционная зависимость – в этом случае мультиколлинеарность называют нестрогой.

При строгой мультиколлинеарности решение матричного уравнения 1.22 становится невозможным, так как матрица X^TX вырожденная – ее определитель равен нулю.

Если же мультиколлинеарность нестрогая, то решение матричного уравнения формально можно найти, однако все оценки мало надежны.

Чтобы обнаружить мультиколлинеарность надо найти определитель матрицы X^TX. Вместо этого проверяется определитель матрицы межфакторной корреляции, которую получают с помощью инструмента КОРРЕЛ.

Устранение мультиколлинеарности заключается в исключении одной из двух, находящихся во взаимосвязи переменных, либо путем пересмотра структуры уравнения регрессии. Для оценки влияния факторов на результирующий фактор Y в случае используются показатели частной корреляции (1.26). Если число переменных больше трех, то для их определения удобно пользоваться формулой:

,

где с_kp коэффициенты матрицы обратной к матрице парных коэффициентов корреляции.