Основные теоретические положения

Переходные процессы в RC-цепях

Переходные процессы возникают в электрических цепях в результате различного рода коммутаций, при переходе от одного установившегося режима к другому.

Пусть в момент времени t = 0 к RC-цепи (рис. 4.1) подключили источник с ЭДС, равной (переключатель П в положении 1).

Рис. 4.1

Запишем для указанного на рис. 4.1 контура уравнение по второму закону Кирхгофа:

,

. (4.1)

Решив дифференциальное уравнение (4.1) относительно , учитывая при этом начальное условие, вытекающее из законов коммутации, , и вынужденную составляющую решения , получим

,

,

.

Константа , имеющая размерность времени и характеризующая скорость заряда конденсатора, называется постоянной времени RC-цепи, или временем релаксации.

Если в момент времени переключатель П перевести в положение 2 и тем самым отключить источник ЭДС, то конденсатор начнёт разряжаться через сопротивление R.

Решая дифференциальное уравнение (4.1) относительно , полагая , учитывая при этом начальное условие, вытекающее из законов коммутации, , и вынужденную составляющую решения , находим для

,

,

.

Графики зависимостей , , для рассмотренного процесса приведены на рис. 4.2.

Рис. 4.2

Переходные процессы в RL-цепях

Пусть в момент времени t = 0 к RL-цепи (рис. 4.3) подключили источник с ЭДС, равной (переключатель П в положении 1).

Рис. 4.3

Запишем для указанного на рис. 4.3 контура уравнение по второму закону Кирхгофа:

,

. (4.2)

Решив дифференциальное уравнение (4.2) относительно , учитывая при этом начальное условие, вытекающее из законов коммутации, , и вынужденную составляющую решения , получим

,

,

.

Константа , имеющая размерность времени и характеризующая скорость изменения тока в цепи, называется постоянной времени RL-цепи, или временем релаксации.

В момент времени переключатель П переводится в положение 2 и тем самым источник ЭДС отключается от цепи.

Решая дифференциальное уравнение (4.2) относительно , полагая , учитывая при этом начальное условие, вытекающее из законов коммутации, , и вынужденную составляющую решения , находим для

,

,

.

Графики зависимостей , , для рассмотренного процесса приведены на рис. 4.4.

Рис. 4.4

Переходные процессы в RLC-цепях

Если в момент времени t = 0 к RLC-цепи (рис. 4.5) подключить источник с ЭДС, равной (переключатель П в положении 1), то в цепи возникнут затухающие колебания.

Рис. 4.5

Запишем для указанного на рис. 4.5 контура уравнение по второму закону Кирхгофа:

,

. (4.3)

Решая уравнение (4.3) относительно , получим зависимость падания напряжения на конденсаторе от времени:

,

где

- коэффициент затухания в контуре,

- частота собственных затухающих колебаний в RLC-контуре,

- частота собственных незатухающих колебаний в контуре при R = 0.

Графики зависимостей , приведены на рис. 4.6.

Степень затухания в контуре принято характеризовать величиной, называемой логарифмическим декрементом затухания θ:

,

где , - значения напряжение на конденсаторе, соответствующие двум соседним максимумам колебаний.

Рис. 4.6

Важной характеристикой контура является добротность Q, характеризующая степень убывания энергии в контуре с течением времени. Добротность связана с логарифмическим декрементом соотношением

.

При малых значениях активного сопротивления R, когда , для добротности и частоты собственных колебаний можно записать:

, ,

где

- энергия, запасённая в контуре,

- уменьшение этой энергии за период колебания .

Отметим, что при (затухание велико) зависимость будет иметь апериодический характер. Активное сопротивление контура, при котором , называют критическим:

.

При переключении ключа П из положения 1 в положение 2 амплитуда колебаний силы тока в цепи вновь возрастает, при этом законы изменения напряжения в контуре аналогичны описанным выше.