Категории: ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Некоторые операция над матрицами
Матрицы, описанные в предыдущем параграфе, различаются по числу элементов, числу строк и числу столбцов. Так, в матрице У один столбец, пять строк и пять элементов, а н матрице X тоже пять строк, но два столбца и десять элементов. Если чйсло строк и число столбцов различны, то матрицы называются прямоугольными, а при равном числе строк и столбцов — квадратными. Все матрицы ив этого примера — Вернемся к нашему примеру. На основании исходных данных можно записать систему из пяти уравнений по одному уравнению для каждого опыта: yi—b<fc0Jrb1xu (г=1, 2, . . ., 5) или в развернутой форме: 0 = Vl + V(-2); 2=vi+V(0); 3 = 60.1 + Ь1.(+1); /i = Vl+bi-(+2). На матричном языке эта система уравнений выглядит следующим образом:
Чтобы эти две записи стали эквивалентными, необходимо ввести определенные правила перемножения матриц. Будем в произведении различать матрицу, стоящую слева, и матрицу, стоящую справа. Перемножить две матрицы Ьто значит получить матрицу произведений, элементы которой находятся по следующим правилам. Элементы первой строки матрицы, стоящей слева, умножаются на соответствующие элементы матрицы, стоящей еправа, и полученные произведения складываются. В нашем случае имеем: (+1)&о+(—2) Для получения элемента, стоящего на пересечении первого столбца и второй строки, аналогичная операция проделывается со второй строкой матрицы, стоящей слева, и тем же самым первым столбцом матрицы, стоящей справа, т. е. (+1) &о+(—1) bv Продолжая таким образом до последней строки матрицы, стоящей слева, получаем все элементы первого столбца матрицы произведений. Эта процедура повторяется столько раз, сколько вектор-столбцов содержит матрица, стоящая справа. В нашем случае эта матрица имеет только один столбец.. Из определения видно, что матрица произведений имеет столько столбцов, сколько матрица, стоящая справа, и столько строк, сколько матрица, стоящая слева. В рассматриваемом npmtepe матрица- Произведение имеет один столбец и пять строк, чю соответствует размерности матрицы У. И тогда матрица-произведение имеет вид -1 &0 + М-2)" 1 Ь0-|-&х(—1) 1 ^ + 6,(0) 1 &0 + М+1) .1 bQ + (+2)_ Сопоставление матрицы-произведения с системой уравнений убеждает нас в тождественности матричной и нематричной форм записей. Вектор Y, оказывается, и есть матрица произведений в данном случае. Элементы матрицы-произведения называются скалярными произведениями вектор-строки матрицы, стоящей слева, и соответствующего вектор-столбца матрицы, стоящей справа. В правилах перемножения матриц существуют особенности, не имеющие аналога в числах. Так, небезразлично, л каком порядке записаны матрицы в произведении. Вы, наверное, заметили, что левая и правая матрицы неравноправны. Если вы захотите умножить матрицу В на матрицу X (ВХ), то убедитесь, что этого сделать невозможно, ибо длины векторов, входящих в скалярное произведение, должны быть согласованы. Такимобразом, для двух произвольных матриц произведение существует, если число столбцов матрицы, стоящей слева, равно числу строк матрицы, стоящей справа. Ясно, что для двух квадратных матриц одинакового размера существуют оба произведения (справа и слева),однако они могут быть различными. Матрицы, произведение которых не зависит от порядка сомножителей, называются коммутирующими. В общем же случае для произведения матриц коммутативный закон не выполняется. Перейдем теперь к системе нормальных уравнений МЯК, которая в нашем случае выглядит следующим образом (см. стр. 144): 5&0 + 0^ = 10; 060 +10^=10.
