Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






Порівняння чисел в десятковій системі числення.

Порівняння чисел в десятковій системі числення.

Записом натурального числа в системі числення з основою раз. Подання його у вигляді Х=аn·рⁿ+аn₋₁·рⁿˉ¹+…+а₁·р+а₀,деаn,аn₋₁…а₀набирають значення0,1,4…р-1 і аn≠0.Наприулад:1101₂=1·2³+1·2²+0·2¹+1·2.Якщо числа Х і У-натуральні числа,запис яких виконана в десятковій системі числення:Х=аn ·10ⁿ+аn₋₁·10ⁿˉ¹ +…+а₁·10+а₀,У=bm·10m+ bm₋₁·10mˉ¹+…+b₁·10+b₀,то число Х<У,якщо виконано одна із умов:1)n›m,3424›3412)n=m,аn›bm, 5342›21233)n=m,аn=bm,…,аk=bk,

4321₅›4210₅.

28007=2*104+8*103+7

 

5 . Додавання багатоцифрових чисел.

342+456=

1) Запис числа в десятковій системі числення:

(3*102+4*10+2) + (4*102+5*10+6)=

2) Сполучний закон додавання:

= 3*102+4*10+2+4*102+5*10+6=

3) Переставний закон і сполучний закон:

= (3*102 +4*102)+( 4*10+5*10)+2+6=

4) Розподільний закон множення відносно додавання:

= (3+4)*102+(4+5)*10+8=

5) Таблиці додавання:

=7*102+9*10+8=

6) Десятковий запис числа:

= 798

6. відніманнябагатоцифрових чисел.

867 – 354 =

Десятковийзапис числа

= (8 *102 + 6 * 10 + 7) - (3 * 102 + 5 * 10 + 4) =

Відніманнясумивід числа

= (8 *102 + 6 * 10 +7) - 3 * 102 - 5 * 10 – 4 =

Віднімання числа відсуми

=( 8 *102 - 3 * 102 ) + (6 * 10 -5 * 10 ) + (7 - 4)=

Розподільний закон множеннявідноснододавання

(8 - 3) * 102 + (6 - 5) * 10 + 3 =

Таблицявіднімання

5 * 102 + 1 *10 + 3 = 513

 

 

7. множеннябагатоцифрових чисел

123 * 3 =

Запис числа вдесятковійсистемічислення

= (1 * 102 + 2 * 10 +3) * 3 =

Розподільний закон множеннявідноснододавання

= (1 * 102)* 3 + (2* 10)*3 +3*3 =

Переставний і сполучний закон множення

= (1*3)* 102 + (2*3)*10 +9 =

Табличнемноження

3*102 + 6*10 + 9 = 369

 

8. Ділення багатоцифрових чисел

642: 2 =

Запис числа вдесятковійсистемічислення

= =

Розподільний закон діленнявідноснододавання

= =

Ділення добутку на число

=

Таблиця ділення

 

9. Позиційні системи числення. Алгоритм переходу х основою р.

Система числення, у якій значення цифри залежить не тільки від її вигляду, а й від того, яке місце вона займає в зображенні (запису) числа називають позиційною.Переваги позиційної системи: наявність нуля; використання скінченної кількості знаків для запису і читання чисел; можливість виконання арифметичних дій. Приклади позиційної системи: десяткова, двійкова(0 = 0(2),1 = 1(2), 2 =10(2), 3 = 11(2); трійкова (3 = 10(3), 4 = 11(3). 5 = 12(3), 6 = 20(3)), четвіркова і інші. Запис чисел, відмінних від десяткової в системі р. Записом натурального числа х в системі числення з основою р називають його представлення у вигляді . (наприклад ).

 

Теорема про подільність суми двох цілих невід’ємних чисел.

Теорема. Якщо кожний доданок ділиться на натуральне числоn, то їх сума ділиться на це число.

Доведення.

