Средние величины, характеризуя вариационный ряд одним числом, не учитывают степень вариации признака.

3 . Для ее измерения используют показатели вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Размах вариации (R) определяется по формуле

R = x_max - x_min (11)

Этот показатель часто используется для характеристики качества продукции.

Среднее линейное отклонение (r) представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных значений отклонений вариантов от средней.

Рассчитывают:

- простое; (12)

- взвешенное. (13)

Средний квадрат отклонения - дисперсия (s²) наиболее часто применяется для характеристики колеблемости признака.

- простая; (14)

- взвешенная. (15)

Среднее квадратическое отклонение (s) - это квадратный корень из дисперсии:

- простое; (16)

-взвешенное. (17)

Достоинство этого показателя по сравнению со средним линейным отклонением в том, что при его вычислении никакого условного допущения о необходимости суммирования отклонений вариантов от средней без учета их знаков не делается.

Учитывая, что все вышеназванные показатели вариации представляют собой абсолютные величины, выраженные в тех же единицах измерения, что и варианты, для характеристики колеблемости признака используют относительные показатели - коэффициенты вариации (v):

или (18)

. (19)

Пример

По данным табл. 4 рассчитать показатели вариации.

Таблица 4

Производство деталей за час в бригаде токарей

Количество деталей, шт.	Число рабочих
6 - 8
8 - 10
10 - 12
12 - 14
14 - 16
Итого

(дет) по (2) (дет) по (13)

(дет) по (15) (дет) по (17)

по (18) по (19)

R = 16 - 6 = 10 (дет) по (11).

4. Наряду с количественной существует и качественная вариация признака. При двух взаимно исключающих друг друга вариантах вариация признака называется альтернативной.

Обозначим наличие признака 1, а отсутствие - 0, долю вариантов, обладающих данным признаком - p, а долю вариантов, не обладающих им - q. Тогда p + q = 1.

Дисперсия альтернативного признака (s²) равна

(20)

Для каждой группы вариантов ряда распределения может быть вычислена дисперсия. Если совокупность разделить на группы, то для каждой можно рассчитать дисперсию по (15), которая может быть названа внутригрупповой дисперсией ( ). Из внутригрупповых дисперсий может быть найдена средняя ( ):

, (21)

где n_i - численность единиц в каждой группе.

Средняя из внутригрупповых дисперсий служит для характеристики среднего рассеивания признака внутри групп.

Частные (групповые) средние ( ) могут не совпадать с общей средней по совокупности ( ). Мерой колеблемости при этом является межгрупповая дисперсия ( ):

. (22)

Между общей дисперсией (s²), средней из групповых ( ) и межгрупповой дисперсией существует такая связь:

s² = + . (23)

Это правило сложения дисперсий.

Пример

Таблица 5

Данные о выпуске деталей

Для первой смены уже рассчитаны (см. вопрос 3): (дет), (дет).

Аналогично рассчитываем и для второй смены: (дет), (дет).

Среднюю из внутригрупповых дисперсий рассчитываем по (21):

(дет).

Для определения межгрупповой и общей по совокупности дисперсии рассчитаем среднюю по совокупности (табл. 6)

Таблица 6

Расчет средней и дисперсии по совокупности

Количество деталей	Число токарей (1+2 смены)	xm
6 - 8			317.7
8 - 10
10 - 12			0.9
12 - 14			82.3
14 - 16			105.8
Итого			600.7

(дет) (дет)

.

Таким образом,

s² = + , в примере 6,6 » 6,1 + 0,3.

Расхождение в 0,2 объясняется округлением в счете.

Можно определить влияние группировочного признака на вариацию признака, определив коэффициент детерминации:

. (24)

В нашем примере . Отмечается незначительное влияние (около 5%) распределения токарей по сменам на их выработку.

5. Слово index - латинское, означает в переводе показатель, указатель. В статистике индексами называют относительные показатели, выражающие изменения сложных экономических явлений, состоящих из непосредственно несуммируемых элементов.

Основным вопросом построения индексов является вопрос о сопоставимости сравниваемых явлений. Сопоставимость достигается различными способами. Наиболее простой из них - разложение сложных явлений на простые, однородные, а затем соизмерение этих простых явлений с помощью индивидуальных индексов. Общий вид индивидуального индекса (i):

Как видно, этот показатель строится по схеме, идентичной относительной величине динамики.

Наиболее часто встречаются следующие индивидуальные индексы:

объема проданной (выпущенной) продукции , где q₁, q₀ - соответственно объем продукции в отчетном и в базисном периодах;

цен проданной (выпущенной) продукции , где p₁, p₀ - соответственно цена в отчетном и в базисном периодах.

