Будуща я стоимост ь п о окончани и одног о год а (долл. )

Эффективна я го­ дова я процентна я ставк а (%)*

1000 Ежегодно 1080,00 8,000

1000 Раз в полгода 1081,60 8,160

1000 Ежеквартально 1082,43 8,243

1000 Ежемесячно 1083,00 8,300

1000 Ежедневно (365 дней) 1083,28 8,328

"1000 долл., инвестированные на год при этих ставках, начисляемых ежегодно, обеспечили бы такие же значения будущей стоимости, как те, которые указаны в столбце 3.

Амортизация займа

Важным применением концепций приведенной стоимости является опре­ деление размера платежей, которые требуются для погашения постепенно вы­ плачиваемого займа. Его характерной особенностью является погашение пу-

"Специализированная" формула для эффективной годовой процентной ставки при использо­ вании непрерывного начисления процентов имеет следующий вид: эффектная годовая ставка процента = (е)' -1

Глава3. Стоимость денег во времени 133

тем равных периодических платежей, которые включают как проценты по займу, так и часть его основной суммы. Такие платежи могут совершаться ежемесячно, ежеквартально, раз в полгода или ежегодно. Выплата в рассрочку чаще всего используется в ипотечных займах, ссудах на покупку автомобиля, потребительских ссудах и определенных видах коммерческих ссуд.

Чтобы проиллюстрировать сказанное простейшим примером ежегодных платежей, допустим, что вы взяли ссуду в размере 22 тыс. долл. под 12% годо­ вых, начисляемых по методу сложных процентов, причем эту ссуду необходи­ мо погасить в течение следующих шести лет. В конце каждого года ссуду не­ обходимо погашать равными долями. Следует также учитывать, что эти пла­ тежи должны быть достаточными для погашения основной суммы долга (22 тыс. долл.) плюс 12%-ный доход кредитора. Чтобы определить сумму еже­ годного платежа, R, мы формулируем нашу задачу следующим образом:

$22 000 = 7? Jl/( 1 + 0,12)'

= R(PVIFAl2%s).

В табл. IV Приложения, помещенного в конце книги, мы находим, что ко­ эффициент дисконтирования для шестилетнего аннуитета при использовании 12%-ной ставки составляет 4,111. Решая приведенное выше уравнение отно­ сительно R, получаем:

$22 000 = ^(4,111)

i? = $22 000/4,111 = $5351.

Таким образом, ежегодные платежи в размере 5351 долл. позволяют в те­ чение шести лет полностью амортизировать (погасить) ссуду величиной 22 тыс. долл. Каждый платеж состоит частично из процента и частично — из выплаты в счет погашения основной суммы займа. График амортизации(amortization schedule) представлен в табл. 3.8. Мы видим, что подлежащие выплате проценты за год определяются умножением на 12% еще не выплачен­ ной (на начало соответствующего года) части основной суммы займа. Вели­ чина платежа, приходящегося на основную сумму займа, представляет собой общую сумму платежа, выплачиваемого в рассрочку, минус величина платежа, приходящегося на процентные выплаты.

График амортизации (amortization schedule)

Таблица, в которой отображается график выплаты процентов по займу и его основ­ ной суммы. Этот график должен предусматривать полное погашение займа к зара­ нее обусловленному сроку,

Обратите внимание, что часть платежа, приходящаяся на выплату процен­ тов по займу, с течением времени уменьшается, тогда как часть платежа, при­ ходящаяся на выплату основной суммы займа, увеличивается. По истечении шести лет заемщик выплатит основную сумму займа, равную 22 тыс. долл., и заем будет, таким образом, полностью амортизирован. Соотношение между процентом и основной суммой займа очень важно, поскольку налог на при­ быль уменьшается лишь на суммы процентов по долгу.

