Статическая модель межотраслевого баланса.

На важнейших соотношениях межотраслевого баланса основывается его экономико-математическая модель, разработанная В.Леонтьевым и получившая в экономической литературе название «метод затраты-выпуск» (input-output method). В современной экономической науке применяется целый класс моделей, основанных на применении метода «затраты-выпуск». Все они являются развитием базовой модели, на которой следует остановиться подробнее.

Целью построения модели МОБ является анализ перетока товаров между отраслями экономики, обеспечивающего такое функционирование производственного сектора, когда объем выпуска соответствует суммарному (т.е. производственному и конечному) спросу на товары.

Базовая модель межотраслевого баланса основывается на следующих предпосылках:

· рассматривается экономика, состоящая из "чистых" отраслей; «чистая отрасль» - отрасль, выпускающая только один вид продукта; каждый продукт производится только одной отраслью;

· все отрасли предполагаются взаимозависимыми в том смысле, что для производства своего продукта каждая из них использует результаты производства (продукты) других фирм и только их; иначе говоря, на данном уровне формализации применение отраслями невоспроизводимых производственных факторов не предусматривается;

· в каждой отрасли имеется единственная технология производства; не допускается замещение одного ресурса другим;

· взаимосвязь между выпуском продукции отраслей и затратами описывается линейными уравнениями; то есть – нормы производственных затрат не зависят от объема выпускаемой продукции;

· вектор спроса на товары считается заданным, т.е. в модели отсутствуют как таковые оптимизационные задачи потребителей;

· вектор выпуска товаров вычисляется, исходя из спроса, т.е. отсутствуют как таковые оптимизационные задачи фирм.

Эти допущения касаются, в основном, исходной модели. В действительности эти предположения, конечно, не выполняются. Даже на отдельном предприятии обычно выпускаются различные виды продукции, используются различные технологии, удельные затраты зависят от объема выпуска и в тех или иных пределах допускается замена одного сырья другим. Следовательно, эти предположения тем более неверны для отрасли. Тем не менее, как показала практика, модели, основанные на указанных выше предпосылках, вполне адекватны и применимы для проведения межотраслевых исследований.

В математической модели межотраслевого баланса используется предположение о том, что х_ij есть функция от объема производства продукции j-той отрасли: . В базовой модели МОБ используется предположение о пропорциональной зависимости между затратами и объемами производства, т.е. вводятся линейные однородные функции производственных затрат:

. (1.4)

Иными словами, предполагается, что для производства единицы продукции j-той отрасли требуется определённое количество затрат продукции i-той отрасли, равное a_ij. Коэффициент пропорциональности a_ij ≥ 0 называют коэффициентом прямых затрат продукции отрасли i на производство единицы продукции отрасли j. Величины a_ij рассчитываются следующим образом:

a_ij = x_ij / X_j , i, j = 1, 2,...,n.

Коэффициент прямых материальных затрат показывает, какое количество продукции i-той отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты, для производства единицы продукции j-той отрасли. В совокупности эти коэффициенты образуют квадратную матрицу, которая называется технологической матрицей (таблицей) межотраслевого баланса:

A = (a_ij), i, j = 1…n.

Коэффициенты прямых материальных затрат являются основными параметрами статической межотраслевой модели. Их значения могут быть получены двумя путями:

1) Статистически. Коэффициенты определяются на основе анализа отчётных балансов за прошлые годы. Их неизменность во времени определяется подходящим выбором отраслей.

2) Нормативно. Предполагается, что отрасль состоит из отдельных производств, для которых уже разработаны нормативы затрат. На их основе рассчитываются среднеотраслевые коэффициенты.

Рассмотрим некоторые свойства коэффициентов прямых материальных затрат. Среди них следует отметить следующие:

1. Неотрицательность, т.е. a_ij ≥ 0, i, j = 1…n. Это утверждение следует из неотрицательности величин x_ij и положительности валовых выпусков X_j.