Значительно сложнее, если необходимо соизмерить не отдельный элемент (цену, объем выпущенных одноименных машин), а всю совокупность в целом.

В этом случае необходимо использовать общие индексы, которые могут быть агрегатными или средними.

Существует правило построения агрегатных индексов: если индексируется (соизмеряется) качественный показатель, то весами к нему берется количественный в неизменном отчетном уровне; если индексируется количественный показатель, то весами берется качественный в неизменном базисном уровне.

Согласно этой теории агрегатный индекс цен (I_p) будет

. (25)

Тогда агрегатный индекс объема продукции (I_q) равен

. (26)

Чтобы выяснить формулу агрегатного индекса достаточно уточнить, какая (качественная или количественная) величина индексируется. Любой агрегатный индекс может быть преобразован в средний.

Индекс цен: ; отсюда . Подставим это вместо p₀ в (25). Получим:

- средний гармонический индекс цен.

По индексируемым качественным величинам строятся обычно средние гармонические индексы.

Индекс объема: ; отсюда . Подставим это вместо q₁ в (26). Получим:

- средний арифметический индекс объема, который находится обычно по индексируемым количественным величинам.

Пример:

Таблица 7

Определение индексов

Вид изделий	Объем, шт.	Цена, р.
Базис	Отчет	Базис	Отчет
А				9,5	1,25	0,95
Б				9,0	1,10	1,13

Значит, объем продукции А увеличился на 25%, а цена снизилась на 5%; объем продукции Б повысился на 10%, цена повысилась на 13%. Что произошло с объемом по двум видам продукции?

Рассчитаем общие индексы объема:

агрегатный (26) ;

средний арифметический .

Значит, по двум видам продукции объем возрос на 15%.

Рассчитаем общие индексы цен:

агрегатный (25) ;

средний гармонический .

Значит, в среднем по двум видам продукции цены возросли на 6%.

Если необходимо рассчитать индекс товарооборота (I_pq), то его можно определить или . Здесь индексируются обе величины p и q.

В нашем примере: . Т.е., товарооборот возрос на 22%, при этом он увеличивался и за счет объема (на 15%) и за счет цен (на 6%).

Динамика многих общественных явлений может быть выявлена и охарактеризована при помощи сопоставления средних уровней. На величину показателей динамики средних уровней оказывают влияние как изменения отдельных значений усредняемого признака, так и изменения их удельных весов.

Пример

Таблица 8

Индексный метод анализа динамики среднего уровня

Данные таблицы показывают, что уровень заработной платы каждой группы рабочих в отдельности снизился (на 3 и 9%), но в целом возрос на 3%. Этот рост обусловлен увеличением удельного веса квалифицированных рабочих (в базисном периоде , а в отчетном ).

Индексы средних уровней, рассчитанные с учетом изменения структуры, называются индексами переменного состава (I_п.с.):

. (27)

Если удельный вес отдельной группы обозначить как d_m, то индекс переменного состава примет вид

. (28)

Индексы, представляющие собой отношение средних уровней, рассчитанных исходя из постоянной структуры, называются индексами постоянного состава:

. (29)

Влияние структурных сдвигов оценивается с помощью индекса структурных сдвигов:

. (30)

В нашем примере рассчитаем индексы постоянного состава и структурных сдвигов. Для этого рассчитаем и : и т.п.

Группы рабочих
IV-VI разрядов	0,64	0,75
I-III разрядов	0,36	0,25

по (29).

Значит, если бы удельный вес высококвалифицированных рабочих не изменялся, то в среднем заработная плата рабочих снизилась бы на 6%.

по (30).

Значит, средняя заработная плата увеличилась за счет повышения удельного веса квалифицированных рабочих на 9%.

6. Общественные явления претерпевают непрерывное изменение во времени. Для описания этих изменений анализируют динамические (хронологические, временные) ряды.

Динамические ряды представляют собой два ряда цифр: в одном ряду - время, а во втором - соответствующие времени значения варьирующего признака (см. табл. 3).

Динамический ряд может быть интервальным, если объем явления дается за определенный промежуток времени (пример в табл. 2), и моментным, если составляющие его числа выражают размер изучаемого признака по состоянию на определенную дату. Примером моментного ряда может служить ряд, помещенный в табл. 9.

Таблица 9

Остатки материалов на складе, т

Ряды динамики могут состоять из абсолютных или относительных величин.

Для изучения рядов рассчитывают их показатели.

Уровень ряда - значение показателя, стоящего в динамическом ряду (y), соответствующее времени t.