Нехай числа а і b дiляться на n. Якщо а: n, то iснує таке число q, що а = n *q.З того, що b : b слідує , що iснує таке ціле невiд'емне число р, що b = n*р. Знайдемо сумУ чисел: а+ b=n * q + n * p= n * (q+p)= n *t, дet=q+р-цiленевiд'емне число. Зрiвності а + b=n * tвипливае, щочисло а + bдiлиться наn. Теорему можна довести i для будь-якоїкiлькостiдоданкiв.

 

14.Теорема про подільність різних двох цілих невідємних чисел. Якщо числа а і b діляться на n і а більше рівне b ,то їх різниця ділиться на це число.НАСЛІДОК:якщо в сумі хоч один із додатків не ділиться на число m,то й уся сумма не ділиться на це число.ДОВЕДЕННЯ: Нехай S = + + +… +с і відомо що, , …., ⁞ m,але с ⁞ m. Припустимо що S ⁞ mза припущенням ,( + + +…+ )⁞mза теоремою про подільність суми на число,бо …, ⁞ m, то c ⁞ m, що суперечить умові. Отже припущення неправильне ,тобто S ⁞ m.

15.Теорема про подільність добутку цілих невідємних чисел на число. Якщо один із множників ділиться на натуральне число n,то й весь добуток ділиться на це число.ДОВЕДЕННЯ:Нехай один із невідємних множників ,наприклад а ,ділиться на натуральне число n . Якщо а : n ,то існує таке ціле невідємне число q, що а = n ∙ q. Дмножимо обидві частини рівності b : a ∙ b = (n ∙ q) ∙ b,звідки a ∙ b = n ∙ (q ∙ b),але q ∙ b – ціле невідємне число ,отже ,a ∙ b ⁞ n.

16. Ознака подільності на 2 в дес. с-мі числення.

НСД натуральних чисел,алгоритм його знаходження.

1.Подати кожне число в канонічному вигляді.

2.Утворити добуток усіх спільних простих множників даних чисел,беручи їх з найменшим показником степеня.

3.Знайти значення цього добутку.

Наприклад:175 і 245.НСД(175;245)=5·7=35

175 5 245 5 175=5²·7

35 5 49 7 245=5·7²

7 7 7 7

1 1

НСК, алгоритм його знаходження

Спільним кратним натур. чисел.а і bназ. будь-яке натур. число,яке кратне кожному з даних чисел.НСК натур. чисел. а і bназ. найменше з усіх спільних кратних даних чисел.НСК познач. К(а і b),так К(6,18)=18.

Алгоритм: 1. Подати кожне число в канонічному вигляді; 2. Утворити добуток усіх простих множників даних чисел; 3. Знайти значення цього добутку. (НСК (144; 180) = = 16 * 9 * 5 = 720)

Алгоритм Евкліда

Якщо а>b, a=b*q+r,де 0<r<b,то НСД(а;b) = НСД(b;r)

Перевіримо це для чисел 351 і 78

 

 

351 3 78 2

117 3 39 3

39 3 13 13

13 13 1

НСД (351; 78) = 3 * 13 = 39

351 78

312 4

НСД(78; 39) = 39

НСД(351;78)= НСД (78;39) = 39

Знаходження НСД (a; b) можна знаходж. НСД(b;r), де b<a, r<b

Таку заміну можна робити багато разів

Для натуральних чисел a і b при b<a: якщо поділити a на b з остачею , потім поділити b на одержану остачу , a потім поділити першу остачу на другу остачу ф т.д., то остання, відмінна від нуля остача і є НСД

чисел a і b.

27. Ознаки подільності на складені числа

Ознака подільності на 6. Для того, щоб число х ділилося на 6, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 2 і на 3. Доведення: Нехай число х:6. Число 6:2, тоді за властивістю транзитивності число х:2. З того, що число 6:3, виявляється, що х:3. Отже, для того, щоб число х:6, необхідно і достатньо щоб воно ділилося на 2 і на 3. Доведено обернене твердження, тобто достатню умову теореми. Якщо число х ділиться на2 і 3, а будь-яке кратне ділиться на найменше спільне кратне цих чисел, тобто х:К(2;3). Оскільки Д(2;3) = 1(числа 2 і 3 - взаємнопрості). А за властивістю К (a; b) = , то К(2;3) = , то К(2;3) = 2*3 = 6. Отже число х:6.

