Числові характеристики випадкової величини

Нехай n – кількість вимірів; х1,х2,...,хn – окремі результати вимірів величини Х; Р(х) – ймовірність появи випадкової величини х.
Мала вибірка (n£30)	Велика вибірка або генеральна сукупність (n>30 або n→¥)
1. ‑ середнє арифметичне значення результатів вимірювання випадкової величини х	1. М(х) – математичне очікування або математичне сподівання випадкової величини х
де хі – будь-який окремий результат вимірювання, n – кількість вимірів	де Р(хі) – ймовірність випадкової величини хі (Р(хі) для спрощення будемо позначати Рі)
Одиниці вимірювання та М(х) подібні до одиниць вимірювання випадкової величини х. Зміст даної характеристики: найбільш вірогідне (ймовірне) значення досліджуваної величини. При n→¥ →М(х) (див. [1], [2], [3])

2. Дв –(вибіркова)дисперсія	2. Д – (генеральна) дисперсія
Одиниця вимірювання дисперсії дорівнює квадрату одиниці вимірювання випадкової величини. Зміст дисперсії:
Міра (оцінка) мінливості (розсіяння, розкиду) окремих значень хі випад-кової величини відносно (навколо) середнього арифметичного .	Міра розсіяння окремих значень хі випадкової величини відносно її математичного очікування М(х).
При n→¥ Дв→Д.
3. S або – (вибіркове) середнє квадратичне відхиленняокремих результатів (або вибіркове стандартне відхилення)	3. s - (генеральне) середнє квадратичне відхиленняокремих результатів (або генеральне стандартне відхилення)
Одиниця вимірювання середнього квадратичного відхилення аналогічна до одиниці вимірювання досліджуваної випадкової величини. Зміст середнього квадратичного відхилення такий же, як і у дисперсії. При n→¥ S→s.
4. ‑ середнє квадратичне відхилення середніх арифметичних вибірки	4. m – середнє квадратичне відхилення середніх арифметичних (математичних очікувань) генеральної сукупності
Одиниці вимірювання та m подібні до одиниць вимірювання випадкової величини х. Зміст:
Оцінка розкиду середніх арифметичних вибірок навколо середнього арифметичного всієї вибірки.	Міра розсіяння математичних очікувань Мі(х) вибірок навколо математичного очікування М(х) генеральної сукупності.
При n→¥ → m.

На даний час отримано значний об’єм цифрової інформації, який використовується і медпрацівниками на практиці, і студентами медичних вузів у навчанні. Найпростіші приклади – значення температури тіла та тиску в нормі; вага, зріст дітей у певному віці і т.д.

Прикладів можна навести досить багато. Але варто звернути увагу на той факт, що інформація подається не однією цифрою, а має варіації. Тобто кожна випадкова величина, притаманна певній події, буде потрапляти в числовий інтервал. Наприклад, на елементарне запитання “яка нормальна температура здорової людини?” відповідь у більшості випадків звучить “36,6^оС”. Однак 36,5^оС, 36,7^оС, … також відносяться до значень температури тіла людини в нормі. Виходячи з даного прикладу, цифрове значення 36,6^оС можна вважати середнім значенням інтервалу “нормальної температури”.

Будь-який інтервал має нижню та верхню межу, і ці значення в медичній практиці досить важливі у використанні. Наприклад, середній час дії місцевої анестезії при підшкірному введенні певної дози новокаїна може дорівнювати 45хв. Хірургу під час операції потрібно врахувати коливання тривалості анестезії (час може бути менше, а може бути більше 45хв.).

Числові характеристики допомагають зробити оцінку досліджуваної величини, встановити інтервал розкиду навколо середнього значення.

Розглянемо приклад, щоб краще зрозуміти зміст кожної величини.

Досліджували вік студентів ІІ курсу медичного університету. Середнє значення отримали 19 років, середнє квадратичне відхилення – 3 роки.

Тобто в даному медичному вузі найбільша ймовірність зустріти студента ІІ курсу віком 19 років (середнє значення досліджуваної величини). З попередніх прикладів зрозуміло, що випадкові величини можуть бути менше або більше середнього значення. Щоб оцінити на скільки одиниць йде розкид величин відносно середнього значення, використовують дисперсію або середнє квадратичне відхилення (для зручності від дисперсії переходять до середнього квадратичного відхилення, оскільки одиниці вимірювання останнього співпадають з одиницями вимірювання випадкової величини). Тобто дослідник, знаючи середнє

квадратичне відхилення, визначає інтервал розсіювання випадкової величини. В даному випадку, крім студентів 19 років, можуть бути студенти 16, 17, 18, 20, 21, 22 років – вік, який є найхарактернішим відносно середнього значення.