Средний уровень определяется:

в моментном ряду - средняя хронологическая; (31)

в интервальном ряду - средняя арифметическая простая.

Абсолютный прирост - разность двух уровней ряда динамики (D). Абсолютный прирост может быть цепной (D_ц): D_ц=y_i - y_i-1, и базисный (D_б): D_б=y_i - y₁.

Средний абсолютный прирост определяется по формуле .

По данным табл. 9 (т).

Темп роста - отношение одного уровня ряда к другому (Т_р). Темп роста может быть цепным и базисным .

Средний темп роста определяется по средней геометрической (см. пример к вопросу 2).

Темп прироста (Т_пр) определяется как разница между темпом роста и единицей (Т_пр = Т_р - 1) или по формуле .

Абсолютное значение одного процента прироста (A) представляет собой отношение абсолютного прироста к темпу прироста, выраженному в процентах. Его можно рассчитать по формуле A = 0,01 y_i-1. Так, по данным табл. 9 абсолютное значение 1% прироста в феврале равно 3,82 т, а в марте = 3,78 и т.п.

Абсолютное значение одного процента прироста находится только для цепных приростов, т.к. для базисных приростов А - const = 0.01 y₁.

7. Важнейшей задачей статистической характеристики динамики общественных явлений является выявление основной тенденции развития. Это задача имеет множество методов решения. Важнейшие из них: укрупнение интервалов, скользящие средние, аналитическое выравнивание.

Пример

Имеются данные за полугодие об отгрузке продукции, тыс.р.:

В данном ряду динамики показатели колеблются, нельзя сразу установить тенденцию роста отгрузки или падения. Укрупним интервал, рассчитаем объем отгрузки по кварталам: 1 кв. = 119,8 т, 2 кв. = 128,7 т. Тогда в среднем за месяц в 1 квартале было отгружено: т, а во втором квартале: т.

Значит, отгрузка увеличивается.

Для выявления тенденции можно было использовать и подвижные (скользящие) средние. Рассчитаем по нашему примеру 3-членные скользящие средние:

(т); (т);

(т); (т).

Для дальнейшего сглаживания ( ) можно использовать скользящие средние с большим числом членов.

Аналитическое сглаживание служит основой для прогнозирования развития явления.

Рассмотрим метод аналитического сглаживания на примере (табл. 10).

Таблица 10

Выпуск продукции

Годы	Выпуск продукции, тыс.р.	t	t2	yt
		-4		-884	219,3
		-3		-705	241,2
		-2		-544	263,2
		-1		-285	285,1
					307,0
					328,9
					350,8
					372,8
					394,7
Итого

Общее представление о характере тенденции изменения изучаемого явления можно получить из графика ряда динамики (рис. 6).

Рис. 6. Выпуск продукции

Из графика видно, что для изучаемого периода времени (1983 - 1991гг.) наиболее полно отображает общую тенденцию развития явления прямая линия.

Для выравнивания ряда динамики по прямой используют уравнение

. (32)

Способ наименьших квадратов дает систему нормальных уравнений для нахождения параметров a₀ и a₁:

, (33)

где y - эмпирические (исходные) уровни ряда динамики;

n - количество уровней ряда; t - время.

Для упрощения обозначим t так, чтобы , тогда получим из системы:

; .

В табл. 10 приведены расчеты . Заметим, что при упрощенном способе расчета параметр a₀ =307 характеризует величину центрального уровня ряда (в нашем примере 1987г.).

Подставляя в уравнение принятые значения t, вычислим (см. табл. 10). Для проверки значений используется формула . В нашем примере .

С помощью уравнения можно прогнозировать уровень на следующие годы (в 1992 г. t=5): .

При выборе уравнения для аналитического сглаживания необходимо учитывать особенности изменения конкретных показателей. Уравнение прямой отражает равномерное изменение функции, уравнение параболы второго порядка - равноускоренное. Если изменение иное, то прибегают к параболам более высоких порядков, показательной функции, гиперболе.

Вопросы для самопроверки

1. Назовите все виды относительных величин.

2. Что такое медиана?

3. Какому виду относительной величины идентичен индивидуальный индекс?

4. Назовите правило построения агрегатных индексов.

5. Приведите формулу агрегатного индекса себестоимости.

6. Как определяется значение медианы в дискретном ряду?

7. Приведите формулу межгрупповой дисперсии.

8. Что показывает коэффициент детерминации?

9. Для чего используют скользящую среднюю?

Тема 7. Выборочное наблюдение

Изучаемые вопросы

1. Способы формирования выборочной совокупности.

2. Определение ошибок выборочной совокупности.

3. Определение численности выборки.