134 Часть II.Оценка активов

Таблица 3.8. Пример графика амортизации займа

Важнейшие формулы

Поток(и) Уравнение Номертаблицы в конце книги

Отдельные платежи:

FVn=P0(l + iy

(3.4)

FVn=P0(FVIFiin) (3.5) I

PV0=FV„[l/(l+iy]

(3.6)

PV0=FVn(PVIFin) (3.7) II

Аннуитеты:

FVAn=R([(l + iY-l]/i)

(3.8)

FVAn=R{FVIFAin) (3.9) III

PVAn=R[(i-[l/(l+i)n])/i) (3.10)

Глава3. Стоимость денег во времени 135

• БОЛЬШИНСТВО финансовых решений — как в личной, так и в деловой жизни — связано с тем, что стоимость денег изменяется во времени. Измерение этой за­ висимости определяется процентной ставкой.

• Простые проценты — это проценты, выплачиваемые (или приносимые) только на исходную заимствованную (или предоставленную в кредит) сумму.

• Сложные проценты — это проценты, выплачиваемые (или приносимые) на любые ранее начисленные проценты, а также на основную заимствован­ ную (или предоставленную в кредит) сумму. Концепцию сложных про­ центов можно использовать для решения широкого спектра задач в сфере финансов.

• В основе всех задач, связанных со сложными процентами, можно обнару­ жить две основные концепции — концепции будущей стоимости и приве­ денной стоимости. Будущая стоимость — это стоимость в определенный момент в будущем нынешней суммы денег (или последовательности вы­ плат), оцениваемая с учетом заданной процентной ставки. Приведенная стоимость — это нынешняя стоимость будущей суммы денег (или последо­ вательности выплат), оцениваемая с учетом заданной процентной ставки.

• Решение задач, связанных с изменением стоимости денег от времени, очень полезно начинать с вычерчивания временной оси (временного графика), на которой отображаются соответствующие условиям задачи денежные потоки.

• Аннуитет — это регулярная последовательность одинаковых денежных вы­ плат или поступлений, имеющих место в течение определенного времени.

• Существует ряд характеристик, которые должны помочь вам в выявлении и ре­ шении различных типов задач, касаюпшхся определения стоимости аннуитета.

1. Приведенная стоимость обычного аннуитета: денежные потоки имеют место в конце каждого периода; приведенная стоимость аннуитета вы­ числяется на момент времени, отстоящий на один период до появления первого денежного потока.

2.Приведенная стоимость срочного аннуитета: денежные потоки имеют

место в начале каждого периода; приведенная стоимость аннуитета вычисляется на момент первого денежного потока.

3. Будущая стоимость обычного аннуитета: денежные потоки имеют ме­ сто в конце каждого периода; будущая стоимость аннуитета вычисля­ ется на момент последнего денежного потока.

4. Будущая стоимость срочного аннуитета: денежные потоки имеют место в начале каждого периода; будущая стоимость аннуитета вычисляется на момент времени, отстоящий на один период после возникновения по­ следнего денежного потока.

• Существуют различные формулы для нахождения значений будущей и приведенной стоимости как отдельных платежей, так и аннуитетов. Задачи на смешанные (неоднородные) денежные потоки всегда можно решить пу-

136 Часть II.Оценка активов

тем индивидуальной "настройки каждого денежного потока на временном графике и последующего суммирования полученных результатов. Способ­ ность выявлять определенные варианты поступлений и платежей в смешан­ ных денежных потоках поможет вам упростить необходимые вычисления.

Чтобы иметь возможность сравнить альтернативные варианты инвести­ ций, к которым применяются разные периоды начисления процентов, за­ частую бывает необходимо вычислить их эффективные годовые процент­ ные ставки. Эффективная годовая процентная ставка — это начисляемая ежегодно процентная ставка, которая обеспечивает такой же годовой про­ центный доход, как и номинальная ставка при начислении т раз в год.

Амортизация займа связана с определением периодических платежей, необ­ ходимых для исчерпания основной суммы займа к моменту, когда наступит срок полного его погашения; при этом должна также обеспечиваться выпла­ та процентов по невыплаченной части основной суммы займа. По мере вы­ плат невыплаченная часть основной суммы займа уменьшается с нарастаю­ щей скоростью.

