Последовательное дифференцирование.

Изложенное до сих пор всё же не устраняет проблемы различных уровней бесконечно малой величины: как можно считать величины бесконечно малыми не только в отношении к обычным величинам, но и в отношении к другим бесконечно малым величинам? Здесь Лейбниц снова прибегает к понятию "несравнимых", но оно слишком невнятно, чтобы удовлетворить потребностям такого объяснения, и оно не поясняет достаточным образом возможность последовательного дифференцирования. Эта возможность может быть пояснена на примере из механики: "Δdx по отношению к dx является тем же, что conatus [импульс силы] по отношению к силе или центробежное ускорение по отношению к скорости"¹. И далее Лейбниц развивает эту идею в ответ на возражения голландского математика Нейвентейта, который, признавая дифференциалы первого порядка, считал дифференциалы высших порядков только нулевыми величинами:

Обычная величина, первая бесконечно малая или дифференциальная величина и вторая бесконечно малая или дифферо-дифференциальная величина относятся друг к другу как движение, скорость и побуждение², которое является составной частью скорости. Движение описывается линией, скорость – элементом линии, а побуждение – элементом элемента³.

1 Письмо Гюйгенсу, между 1 и 11 октября 1693 года.

2 Под "побуждением" подразумевается то, что обычно обозначается термином "ускорение".

3 Responsio ad nonnullas difficultates a Dn. Bernardo Nieuwentijt circa Methodum differentialem seu infinitesimalem notas (Ответ по поводу нескольких проблем, указанных г-ном Бернардом Нейвентейтом в отношении дифференциального или инфинитезимального метода), в: Acta Eruditorum, Лейпциг, 1695.

Но здесь приведён только частный случай или пример, который может служить только простой "иллюстрацией", а не доводом, и необходимо представить обоснование общего порядка (которое, вместе с тем, в некотором смысле неявно содержится в приведённом примере).

В самом деле, дифференциалы первого порядка выражают приращения – или, лучше сказать, изменения, поскольку в зависимости от конкретного случая, они могут как прирастать, так и убывать – получаемые в каждый момент времени обычными величинами; например, такое приращение выражает скорость относительно покрываемого в ходе некоторого движения расстояния. Таким же образом дифференциалы некоторого порядка выражают мгновенные изменения дифференциалов предыдущего порядка, которые, в свою очередь, берутся как величины, существующие в пределах некоторого интервала; таково ускорение по отношению к скорости. Таким образом, различие между разными уровнями бесконечно малых величин на самом деле заключается в рассмотрении различных степеней варьирования, а не в рассмотрении несравнимых величин.

Чтобы чётко обозначить ход наших мыслей, сделаем следующее простое замечание: между самими переменными можно установить различия, аналогичные различиям, установленным ранее между постоянными и переменными величинами; при таких условиях, если вернуться к определению Карно, величина называется бесконечно малой по отношению к другим величинам, если её можно задать сколь угодно малой "без необходимости по этой причине изменять значения тех величин, с которыми она сравнивается". Это возможно по той причине, что величина, которая не является абсолютно постоянной, и даже величина, которая в принципе является переменной, – как бесконечно малые величины, какого бы то ни было порядка, – тем не менее может рассматриваться как постоянная и находимая, то есть способная выполнять роль постоянной величины по отношению к некоторым другим величинам. Только при этих условиях переменная величина может рассматриваться как предел другой переменной, которая, в силу самого определения понятия "предел", должна рассматриваться как постоянная, по крайней мере, с некоторой точки зрения, а именно по отношению к тому, пределом чего она является; и наоборот, величина может быть переменной не только сама по себе или, что то же самое, по отношению к абсолютно постоянным величинам, но даже по отношению к другим переменным, в той мере, в какой они рассматриваются как относительно постоянные.

Вместо того чтобы в этом отношении говорить о степенях варьирования, как мы делали только что, можно равным образом говорить о степенях неопределимости, что в принципе представляет собой то же самое, только с несколько иной точки зрения: величина, хотя и неопределимая по своей природе, тем не менее может быть определимой (находимой) в относительном смысле путём введения некоторых допущений, которые в то же время сохраняют неопределимость других величин; эти последние величины поэтому будут, так сказать, более неопределимыми, чем остальные, или неопределимыми в большей степени, и поэтому они будут соотноситься с остальными величинами некоторым образом, сопоставимым с отношением собственно неопределимых величин к истинно определимым величинам. Мы ограничимся этими замечаниями по предмету, ибо, каков бы ни был их итог, мы считаем, что во всяком случае они достаточны для понимания возможности существования дифференциалов различных последовательных уровней; но в связи с этим вопросом всё же следует более ясно показать, что в действительности не существует логических препятствий для рассмотрения множественных степеней неопределённости, применительно как к убывающим величинам, к которым относятся бесконечно малые и дифференциалы, так и к возрастающим величинам, в случае которых также можно рассматривать интегралы различных порядков, которые как бы симметричны по отношению к дифференциалам различных порядков; вместе с тем, это наблюдение согласуется с тем соответствием, которое существует между явлениями неопределённо возрастающего и неопределённо убывающего, как мы поясняли ранее. Разумеется, всё это представляет собой только вопрос различных степеней неопределённости, а не "степеней бесконечности" в понимании Иоганна Бернулли, идею которых Лейбниц не решился ни принять, ни явно отвергнуть; это ещё один пример того, что известные проблемы могут быть незамедлительно разрешены путём замены понятия так называемого бесконечного понятием неопределённого.

Глава 20.