Наявність студентів іншого віку збільшує або зменшує середнє значення випадкової величини і змінює середнє квадратичне відхилення. Наприклад, в університеті можуть бути студенти ІІ курсу 24, 28, … років. Якщо, порівняно з іншими, ці величини зустрічаються рідко, то значного відхилення не спостерігається.

В досліді зафіксовано випадкові величини (вік), зроблено обробку даних і отримано результат, за яким можна характеризувати дану генеральну сукупність (студенти ІІ курсу медичного університету).

Якщо генеральна сукупність досить значних розмірів, то на практиці зручніше розбити її на вибірки (наприклад, факультети, групи) і обробити дані по кожній вибірці окремо. Середні значення кожної вибірки будуть наближатися до середнього значення генеральної сукупності. Таким чином, інтервал розкиду (М(х)-m; M(x)+m) зменшиться.

Наприклад, досліджуючи певну ознаку чи явище в регіоні, розбивають його на частини, збирають дані в окремих місцевостях і по кожній з них проводять обробку результатів. Потім роблять загальний висновок по досліджуваному питанню в даному регіоні.

Примітка. Для одного ряду випадкових величин можна розрахувати декілька середніх (середнє арифметичне (математичне очікування), середнє геометричне, середнє гармонічне, моду, медіану та ін.), і вони можуть відрізнятися одне від одного.

В практиці медичних досліджень в більшості випадків (але не завжди) використовують середнє арифметичне. Порівняно рідко і при спеціальних умовах застосовується середнє геометричне і середнє гармонічне (М_геом, М_гарм); майже зовсім не використовується мода (Мо) і дуже рідко медіана (Ме).

Додаток 4

Коротка інформація та таблиці

До теми № 1.2.

Обробка результатів великої вибірки (n>30).

1)

2)

3)

4)

5) а)

б) по таблиці значень функції Ф(t) знайти t;

6)

7) Х_шукане= М(х)±d з a.

Таблиця значень функції Ф(t)

До теми № 1.3.

Обробка результатів малої вибірки (n £ 30)

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) t_st – шукають по таблиці коефіцієнтів Стьюдента, маючи n та a;

6) або або ;

7) з a.

Таблиця коефіцієнтів Стьюдента t_st = f ( P, n )

До теми № 1.4.

Алгоритм оцінки вірогідності (надійності) різниці середніх арифметичних значень двох вибірок (n£30)

1) S₁ = ; S₂ = ;

2) d = ½ ½;

3) , якщо n₁ ¹ n₂;

, якщо n₁ = n₂;

4) n = n₁ + n₂ – 2;

5) Знаючи n, знайти за таблицею критерії Стьюдента t_st для трьох порогів вірогідності a₁, a₂, a₃: t_st = {t_0,95,…t_0,99,…t_0.999};

6) Оцінити вірогідність (надійність) знайденої вище різниці d, порівнявши критерії Стьюдента t_st та критерій вірогідності t_d:

- якщо t_0,95 £ t_d < t_0,99 , тоді досліджувана різниця d вірогідна з надійністю

a = 0,95;

- якщо t_0,99 £ t_d < t_0,999 , то різниця d вірогідна з надійністю a = 0,99;

- якщо t_d > t_0,999 , то різниця d вірогідна з надійністю a = 0,999;

- якщо t_d < t_0,95 (рівень надійності твердження про вірогідну зміну досліджуваного нами параметру менший 95% (Р< 0,95), тобто менший І-го порогу), то неможна робити якісь певні висновки про вплив (або не вплив) певного фактору на досліджуваний параметр.

Таблиця коефіцієнтів Стьюдента t_st = f (a, n)

a n	0,95	0,99	0,99	a n	0,95	0,99	0,999
	12,706	63,657	636,619		2,103	2,878	3,922
	4,303	9,925	31,598		2,093	2,861	3,883
	3,182	5,841	12,941		2,086	2,845	3,850
	2,776	4,604	8,610		2,080	2,831	3,819
	2,571	4,032	6,859		2,074	2,819	3,792
	2,447	3,707	5,959		2,069	2,807	3,767
	2,365	3,499	5,405		2,064	2,797	3,745
	2,306	3,355	5,041		2,060	2,787	3,725
	2,262	3,250	4,781		2,056	2,779	3,707
	2,228	3,169	4,587		2,052	2,771	3,690
	2,201	3,106	4,487		2,048	2,763	3,674
	2,179	3,055	4,318		2,045	2,756	3,659
	2,160	3,012	4,221		2,042	2,750	3,646
	2,145	2,977	4,140		2,021	2,704	3,551
	2,131	2,947	4,073		2,000	2,660	3,460
	2,120	2,921	4,015		1,980	2,617	3,374
	2,110	2,898	3,965	¥	1,960	2,576	3,291

n = n – 1 , де n – кількість дослідів.

До теми № 1.5.