Вопросы

1.Что представляют собой "простые проценты"?

2.Что представляют собой "сложные проценты"? Почему для нас так важна концепция сложных процентов?

3.Какие виды личных финансовых решений, связанных с начис­ лением сложных процентов, вам приходилось принимать?

4.Что такое "аннуитет"? Как вы считаете, является ли стоимость аннуитета меньше или больше стоимости единоразового плате­ жа, полученного в настоящий момент и равного сумме всех бу­ дущих платежей по договору аннуитета?

5.Какой механизм начисления процентов вы предпочли бы для своего сберегательного счета? Почему?

6.Сравните процедуру вычисления будущей (конечной) стоимо­ сти с процедурой вычисления приведенной стоимости. В чем разница между этими процедурами?

7.В чем преимущество использования таблиц приведенной стои­ мости по сравнению с соответствующими формулами?

8.Если вам предстоит получить по условиям финансового кон­ тракта определенную сумму денег через пять лет, но вы хотите продать этот контракт по его приведенной стоимости, какой тип начисления процентов вы предпочли бы использовать в подсче­ тах? Почему?

9."Правило 72" предполагает, что сумма на сберегательном счете удвоится за 12 лет при ежегодном начислении 6% по методу сложных процентов (или за шесть лет при ежегодном начисле-

Глава 3.Стоимость денег во времени 137

нии 12%). Может ли это правило с успехом применяться на практике и какова его точность?

10.Уменьшается ли приведенная стоимость денег с линейной ско­ ростью, с нарастающей скоростью или с уменьшающейся скоро­ стью при использовании определенной ставки дисконтирова­ ния? Почему?

11.Уменьшается ли приведенная стоимость денег с линейной скоро­ стью, с нарастающей скоростью или с уменьшающейся скоростью при изменении продолжительности времени до того момента в бу­ дущем, когда деньги должны быть получены? Почему?

12.Свену Сморгасборду сейчас 35 лет, и он не жалуется на жизнь. Это дает ему основания полагать, что его вес будет ежегодно увеличиваться на 3%. Сейчас он весит 200 фунтов. Сколько он будет весить в 60 лет?

Задачи для самопроверки

1.Проанализируйте следующие данные:

Денежный поток (ДОЛЛ.)

Год

1 2 3 4 5

W 100 200 200 300 300

X 600 - -

Y - - - - 1200

Z 200 - 500 - 300

a)Вычислите будущую стоимость каждого потока по заверше­ нии пяти лет, если процентная ставка, рассчитываемая по методу сложных процентов, составляет 10% годовых.

b)Вычислите приведенную стоимость каждого потока, если ставка дисконтирования равняется 14%.

2.Маффин Мегабакс рассматривает два варианта помещения своих сбережений. В соответствии с первым, каждые шесть месяцев она будет помещать на свой счет 500 долл. под 7% годовых, начисляе­ мых по методу сложных процентов каждые полгода. В соответст­ вии со вторым вариантом, каждый год она помещает на свой счет 1000 долл. под 7,5% годовых, начисляемых по методу сложных процентов каждый год. Первоначальный вклад, в соответствии с первым вариантом, помещается на сберегательный счет Маффин Мегабакс через шесть месяцев, а в соответствии со вторым вариан­ том — через год (отсчет времени ведется от настоящего момента),

а)Какой окажется будущая (конечная) стоимость вклада по

истечении 10 лет в соответствии с первым вариантом?

Часть II.Оценка активов

b)Какой окажется будущая (конечная) стоимость вклада по истечении 10 лет в соответствии со вторым вариантом?

c)Каким вариантом следует воспользоваться Маффин Мега­ бакс, если единственное, что ее волнует, — это стоимость вклада через 10 лет?

d)Изменился бы ваш ответ на предыдущий вопрос, если бы процентная ставка по второму варианту равнялась 7%?

