Дії над числами в різних позиційних системах числення ,відміних від десяткової.

Перш завсе для складання і множення однозначних чисел складають таблиці .Вони використовуються ,як при відніманні і ділення однозначних чисел ,так і при діях з багатозначними числами.Наприклад :таблиця складання однозначних чисел в трійковій системи числення.Однозначні числа в ній – це 0,1,2.Число 3изаписується .Число має вигляд =1*3+= .Аналогічним образом находим запис і других чисел в трїйковій системі.Таблицю додавання удобно уявити в такому виді ,де на перетині рядків стоїть сума.

Використовуючи цю таблиці,можна складати любі числа в трійковій системі .Наприклад + = ,ви виконую додавання «стовпчиком».Цю таблицю можна використати при використання віднімання в трійковій системи - = .Таблиця множення однозначних чисел в трійковій системі

На основі цієї таблиці і таблиці додавання виконується множення багатозначних чисел.122*22.Зпираючись на цю таблицю,виконуеться ділення числення,наприклад 10011:12=122.

11. Порівняння чисел, записаних в різних позиційних системах числення

Записом натурального числа в системі числення з основою раз. Подання його у вигляді Х=аn·рⁿ+аn₋₁·рⁿˉ¹+…+а₁·р+а₀,деаn, аn₋₁…а₀набирають значення0,1,4…р-1 і аn≠ 0.Наприулад:1101₂=1·2³+1·2²+0·2¹+1·2.Якщо числа Х і У-натуральні числа,запис яких виконана в десятковій системі числення:

Х=аn ·10ⁿ+аn₋₁·10ⁿˉ¹ +…+а₁·10+а₀,

У=bm·10m+ bm₋₁·10mˉ¹+…+b₁·10+b₀,то число Х<У,якщо виконано одна із умов:

1)n›m,3424›341

2)n=m,аn›bm, 5342›2123

3)n=m,аn=bm,…,аk=bk, 4321₅›4210₅.

12.Поняття подільності, її властивості

Відношення подільності має ряд властивостей:

1)рефлективність;

2)антисеметричність;

3)транзитивність.

Теорема.Відношеня подільності рефлексивне(будь яке натуральне число ділиться саме на себе).

Доведення

Для будь якого числа справджується рівність а = а *1. Це означає, що існує таке число q=1, що а = а*1, звідки за означенням подільності випливає, що а ⁞а.

З теореми випливає, що будь яке натуральне число ділиться на 1.

Теорема. Відношення подільності антисиметричне.

Доведення

Припустимо, що b⁞ a. Для того щоб b ділилося на а, необхідно, щоб b≥ a. За умовою а⁞b, тобто, a ≥b. Нерівності a ≥b і b≥ a істинні тільки тоді, коли a =b. Але це суперечить умові. Припущення нге правильне, тобто відношення подільності антисиметричне.

Теорема. Відношення подільності транзитивне.

Доведення

Оскільки а⁞b, то існує таке ціле невід’ємне число q, що а = b * q; b ⁞ с, то існує таке ціле невід’ємне число t, що b = с * t. Підставимо у першу нерівність замість b добуток с t: а = (с * t) * q = с* (t * q)= с*р. Оскільки р ціле невід’ємне число, то рівність а= с* р означає, а⁞с.

Теорема про подільність суми двох цілих невід’ємних чисел.

Теорема. Якщо кожний доданок ділиться на натуральне числоn, то їх сума ділиться на це число.

Доведення.

Нехай числа а і b дiляться на n. Якщо а: n, то iснує таке число q, що а = n *q.З того, що b : b слідує , що iснує таке ціле невiд'емне число р, що b = n*р. Знайдемо сумУ чисел: а+ b=n * q + n * p= n * (q+p)= n *t, дet=q+р-цiленевiд'емне число. Зрiвності а + b=n * tвипливае, щочисло а + bдiлиться наn. Теорему можна довести i для будь-якоїкiлькостiдоданкiв.

14.Теорема про подільність різних двох цілих невідємних чисел. Якщо числа а і b діляться на n і а більше рівне b ,то їх різниця ділиться на це число.НАСЛІДОК:якщо в сумі хоч один із додатків не ділиться на число m,то й уся сумма не ділиться на це число.ДОВЕДЕННЯ: Нехай S = + + +… +с і відомо що, ⁞ , ⁞ …., ⁞ m,але с ⁞ m. Припустимо що S ⁞ mза припущенням ,( + + +…+ )⁞mза теоремою про подільність суми на число,бо ⁞ ⁞ …, ⁞ m, то c ⁞ m, що суперечить умові. Отже припущення неправильне ,тобто S ⁞ m.

15.Теорема про подільність добутку цілих невідємних чисел на число. Якщо один із множників ділиться на натуральне число n,то й весь добуток ділиться на це число.ДОВЕДЕННЯ:Нехай один із невідємних множників ,наприклад а ,ділиться на натуральне число n . Якщо а : n ,то існує таке ціле невідємне число q, що а = n ∙ q. Дмножимо обидві частини рівності b : a ∙ b = (n ∙ q) ∙ b,звідки a ∙ b = n ∙ (q ∙ b),але q ∙ b – ціле невідємне число ,отже ,a ∙ b ⁞ n.

16. Ознака подільності на 2 в дес. с-мі числення.