Применение средств алгебры логики для описания функционирования устройств компьютера

Для описания того, как функционируют аппаратные средства компьютера очень удобен математический аппарат алгебры логики, поскольку основной системой счисления в компьютере является двоичная, в которой используются цифры «1» и «0».

Одни и те же устройства компьютера могут применяться для обработки и хранения числовой информации, представленной в двоичной системе счисления, логических переменных. На этапе конструирования аппаратных средств алгебра логики позволяет значительно упростить логические функции, описывающие функционирование схем компьютера, и, следовательно, уменьшить число элементарных логических элементов, из десятков тысяч которых состоят основные узлы компьютера.

Данные и команды в памяти компьютера и в регистрах процессора представляются в виде двоичных последовательностей различной структуры и длины.

Существуют различные физические способы кодирования двоичной информации, но чаще всего единица кодируется более высоким уровнем напряжения, чем ноль.

В логической схеме компьютера выделяют логические элементы. Логический элемент компьютера – это часть электронной логической схемы, которая реализует элементарную логическую формулу.

Логическими элементами компьютеров являются электронные схемы «И», «ИЛИ», «НЕ», «И-НЕ», «ИЛИ-НЕ» и другие (называемые также вентилями), а также триггер. С помощью этих схем можно реализовать любую логическую формулу, описывающую работу устройств компьютера.

Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое выражает его логическую формулу, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем реализована. Это упрощает запись и понимание сложных логических схем.

Схема «И» реализует конъюнкцию двух или более логических значений. Условное обозначение на структурных схемах схемы «И» с двумя входами представлено на рис. 5.

Рис. 5. схема «И»

На выходе схемы «И» значение «1» будет тогда и только тогда, когда на всех входах будут «1». Когда хотя бы на одном входе будет «0», на выходе также будет «0».

Операция конъюнкции на функциональных схемах обозначается знаком «&» (читается как «амперсэнд»), являющимся сокращенной записью английского слова and.

Схема «ИЛИ» реализует дизъюнкцию двух или более логических значений. Условное обозначение схемы «ИЛИ» представлено на рис. 6.

Рис. 6. Схема «ИЛИ»

Значение дизъюнкции равно «1», если сумма значений операндов больше или равна «1». Когда хотя бы на одном входе схемы «ИЛИ» будет «1», на её выходе также будет «1».

Операция дизъюнкции на функциональных схемах обозначается знаком «1».

Схема «НЕ» (инвертор) реализует операцию отрицания. Условное обозначение схемы НЕ представлено на рис. 7.

Рис. 7. Схема «НЕ»

Если на входе схемы – «0», то на выходе будет «1». Когда на входе – «1», на выходе будет «0».

Схема «И-НЕ» состоит из элемента «И» и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы «И». Условное обозначение схемы «И-НЕ» представлено на рисунке 8. Таблица истинности схемы «И-НЕ» – это таблица 5.

Рис. 8. Схема «И-НЕ»

Таблица истинности схемы «И-НЕ»

Таблица 5

х	у

Схема «ИЛИ-НЕ» состоит из элемента «ИЛИ» и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы «ИЛИ». Условное обозначение схемы «ИЛИ-НЕ» представлено на рис. 9, а таблица истинности схемы ИЛИ-НЕ – это табл. 6.

Рис. 9. Схема «ИЛИ-НЕ»

Таблица истинности схемы «ИЛИ-НЕ»

Таблица 6

х	у

Логические схемы

Логическая схема – это схематическое изображение некоторого устройства, состоящего из переключателей и соединяющих их проводников, а также из входов и выходов, на которые подаётся и с которых снимается электрический сигнал.

Каждый переключатель имеет только два состояния: замкнутое и разомкнутое. Переключателю Х поставим в соответствие логическую переменную х, которая принимает значение 1 в том и только в том случае, когда переключатель Х замкнут и схема проводит ток; если же переключатель разомкнут, то х равен нулю.

Две схемы называются равносильными, если через одну из них проходит ток тогда и только тогда, когда он проходит через другую (при одном и том же входном сигнале).

Из двух равносильных схем более простой считается та схема, функция проводимости которой содержит меньшее число логических операций или переключателей.

При рассмотрении переключательных схем возникают две основные задачи: синтез и анализ схемы.

СИНТЕЗ СХЕМЫ по заданным условиям ее работы сводится к следующим трём этапам:

1. составлению функции проводимости по таблице истинности, отражающей эти условия;
2. упрощению этой функции;
3. построению соответствующей схемы.

АНАЛИЗ СХЕМЫ сводится к:

1. определению значений её функции проводимости при всех возможных наборах входящих в эту функцию переменных.
2. получению упрощённой формулы.

Пример решение логических задач средствами алгебры логики

Задача: Составить таблицу истинности для данной формулы: (x ~ z) | ((x y) ~ (y z)).