Ознака подільності на 12: для того, щоб число х:12, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 3 і 4

Ознака подільності на 15:для того, щоб число х:52, необхідно і достатньо, щоб воно ділилося на 3 і 5.

 

Приклад1.

Візьмемо відрізок . Щоб знайти його довжину, виберемо одиницю довжини . При вимірюванні виявилось, що довжина відрізка більша, ніж , але менше ніж , тобто . Томі її не можна виразити натуральним числом(при одиниці довжини ).

Розіб’ємо відрізок на 4 рівні частини, кожна з яких рівна , тоді =13 =13 = . Символ - називається дробом.

У загальному вигляді поняття дробу визначають так:

Нехай дано відрізок і одиничний відрізок , причому відрізок є сумою відрізків, рівних . Якщо відрізок складається з відрізків, рівних , то його довжина може бути представлена у вигляді . Символ називається дробом, де - натуральні числа. Читають цей символ «ем енних»! - чисельник, - знаменник. – показує, на скільки рівних частин розділено одиничний відрізок , а - показує, скільки взято таких частин. При вимірюванні відрізка у прикладі 1 використовували відрізок - четверту частину відрізка , одержали .

Для вимірювання відрізка можна взяти восьму частину відрізка , тоді , але можна взяти і шістнадцяту частину відрізка , тоді і так далі.

Дроби , , - виражають довжину відрізка .

Означення. Дроби, що виражають довжину одного і того ж відрізка при одиниці довжини називаються рівними дробами.

Отже, = .

Додатне раціональне число – це множина рівних дробів, а кожний дріб, що належить цій множині, є записом (представленням) цього числа.

Наприклад: множина є деяке раціональне число, а дроби і т. д. –це різні записи цього числа.

Серед всіх записів деякого додатного раціонального числа виділяють нескоротний дріб, в якому знаменник і чисельник взаємно-прості числа(їх найбільший спільний дільник – 1).

Для будь-якого додатного раціонального числа існує один і тільки один нескоротний дріб, що є записом цього числа.

Дроби розрізняють:

правильні - (

неправильні - (

мішані - (ціла частина і дробова)

Необхідність виразити точно довжину відрізка єдиним числом привела до появи додатних раціональних чисел.

- множина додатних раціональних чисел.

- це об’єднання множини натуральних чисел ( ) і множини додатних дробових чисел.

. Кожне натуральне число можна записати у вигляді дробу:

1= , 7= .

Властивості множини :

1)нескінченість: немає найменшого і найбільшого додатного раціонального числа;

2)щільність (між будь-якими двома різними додатними раціональними числами є нескінчена кількість чисел цієї множини).

3)упорядкованість, бо на множині можна ввести відношення «менше», яке транзитивне (якщо то , і антисиметричне (якщо , то , тобто є відношення порядку.

Доведення.

Необхідність.

Якщо , то .

Дано: дроби і ,

Довести: .

За умовою , розділимо обидві частини рівності на число , одержимо правильну рівність: .

Але ( скоротили на ), а (скоротили на ;за основною властивістю дробу).

За доведенням , тоді .

Отже, якщо , то .

Необхідність доведено.

Достатність:

Якщо дроби і , - рівні, то .

Дано: = .

Довести: . .

За умовою = .

Оскільки ( за основою властивістю дробів),а ( за основою властивістю дробів), тоді

Якщо дроби рівні, їх знаменники рівні, тоді і знаменники рівні, тобто .

Отже, якщо = . , то .

Достатність доведено.

Порівняння дробів Якщо і , то , тоді і тільки тоді, коли . Наприклад: , , , бо 11·8=88; 13·7=91, звідси 11·8<13·7.

2) Якщо , , то тоді і тільки тоді, коли (знаменники однакові, то порівнюють чисельники).

