Направление мощности, переносимой высшими гармониками у ЭП – источника гармоник.

В предыдущем примере (рис. 3.3) рассмотрим направление мощности, потребляемой двигателем постоянного тока. Эта мощность состоит из двух слагаемых:

а) Мощность, обусловленная постоянными слагающими тока и напряжения

Ро = Io * Uo.

В любой момент времени Io > 0, Uo >0, следовательно, всегда Po >0, т.е. мощность, переносимая постоянным током направлена от источника питания к ЭП.

Рис.3.4. Мощность гармоники.

б) Мгновенная мощность р_Г, обусловленная переменными слагающими тока и напряжения р_Г = i_Г * u_Г пульсирует во времени (рис.3.4). Она равна нулю в моменты перехода тока и напряжения через нуль. В остальное время она отрицательна, т.к. знаки i_Г * u_Г противоположны. Это означает, что мощность, переносимая гармоникой, направлена от ЭП к источнику питания.

Таким образом, полная мощность ЭП: Р = Ро – Рг.

Разложение периодических функций в ряд, метод наложения.

Разложение в ряд Фурье позволяет применить классические методы расчета и анализа электрических цепей с синусоидальными токами и напряжениями для цепей с несинусоидальными токами и напряжениями.

Любая периодическая функция f(ωt) может быть представлена суммой постоянной составляющей и синусоид разных частот kω, где k – целые числа, начиная с единицы.

, где

Со – постоянная составляющая,

n – число учитываемых гармоник,

A_km- амплитуда гармоники k,

Ψ – начальная фаза гармоники k.

Первая гармоника ряда называется основной, а остальные – высшими гармониками (ВГ).

Для расчета цепи с несинусоидальными напряжениями и токами используют метод наложения, который содержит три этапа:

а) Несинусоидальное напряжение раскладывается в ряд Фурье

u = f(t) = u₀ + u₁ + u₂ + …+ u_k + …+u_n .

б) Для всех напряжений находят токи в функции времени i₀, i₁, i₂,…i_k,…i_n.

в) Мгновенные значения токов суммируются.

Рассмотрим пример расчета тока конденсатора, к которому приложено несинусоидальное напряжение, состоящее из первой и третьей гармоник, причем амплитуда третьей гармоники втрое меньше амплитуды первой (рис 3.5).

. Сопротивление конденсатора на третьей гармонике в три раза меньше сопротивления на первой гармонике , поэтому амплитуда тока 3-й гармоники равна амплитуде тока 1-й гармоники:

.

Рис.3.5. Построение кривой тока в цепи с конденсатором методом наложения.

В итоге содержание тока 3-й гармоники в кривой тока втрое превышает содержание 3-й гармоники в кривой напряжения, кривая тока более несинусоидальна, чем кривая напряжения.

В цепях с реактивными сопротивлениями (индуктивным или емкостным), величина которых зависит от частоты (X_L= L, X_C= 1/ С) отличается от формы кривой напряжения. В цепи с емкостью высшие гармоники усиливаются, а в цепи с индуктивностью – подавляются.

Особенности поведения высших гармоник (ВГ) в трехфазных сетях.

В трехфазной сети ВГ образуют системы прямой, обратной и нулевой последовательностей.

Гармоники, для которых k-1 делится на 3 образуют системы прямой последовательности. Например, угол сдвига 4-й гармоники (4-1=3, 3/3=1) фазы В по отношению к фазе А: .

Гармоники, для которых k+1 делится на 3 образуют системы обратной последовательности. Например, угол сдвига 2-й гармоники (2+1=3, 3/3=1) фазы В по отношению к фазе А: (240°).

Гармоники, для которых k делится на 3 образуют системы нулевой последовательности. Например, угол сдвига 3-й гармоники (3/3=1) фазы В по отношению к фазе А: - эквивалентно нулю.

На рис. 3.6 приведены кривые токов 1-й и 3-й гармоник в трехфазной цепи, где видно, что угол сдвига между токами 3-й гармоники фаз А, В и С равен нулю, т.е. эти токи совпадают по фазе и образуют систему нулевой последовательности.

Рис.3.6. Первая и третья гармоники в трехфазной цепи.

Токи гармоник, кратным трем, могут протекать только в четырехпроводной трехфазной цепи, при этом в нейтральном проводе протекает сумма токов трех фаз.

Если обмотка генератора или трансформатора соединена в треугольник, по ней будет протекать токи гармоник, кратных трем, даже при отсутствии внешней нагрузки, т.к. сумма их ЭДС составляет 3Е₃, где Е₃ – ЭДС одной фазы (рис.3.7.а).

Действующее значение тока, протекающего в контуре треугольника:

.

При этом напряжения этих гармоник равны нулю, т.к. замкнутый треугольник представляет для них короткозамкнутый контур. Токи гармоник не кратных трем в контуре треугольника не протекают, т.к. для них сумма ЭДС трех фаз равна нулю.

Если обмотки генератора (трансформатора) соединены в открытый треугольник (рис.3.7.б), то несмотря на присутствие ЭДС гармоник, кратных трем, ток этих гармоник протекать не может, т.к. контур разомкнут. При этом вольтметр, подключенный к зажимам m, n покажет действующее значение ЭДС этих гармоник:

.

Рис.3.7. Токи и напряжения гармоник, кратных трем в треугольнике.

В линейном напряжении, независимо от схемы соединения (звезда или треугольник) генератора (трансформатора) гармоники, кратные трем, отсутствуют.

Особенность четных гармоник.

Искажения формы кривых напряжения и тока, встречающиеся на практике, обычно симметричны относительно оси времени, т.е. отвечают условию

f(t) = f(t + T/2), т.е отрицательная полуволна является зеркальным отражением положительной полуволны, сдвинутой на Т/2 (на полпериода) (рис.3.8а). В этом случае ряд Фурье не содержит постоянной составляющей и четных гармоник.

Это положение можно доказать методом от противного: допустим, кривая тока i, состоящая из первой i₁ и второй (четной) i₂ гармоник (рис.3.8б) несимметрична относительно оси времени, f(t) ≠ f(t + T/2).

Вывод: в разложении кривых, симметричных относительно оси времени, отсутствуют четные гармоники.

Таким образом, в трехфазных трехпроводных сетях обычно отсутствуют кратные трем и четные гармоники, т.е. обычно присутствуют гармоники с номерами

5, 7,11, 13, 17…

Рис.3.8. а) Симметричная относительно оси времени кривая; б) Несимметричная кривая, содержащая вторую гармонику.