Решение: В таблицу истинности данной формулы полезно включить таблицы истинности промежуточных функций:

Методические указания для выполнения практического задания №2. «Алгебра логики». Построение таблиц истинности.

Цель работы: Ознакомиться с основными арифметическими операциями, базовыми логическими элементами (И, И-НЕ, ИЛИ, ИЛИ-НЕ, исключающее ИЛИ) и изучить методы построения на их основе таблиц истинности.

Задание:

1. В приложении 2 выбрать вариант задания и составить таблицу истинности.

2. Выполнить задание, используя пример решение логических задач средствами алгебры логики.

3. Оформить работу в тетради для практических работ.

4. Результат работы предъявить преподавателю.

5. Защитить выполненную работу у преподавателя.

Пример построения логических схем

Задача:

Построить логическую схему по заданному булевому выражению:

F =`BA + B`A + C`B

Решение:

Как правило, построение и расчет любой схемы осуществляется начиная с ее выхода.

Первый этап: выполняется логическое сложение, логическую операцию ИЛИ, считая входными переменными функции`B A, B`A и C`B:

Второй этап: к входам элемента ИЛИ подключаются логические элементы И, входными переменными которых являются уже A, B, C и их инверсии:

Третий этап: для получения инверсий `A и`B на соответствующих входах ставят инверторы:

Данное построение основано на следующей особенности, – поскольку значениями логических функций могут быть только нули и единицы, то любые логические функции могут быть представлены как аргументы других более сложных функций. Таким образом, построение логической схемы осуществляется от выхода к входу.

Методические указания для выполнения практического задания №3. «Алгебра логики». Построение логических схем.

Цель работы: Ознакомиться с основными арифметическими операциями, базовыми логическими элементами (И, И-НЕ, ИЛИ, ИЛИ-НЕ, исключающее ИЛИ) и изучить методы построения на их основе простейших логических схем.

Задание:

1. В приложении 2 выбрать вариант задания и построить логическую схему.

2. Выполнить задание, используя пример построения логических схем.

3. Оформить работу в тетради для практических работ.

4. Результат работы предъявить преподавателю.

5. Защитить выполненную работу у преподавателя.

Приложение 2. Таблица вариантов заданий

4. Индивидуальное задание. Модуль 1. «Построение логических схем по заданным булевым выражениям»

Задания к ИДЗ:

1. В приложении 3 выбрать вариант индивидуального задания.
2. Выполнить задание, пользуясь теоретическими сведениями
3. Проверить логическую схему у тьютора.
4. Оформить ИДЗ в формате А4, титульный лист по образцу Приложение 4.
5. Результат работы предъявить преподавателю.
6. Защитить выполненную работу у преподавателя.

Приложение 3. Таблица вариантов индивидуального задания

Приложение 4. Титульный лист ИДЗ

Маршрутная карта изучения дисциплины по Модулю 2

Введение в алгоритмизацию

Программирование – интересная, живая, быстро развивающаяся наука. Первые шаги при обучении программированию для многих оказываются очень нелегкими. Главное качество программиста – хорошее логическое мышление – развивается только в упорной и кропотливой работе.

Алгоритмический язык Паскаль был разработан в 1973 г. швейцарским математиком Никлаусом Виртом для обучения студентов структурному программированию. Язык получил свое название в честь французского математика Блеза Паскаля (1623-1662 гг.). В 1984 г. бывший студент Никлауса Вирта, французский математик Филип Кан, основал фирму Borland International и начал продавать по почте разработанную им программу - среду программирования Turbo-Pascal для ПК. Предлагаемый им продукт был настолько удачен, что только за первый месяц продаж поступили заказы общей стоимостью 150 000$. Турбо-Паскаль вскоре вывел фирму Borland в ряды основных производителей программного обеспечения.

Общеизвестна роль вычислительной техники в различных сферах человеческой деятельности. Особенно популярны персональные компьютеры (ПК), обладающие высокой производительностью и не требующие от пользователя глубокого знания процессов, происходящих в компьютере во время вычислений. Без преувеличения можно сказать, что появление ПК в середине 70-х годов и бурное их распространение в наше время открыло новую эру в массовом использовании вычислительной техники людьми всех рангов и профессий. Человечество заметно переходит от экономики, основанной на тяжелой промышленности, к экономике с компьютеризированной технологией, средствами связи и услугами.

Выбор Паскаля для обучения программированию объясняется рядом его достоинств. В частности, этот язык полно отражает идеи структурного программирования. Во-вторых, Паскаль предоставляет гибкие возможности в отношении используемых структур данных. Большое внимание в языке уделено вопросу повышения надежности программ: средства языка позволяют осуществлять достаточно полный контроль правильности использования данных различных типов и программных объектов, как на этапе трансляции программ, так и на этапе их выполнения. Благодаря перечисленным возможностям, Паскаль широко применяется не только в области обучения, но и в практической работе.