1. Наблюдение не всегда охватывает все единицы совокупности, иногда в силу большой стоимости или при контроле качества, когда проверка сопровождается разрушением образцов, невозможно провести наблюдение над всей совокупностью.

В этом случае проводят выборочное наблюдение, при котором обследованию подвергается часть единиц совокупности, отобранных случайно, но с заранее известной численностью.

Вся совокупность, из которой производится отбор, называется генеральной, а совокупность отобранных единиц - выборочной. В процессе обследования выборочной совокупности можно рассчитать среднее значение исследуемого признака по выборке ( ), которое будет отличаться от аналогичной средней по генеральной совокупности ( ): , т.к. обследование было не сплошным. Величина, на которую отличается от , является ошибкой выборки (репрезентативности). Чем блике размер выборочной совокупности к генеральной, тем меньше ошибка репрезентативности.

Выборочная совокупность может формироваться разными методами. Может быть индивидуальный отбор (когда отбирается каждый раз одна единица совокупности) или серийный.

После отбора отобранные единицы могут быть возвращены в генеральную совокупность - повторный отбор, либо могут не участвовать в дальнейшем отборе - бесповоротный отбор.

Отбор может быть произведен: собственно-случайным способом, механическим, типическим и серийным способами.

При собственно-случайной выборке отбор производится обычной жеребьевкой. Собственно-случайная выборка в статистической практике применяется редко. Обычно отбор осуществляется механически - через определенный интервал. Например, отбор каждого 5-го, 10-го и т.д. студента по алфавитному списку фамилий.

При типическом отборе обследуемая генеральная совокупность подразделяется на типические группы, из которых затем отбирается определенное число единиц так, чтобы сохранить в выборке структуру генеральной совокупности.

При серийной выборке отбор проводится не отдельных единиц, а серий или комплектов.

2. Как уже было сказано выше, между характеристиками выборочной и генеральной совокупности есть разница - ошибка репрезентативности. Ошибки репрезентативности могут быть рассчитаны как средняя и с определенной вероятностью – предельная ошибка.

Средняя ошибка выборки (m) рассчитывается:

при повторном отборе , (34)

при бесповторном отборе , (35)

где s – среднее квадратическое отклонение; n - численность выборочной совокупности; N - численность генеральной совокупности.

Если выборочное наблюдение применяется для определения доли признака, то в формулах вместо среднего квадратического отклонения ставят (см. тема 2, вопрос 3).

Пример. При разработке материалов учета городского населения методом случайного бесповторного отбора было установлено, что в городе 15% жителей - пенсионеры. При этом из 500 тыс. жителей было отобрано 50 тыс. Определить среднюю ошибку для доли жителей-пенсионеров в генеральной совокупности.

По (35)

Значит в среднем ошибка 4,8%.

Предельная ошибка выборки (D) связана со средней коэффициентом доверия (t): D= t × m.

Коэффициент доверия зависит от вероятности, с которой можно гарантировать определенные размеры предельной ошибки:

Чтобы определить значение признака в генеральной совокупности ( ), нужно скорректировать его значение по выборке на предельную ошибку выборки (D):

Продолжив наш пример, найдем предельную ошибку для доли пенсионеров с вероятностью 0,954. В этом случае t = 2, то есть D = 2 × 0,048 = 0,096. Значит, доля по генеральной совокупности (h) будет отличаться от доли по выборке (w) на 9,6%: . Т.е. доля пенсионеров в городе находится в пределах от 24,6 до 5,4%.

3. Приведенные выше формулы ошибок выборки позволяют заранее рассчитать тот объем выборки, при котором отклонение выборочных показателей от генеральных не превысит заданных размеров, гарантируемых с определенной вероятностью.

Численность выборки (n):

при повторном отборе ; (96)

при бесповторном отборе . (97)

Пример. В городе проживает 2000 семей. В порядке случайной бесповоротной выборки предполагается определить средний размер семы при условии, что ошибка выборочной средней не должна превышать 0,8 с вероятностью 0,954 и при среднем квадратическом отклонении 2,0:

По (97)

При определении необходимой численности выборки по этим формулам для определения дисперсий используют данные предыдущих обследований. При полном отсутствии каких-либо данных о вариации альтернативного признака вместо pq подставляют его максимальное значение, равное 0,25.

Выборочное обследование широко используется в статистических исследованиях при контроле качества, обследованиях бюджетов семей, изучении резервов в производстве.

Вопросы для самопроверки

1. Может ли средняя ошибка выборки равняться предельной?

2. При каком способе отбора ошибка репрезентативности меньше?

3. От каких параметров зависит численность выборочной совокупности?