Наприклад: , бо 4 7.

3) Якщо , , то тоді і тільки тоді, коли (чисельники однакові, то порівнюють знаменники).

Наприклад: , бо 5 3.

Теорема.

Сума додатних раціональних чисел завжди існує і єдина.

Віднімання дробів

Означення.

Різницею додатних раціональних чисел називають таке додатне раціональне числоc, щоa=b +c.

a –зменшуване, b -від’ємник, операція знаходження різниці – віднімання.

Якщо, , то .

 

За означенням різниці:

b+c=.

 

Отже,a = b+c.

Віднімання дробів.

Правило.

Наприклад:

Теорема.

Нехайa, bєQ+, різницяa - bіснує тоді і тільки тоді, колиa>b. Якщо різниця існує, то вона єдина.

Ділення дробів

Означення.Часткою двох додатних раціональних чиселaibназивається таке числоc, щоa = bc.

Якщо , , то , бо

 

Отже, b · c = a.

Правило: .

 

Наприклад :

 

a :b = c, a-ділене,b - дільник, c- частка.

Операція знаходження частки називається діленням.

Теорема.

Для будь-яких додатних раціональних чиселaibіснує часткаa : bі при тому єдина.

 

I крок.

Нехай дано одиничний відрізок і відрізок .

Відрізок складається з рівних відрізків довжиною і відрізка , який коротший відрізка , тобто , Тоді

де і - наближені значення довжини відрізка при одиниці довжини .

- найближче значення довжини відрізка з недостачею

– найближче значення довжини відрізка з надлишком.

II крок.

Для одержання відповіді на питання щодо довжини відрізка з більшою точністю, використаємо відрізка і відкладемо відрізок у відрізку

При цьому можливі два випадки:

1) відрізок відкладається у відрізку , точну кількість разів , тоді .

n,n1 - скінченний десятковий дріб; наприклад:

2) відрізок , не відкладається у відрізку ,точну кількість разів, тобто (відрізок складається з відрізків довжиною і відрізка коротшого .

, тоді , де і - наближені значення довжини відрізка з недостачею і з надлишком.

Процес вимірювання можна продовжувати, беручи новий одиничний відрізок .

На практиці цей процес вимірювання довжини відрізка може на деякому кроці закінчитись.

В цій ситуації довжина відрізка може виражатись скінченним десятковим дробом.

 

Висновок.

При вимірюванні довжини відрізків можливі два випадки:

1)На деякому кількісному кроці процес вимірювання закінчиться. Тоді довжина відрізка буде виражатись скінченним десятковим дробом

2)Процес вимірювання довжини відрізка може бути нескінченним. Довжина відрізка буде виражатись символом (числом) який називається нескінченним десятковим дробом.

Нескінченний десятковий дріб може бути періодичний (5,7(23)) і неперіодичний (3,214357…).

Будь-який нескінченний десятковий періодичний дріб – це деяке додатне раціональне число.

Але ж довжину відрізка можна виразити і нескінченним десятковим дробом, тобто існують числа, які не належать до множини додатних раціональних чисел ( . Тому і виникає необхідність розширити множину , доповниnи її іншими додатними числами, які не є раціональними. Такі числа називаються ірраціональними.

Означення.

Величини та їх вимірювання.

Час, його властивості.

Час - одна ізскладних для сприйманняучнями величин, з якими доводиться мати справу у повсякденномужитті. Всіподії в життівідбуваються в часі. Звимірюванням часу пов'язанабільшістьхімічних, фізичних і технічнихпроцесів.

Час - величина неперервна і сприйняттярізнихпроміжків часу утруднюєтьсяйогоплинністю. Зміна дня і ночі, змінапір року, тривалість уроку і перерви, навчальноїчверті, канікул - все цедаєучнямуявленнячасу.У 2 класіучніознайомлюються з такими одиницями часу, як місяць, рік, доба, у З класі - година, хвилина, секунда, у 4 класі - століття і тисячоліття. Учитель повинен бути добре ознайомлений з історією календаря і годинника, щобцікаво, захоплюючерозкритиучням тему про час і одиницівимірюваннячасу.Уповсякденномужитті час - це те, щовідокремлює одну подіювідіншої. У математиці і фізиці час розглядається як скалярнавеличина.Проміжки часу можнавіднімати, множити і ділити на додатнедійсне число.

