Категории: ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Функции и использование свойств монотонных функций
Арифметический квадратный (и не только квадратный) корень монотонно возрастает на всей области определения: Чаще всего аргумент функции заменяется на квадратный трехчлен вида y = ax2 + bx + c. Его график — стандартная парабола, в которой нас интересуют: 1. Ветви параболы — могут уходить вверх (при a > 0) или вниз (a < 0).Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения; 2. Вершина параболы — точка экстремума квадратичной функции, в которой эта функция принимает свое наименьшее (для a > 0) или наибольшее (a < 0) значение. Наибольший интерес представляет именно вершина параболы, абсцисса которой рассчитывается по формуле: . Итак, мы нашли точку экстремума квадратичной функции. Но если исходная функция монотонна, для нее точка x0 тоже будет точкой экстремума. Таким образом, решение задачи резко упрощается и сводится всего к двум шагам: 1. Выписать уравнение параболы y = ax2 + bx + c и найти ее вершину по формуле: x0 = −b/2a; 2. Найти значение исходной функции в этой точке: f (x0). Если никаких дополнительных условий нет, это и будет ответом. Задача. Найдите наименьшее значение функции: Под корнем стоит квадратичная функция y = x2 + 6x + 13. График этой функции − парабола ветвями вверх, поскольку коэффициент a = 1 > 0. Вершина параболы: x0 = −b/(2a) = −6/(2 · 1) = −6/2 = −3 Поскольку ветви параболы направлены вверх, в точке x0 = −3 функция y = x2 + 6x + 13 принимает наименьшее значение. Корень монотонно возрастает, значит x0 — точка минимума всей функции. Имеем: Задача. Найдите наибольшее значение функции:
Под корнем снова квадратичная функция: y = 3 − 2x − x2. Ее график — парабола, но ветви вниз, поскольку a = −1 < 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует. Выписываем область допустимых значений (ОДЗ): 3 − 2x − x2 ≥ 0 ⇒ x2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1] Теперь найдем вершину параболы: 3. x0 = −b/(2a) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1 Точка x0 = −1 принадлежит отрезку ОДЗ — и это хорошо. Теперь считаем значение функции в точке x0, а также на концах ОДЗ: y(−3) = y(1) = 0 Итак, получили числа 2 и 0. Нас просят найти наибольшее — это число 2. Экстремальные задачи с геометрическим содержанием · Исследование площади прямоугольника данного периметра Задача. Периметр прямоугольника 24 см, а его основание х см. Задайте формулой зависимость площади прямоугольника S от х. При каком значении х получится прямоугольник наибольшей площади? Решение. S=x(12-x). По смыслу задачи число х удовлетворяет неравенству 0<х<12. Проведём небольшое исследование. Для этого заполним таблицу
Выберем ещё каких-либо два допустимых значения х, например х= 3,5 и х = 9,5 И вычислим соответствующее им значение S:S= 29,75; S= 23,75. Проанализировав полученные результаты, можно высказать гипотезу: Из всех прямоугольников данного периметра наибольшей площадью обладает прямоугольник со сторонами 6 см×6 см, т. е. квадрат. Проверить данную гипотезу мы можем пользуясь методом нахождения наибольшего и наименьшего значения квадратичной функции S= 12x-x². Ее график — парабола, ветви которой направлены вниз, поскольку a = −1 < 0. Вершина параболы: x0 = −b/(2a) = 12/2=6. S(0)=S(12)=0. Поскольку ветви параболы направлены вниз, в точке x0 = 6 функция S= 12x-x² принимает наибольшее значение. Ответ:6. Теперь я могу дать ответ на задачу 1, сформулированную во введении. Р = 40 км. a – первая сторона, 20 – а – вторая сторона. S = а (20 - а) = - а² + 20 а. x0 = −b/(2a) = -20/-2=10. Следовательно, наибольший четырехугольник – квадрат со стороной 10, т.е. наибольшая площадь – 100 км². Можно сделать вывод, что Пахом вполне мог получить земли больше с меньшими усилиями. · Исследование периметра прямоугольника данной площади Задача. Площадь прямоугольника 144 см², а его основание х см. При каком значении х получим прямоугольник наименьшего периметра? Проведём небольшое исследование. Для этого заполним таблицу
Выберем ещё каких-либо два допустимых значения х, например х= и х = И вычислим соответствующее им значение Р: На основании проведённого исследования можно высказать гипотезу: Из всех прямоугольников данной площади наименьшим периметром обладает прямоугольник со сторонами 12 см×12 см, т. е. квадрат. Теперь я могу дать ответ на задачу 2, сформулированную во введении: Размеры щита 3 м × 3 м. Данную гипотезу мы не можем проверить способом, использованным в предыдущей задаче, т. к. функция имеет вид: Р = 2(х + 144/х). Докажем следующее утверждение: Если переменные х и y обратно пропорциональны и принимают только положительные значения, то их сумма принимает наименьшее значение. Доказательство. Пусть ху = k. При х=у имеем х ² = k, х =√ k, х + у = 2√ k. Значит, нужно доказать, что если х >0, у > 0 и ху = k, то х + у ≥ 2√ ху, а это следует из неравенства Коши. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-06-10 lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда... |