Формы представления погрешностей. Свойства случайных погрешностей.

Формы погрешностей:

Абсолютная погрешность — ΔX является оценкой абсолютной ошибки измерения. Величина этойпогрешности зависит от способа её вычисления, который, в свою очередь, определяется распределениемслучайной величины X_meas. При этом равенство:

ΔX = | X_true − X_meas | ,

где X_true — истинное значение, а X_meas — измеренное значение, должно выполняться с некоторойвероятностью близкой к 1. Если случайная величина X_meas распределена по нормальному закону ,

то,обычно, за абсолютную погрешность принимают её среднеквадратичное отклонение. Абсолютнаяпогрешность измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.

Относительная погрешность –

отношение абсолютной погрешности к тому значению, которое принимаетсяза истинное:

.Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.

Приведенная погрешность - относительная погрешность, выраженная отношением абсолютнойпогрешности средства измерений к условно принятому значению величины, постоянному во всем диапазонеизмерений или в части диапазона. Вычисляется по формуле:

, где X_n- нормирующие значение, которое зависит от типа шкалы измерительного прибора и определяется по его градуировке:

· если шкала прибора односторонняя, т.е. нижний предел измерений равен нулю, то X_n определяется равным верхнему пределу измерений;

· если шкала прибора двухсторонняя, то нормирующее значение равно ширине диапазона измеренийприбора.

Приведенная погрешность - безразмерная величина (может измеряться в процентах).

Теоретические исследования и опыт измерений показывают, что случайные погрешности обладают следующими основными свойствами:

- при определенных условиях измерений, случайные погрешности по абсолютной величине не могут превышать известного предела;

- малые по абсолютной величине погрешности появляются чаще, чем большие.

- количество «отрицательных» и «положительных» погрешностей равно;

- среднее арифметическое из всех случайных погрешностей равноточных измерений одной и той же величины при неограниченном возрастании числа измерений n стремится к нулю, т.е.

Основные понятия теории вероятностей. Геометрическая вероятность.

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события. Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате опыта или испытания. Под опытом, или испытанием, понимается осуществление определённого комплекса условий. Различают события совместные и несовместные. События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого. В противном случае события называются несовместными. Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в условиях данного опыта.
Событие называется возможным, или случайным, если в результате опыта оно может появиться, но может и не появиться. События называются равновозможными, если по условиям испытания ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другие. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ: Если пространство элементарных событий содержит бесконечное множество элементов и ему можно поставить в соответствие некоторое геометрическое пространство, а вероятность каждого события зависит только от меры этого события, а не от его положения, то говорят, что на этом пространстве определена геометрическая вероятность. При этом вероятность каждого события А есть отношение меры А к мере U пространства элементарных событий.

Основные формулы комбинаторики. Примеры использования

Перестановки. Пусть имеется n различных объектов.
Будем переставлять их всеми возможными способами (число объектов остается неизменными, меняется только их порядок). Получившиеся комбинации называются перестановками, а их число равно Pn=n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n−1)⋅n

Символ n! называется факториалом и обозначает произведение всех целых чисел от 1до n. По определению, считают, что 0!=1, 1!=0

С ростом числа объектов количество перестановок очень быстро растет и изображать их наглядно становится затруднительно. Например, число перестановок из 10 предметов - уже 3628800 (больше 3 миллионов!).

Размещения.Пусть имеется n различных объектов.
Будем выбирать из них m объектов и переставлять всеми возможными способами между собой (то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок). Получившиеся комбинации называются размещениямииз n объектов по m, а их число равно

A^m_n =n!/(n−m)!=n⋅(n−1)⋅...⋅(n−m+1)

Сочетания.Пусть имеется n различных объектов.
Будем выбирать из них m объектов все возможными способами (то есть меняется состав выбранных объектов, но порядок не важен). Получившиеся комбинации называются сочетаниями из n объектов по m, а их число равно

C^m_n =n!/(n−m)!⋅m!

Ясно, что сочетаний всегда меньше чем размещений (так как при размещениях порядок важен, а для сочетаний - нет), причем именно в m!m! раз, то есть верна формула связи:

A^m_n =C^m_n⋅P_m