2. Диагональные элементы матрицы А должны быть строго меньше
единицы: a_ii < 1. В противном случае производство в отдельных отраслях будет лишено всякого смысла, поскольку при a_ii ≥ 1 для собственного воспроизводства в отрасли затрачивается больше продукта, чем создается, а воспроизводство в масштабах всего хозяйства становится невозможным.

3. Для матриц межотраслевого баланса в стоимостном выражении обычно выполняются условия , j = 1…n. Иными словами - сумма элементов матрицы A по любому из столбцов меньше единицы.

С учётом формулы (1.4) систему уравнений вида 1.2, характеризующих межотраслевой баланс можно переписать в виде:

Х_i = (a_i1 x₁ + a_i2 x₂ + ... + a_in x_n) + Y_i , i = 1, 2,...,n

или

,i = 1…n(1.5)

Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых материальных затрат А, вектор-столбец валовой продукции X и вектор-столбец конечной продукции Y:

то система уравнений (1.5) в матричной форме примет вид:

X=AX+Y(1.6)

Данное уравнение, где A - постоянная технологическая матрица, и называется моделью межотраслевого баланса В.Леонтьева. Поскольку выражение AX можно интерпретировать как затраты производственной системы, то существует и другое название данной модели, широко используемое в зарубежной экономической науке – модель «затраты-выпуск».

С помощью этой модели можно выполнять три варианта расчетов:

1. Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (Х_i), можно определить объёмы конечной продукции каждой отрасли (Y_i):

Y= (E-A)X, (1.7)

где E обозначает единичную матрицу n-го порядка.

2. Задав величины конечной продукции всех отраслей (Y_i), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (X_i):

X=(E-A)^-1 Y, (1.8)

где (E-A )^-1 обозначает матрицу, обратную (E-A).

X=BY(1.9)

Обозначим элементы матрицы В через b_ij, тогда из матричного уравнения (1.9) для любой i-той отрасли можно получить следующее соотношение:

, i = 1…n

Коэффициенты b_ij называются коэффициентами полных материальных затрат и, в отличие от коэффициентов прямых затрат a_ij, включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства.

Взаимосвязь коэффициентов прямых и полных материальных затрат проще всего проследить на примере хлебопекарной промышленности, единицей выпуска которой является хлеб (см. рисунок 1.1).

Рисунок 1.1.Прямые, косвенные и полные материальные затраты.

Экономический смысл элементов матрицы В заключается в том, что каждый элемент b_ij матрицы B есть величина валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли. Матрицу полных затрат часто называют матричным мультипликатором, поскольку она показывает межотраслевой эффект распространения спроса, первоначальным источником которого выступает спрос на конечную продукцию.

Система уравнений межотраслевого баланса является отражением реальных экономических процессов. В соответствии с экономическим смыслом задачи значения X_i должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях Y_i и a_ij. В этой связи важным является вопрос: при каких условиях экономическая система способна обеспечить положительный конечный выпуск по всем отраслям? Ответ на этот вопрос связан с понятием продуктивности матрицы прямых материальных затрат.

Матрица А называется продуктивной, если существует такой неотрицательный вектор X ≥ 0, что (E - A) X = Y > 0. В этом случае и модель Леонтьева называется продуктивной.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы А. Одним из самых простых признаков продуктивности матрицы А является ограничение на сумму элементов ее столбцов: говорят, что матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы. Данное условие является достаточным, но не необходимым. К необходимым и достаточным условиям продуктивности матрицы А относят следующие:

1. Матрица А неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица
(E-A) ≥0.

2. Матричный ряд сходится, причём его сумма равна обратной матрице (E-A)^-1.

3. Все собственные значения матрицы А по модулю меньше единицы.

4. Все главные миноры матрицы (Е-А) положительны.[10]

При выполнении хотя бы одного из перечисленных необходимых и достаточных условий матрица А является продуктивной.