Можно показать, что в матричном виде она запишется следующим образом: XrXB=XyY. Здесь Хг обозначает матрицу, транспонированную по отношению к матрице X. Протранснонировать матрицу — это значит столбцы исходной матрицы сделать строками транспонированной матрицы, сохранив их последовательность. Так, в нашем случае транспонированная матрица '+1 +i +i +i -f-1 —2 —1 0 +1 +2. Для получения системы нормальных уравнений нам пришлось умножить обе части исходной системы уравнений слева на Хг. Давайте выполним эти операции
+-1 4-1 4-1 +1 +1 —2 —1 0 +1 +2
-1 -И +1 +1 +1 2 _i о 4-1 +2 1 +1 4-1 +1 +1
_2 —1 0+1+2 -И }-1 + 1 + '
+ i +2 —2—1 0+1+2 +4 -f-1 0+1 +4
Теперь можно записать систему уравнении:
Читателю представляется возможность убедиться в том, что полученная матричная запись в точности соответствует исходной системе нормальных; уравнений. Матрица Х7Х называется матрицей системы нормальных уравнений. Она обладает рядом важных для нас свойств. Прежде всего заметим, что в этой матрице два элемента, расположенных симметрично относительно диагонали, идущей с левого верхнего угла в правый нижний (так называемой главной диагонали), равны между собой. В нашем случае это нули. Такое свойство характерно для матриц систем нормальных уравнений МНК, так как векторы, входящие в скалярные произведения, коммутативны. Матрица, элементы которой симметричны относительно главной диагонали, называется симметричной. Если все элементы вне главной диагонали раЕиы нулю, то такая матрица называется диагональной. В дальнейшем нам понадобится еще одна разновидность диагональных матриц. Диагональная матрица, все элементы главной диагонали которой являются единицами, называется единичной матрицей. Едииичная матрица играет в алгебре матриц такую же роль, какую единица — в алгебре чисел. Решить систему нормальных уравнений это значит записать в явном виде элементы вектора В (60 и ЪЕсли бы мы имели дело с числами, то для этого и>жно было бы поделить обе части на коэффициент при неизвестном и получить ответ. Но для матриц вместо деления (которое не определено) используется специальная опе- 11 Заказ Я. 588 рация умножения на обратную матрицу. Задача состоит в том, чтобы превратить матрицу, стоящую перед матрицей неизвестных коэффициентов, в единичную. Тогда умножение вектора В на единичную матрицу его не изменит, а чтобы равенство не нарушилось, и правую часть придется домножить на соответствующую матрицу. Если условиться обозначать обратную матрицу степенью —1, то предыдущие рассуждения приведут к следующей записи: (Х^Х)-1 (XTX)B=(XrX)-1XrY. Здесь система нормальных уравнений МНК умножена слева на матрицу, обратную к матрице системы нормальных уравнений. Произведение обратной матрицы на прямую справа равно единичной матрице, которую условимся обозначать Е: Е=(ХГХ)~1 (Х3Х). В этом равенстве участвуют три матрицы. Матрица системы нормальных уравнений Х'Х, которую называют прямой матрицей, (Х^Х)-1,— обратная матрица. Перепишем это равенство для нашей задачи
Неизвестные элементы обратной матрицы обозначены а{ , где г=1, 2 соответствует строке, а /=1, 2 — столбцу. Найдем эти элементы
1 = ап • 5 а12 • 0; 0 = аи • 0 + а12 • 10; 0 = а21 • 5 а22 • 0; 1 = а21 • 0 а22 • 10.
Отсюда следует, что ац=1/5, а12=0, а21=0, а. Запишем обратную матрицу 'V. о о Vio.
Лишь благодаря простоте примера можно было воспользоваться столь элементарной процедурой. В общем случае приходится прибегать к более сложным алгоритмам и вычислительной технике [5, 6]. Отметим некоторые существенные свойства обратной матрицы. Произведение прямой и обратной матрицы коммутативно. Если прямую матрицу обозначить А, то АА_1 = А~1А=Е. Матрица, обратная к симметричной, тоже будет симметрична.,. На главной диагонали матрицы, обратной к диагональной, будут стоять числа, обратные соответствующим числам, стоящим на диагонали прямой матрицы. Зная это свойство, мы могли не проделывать предыдущие вычисления, а сразу записать обратную матрицу для нашего примера. Продолжим вычисление для примера. Подставим известные матрицы в уравнение для вектора коэффициентов B=(XrX)~1XrY. Имеем
Две матрицы равны, когда равны их соответствующие элементы, поэтому Ь0=2, 1. Таким образом, мы получили результат, совпадающий с полученным ранее без использования матриц. Введем еще одно важное понятие: каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие некоторое число, называемое определителем этой матрицы. Определитель представляет собой алгебраическую сумму всех возможных произведений, в каждое из которых входит по одному элементу от каждой строки и от каждого столбца. Причем знак произведения (+ или —) зависит от положения элементов данного произведения матрицы. Посчитаем определитель для матрицы системы нормальных уравнений. Здесь возможны два" произведения, каждое из которых содержит два сомножителя 5-10=50 и 0-0=0. Определитель принято обозначать 0 10 =[7]0-° = 5° или
(det — определитель от латинского determinant). Вычислим определитель обратной матрицы
V. оо ю Можно заметить, что между определителями прямой и обратной матрицы существует в данном случае простое соотношение: они являются взаимнообратными числами. Такое соотношение выполняется и в общем случае. Определитель может быть любым действительным числом, как положительным, так и отрицательным. Он может оказаться и равным нулю. С последним случаем связаны некоторые особенности свойств матрицы. Матрица, определитель которой равен нулю, не имеет обратной. Такую матрицу называют особенной, вырожденной или сингулярной. Если же определитель матрицы не равен нулю, то матрица называется неособенной, невырожденной или несингулярной. Например, у следующей матрицы определитель равен нулю и она является вырожденной —1 +2 Значит, решение системы нормальных уравнений возможно только тогда, когда матрица невырождена, т. е. det (Х'Х^О. Это предполагалось и имело место в нашем примере. det |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-07-23 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда... |