Порівняння чисел в десятковій системі числення.

Записом натурального числа в системі числення з основою раз. Подання його у вигляді Х=аn·рⁿ+аn₋₁·рⁿˉ¹+…+а₁·р+а₀,деаn,аn₋₁…а₀набирають значення0,1,4…р-1 і аn≠0.Наприулад:1101₂=1·2³+1·2²+0·2¹+1·2.Якщо числа Х і У-натуральні числа,запис яких виконана в десятковій системі числення:Х=аn ·10ⁿ+аn₋₁·10ⁿˉ¹ +…+а₁·10+а₀,У=bm·10m+ bm₋₁·10mˉ¹+…+b₁·10+b₀,то число Х<У,якщо виконано одна із умов:1)n›m,3424›3412)n=m,аn›bm, 5342›21233)n=m,аn=bm,…,аk=bk,

4321₅›4210₅.

28007=2*104+8*103+7

 

5 . Додавання багатоцифрових чисел.

342+456=

1) Запис числа в десятковій системі числення:

(3*102+4*10+2) + (4*102+5*10+6)=

2) Сполучний закон додавання:

= 3*102+4*10+2+4*102+5*10+6=

3) Переставний закон і сполучний закон:

= (3*102 +4*102)+( 4*10+5*10)+2+6=

4) Розподільний закон множення відносно додавання:

= (3+4)*102+(4+5)*10+8=

5) Таблиці додавання:

=7*102+9*10+8=

6) Десятковий запис числа:

= 798

6. відніманнябагатоцифрових чисел.

867 – 354 =

Десятковийзапис числа

= (8 *102 + 6 * 10 + 7) - (3 * 102 + 5 * 10 + 4) =

Відніманнясумивід числа

= (8 *102 + 6 * 10 +7) - 3 * 102 - 5 * 10 – 4 =

Віднімання числа відсуми

=( 8 *102 - 3 * 102 ) + (6 * 10 -5 * 10 ) + (7 - 4)=

Розподільний закон множеннявідноснододавання

(8 - 3) * 102 + (6 - 5) * 10 + 3 =

Таблицявіднімання

5 * 102 + 1 *10 + 3 = 513

 

 

7. множеннябагатоцифрових чисел

123 * 3 =

Запис числа вдесятковійсистемічислення

= (1 * 102 + 2 * 10 +3) * 3 =

Розподільний закон множеннявідноснододавання

= (1 * 102)* 3 + (2* 10)*3 +3*3 =

Переставний і сполучний закон множення

= (1*3)* 102 + (2*3)*10 +9 =

Табличнемноження

3*102 + 6*10 + 9 = 369

 

8. Ділення багатоцифрових чисел

642: 2 =

Запис числа вдесятковійсистемічислення

= =

Розподільний закон діленнявідноснододавання

= =

Ділення добутку на число

=

Таблиця ділення

 

9. Позиційні системи числення. Алгоритм переходу х основою р.

Система числення, у якій значення цифри залежить не тільки від її вигляду, а й від того, яке місце вона займає в зображенні (запису) числа називають позиційною.Переваги позиційної системи: наявність нуля; використання скінченної кількості знаків для запису і читання чисел; можливість виконання арифметичних дій. Приклади позиційної системи: десяткова, двійкова(0 = 0(2),1 = 1(2), 2 =10(2), 3 = 11(2); трійкова (3 = 10(3), 4 = 11(3). 5 = 12(3), 6 = 20(3)), четвіркова і інші. Запис чисел, відмінних від десяткової в системі р. Записом натурального числа х в системі числення з основою р називають його представлення у вигляді . (наприклад ).

 

Последнее изменение этой страницы: 2016-07-22

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...