3.В соответствии с финансовым контрактом вы имеете возмож­ ность получить либо 25 тыс. долл. через шесть лет, либо 50 тыс. долл.— через двенадцать лет. При какой процентной ставке (начисляемой ежегодно по методу сложных процентов) оба этих варианта окажутся для вас равноценными?

4.Эмерсон Каммак планирует приобрести аннуитет, выплаты по которому составят 7000 долл. в год до конца его дней. По оценке сотрудников страховой компании Philo Life Insurance Company (основанной на актуарных расчетах), люди возраста Эмерсона Каммака могут прожить еще примерно 20 лет. В соответствии с контрактами на аннуитет, которые Philo Life Insurance Company заключает со своими клиентами, компания начисляет им 6% го­ довых по методу сложных процентов.

a)Какую сумму придется заплатить Каммаку за аннуитетный контракт?

b)Сколько пришлось бы ему заплатить компании, если бы про­ центная ставка равнялась 8%?

5.Вы взяли четырехгодичный заем на сумму 10 тыс. долл. под 14% годовых, начисляемых по методу сложных процентов. Заем вы­ плачивается в рассрочку четырьмя равными долями в конце каждого года.

a)Какой должна быть величина ежегодного платежа в счет по­ гашения займа, чтобы полностью амортизировать данный за­ ем через четыре года? (Допускается округление до доллара.)

b)Какой будет величина процентных выплат для каждой рав­ ной доли платежа в счет погашения займа? Какой будет ве­ личина выплат по основной сумме займа для каждой равной доли платежа в счет погашения займа? {Подсказка. В первые годы основная часть платежа приходится на выплату про­ центов, а в последние — на выплату основной суммы займа.)

6.В соответствии с завещанием вашего покойного дядюшки Вер­ на, в течение следующих 20 лет вы должны получать 1000 долл. в конце каждого четного года. Первые поступления будут иметь место через два года, считая с настоящего момента. Какова при­ веденная стоимость этого денежного потока со столь необычной "картиной", если процентная ставка по счету, с которого выпла­ чиваются завещанные деньги, составляет 10% годовых, рассчи-

Глава3. Стоимость денег во времени 139

тываемых по методу сложных процентов? (Попытайтесь ре­ шить эту задачу как можно более коротким способом.)

7.Некий банк предлагает вам семимесячный депозитный серти­ фикат (ДС), по которому выплачиваются проценты в размере 7,06% годовых, что обеспечит вам эффективную годовую доход­ ность (APY) в размере 7,25%. Определите, с какой периодично­ стью (ежедневно, еженедельно, ежемесячно или ежеквартально) начисляются проценты по ДС? Между прочим, сколько вы по­ лучите через семь месяцев (когда истечет срок погашения ваше­ го ДС), если приобретете ДС на 10 тыс. долл.? Иными словами, на какую сумму банк должен выдать вам чек, если вы закроете свой счет через семь месяцев?

8.Один из жителей Диллонвейла (штат Огайо) в течение 65 лет усердно копил сбережения в виде монет достоинством в 1 цент. Когда он наконец решил, что пришло время потратить эти день­ ги, оказалось, что таких монет у него накопилось 8 миллионов (т.е. 80 тыс. долл. — примерно 40 мусорных корзинок). В сред­ нем этот гражданин накапливал за год 1230 долл. Какая сумма накопилась бы на счете этого гражданина за 65 лет, если бы в конце каждого года он помещал накопленные за год одноценто­ вые монеты на сберегательный счет под 5% годовых, начисляе­ мых по методу сложных процентов? На сколько больше центов заработал бы наш "скупой рыцарь", если бы помещал их не в му­ сорные корзинки, а на сберегательный счет?

9.Ху Линь недавно получил 10-летний кредит на сумму 50 тыс. долл. По этому кредиту предполагается выплата 8% годовых, начисляемых по методу сложных процентов. Выплачивать этот кредит предполагается в рассрочку (порциями по 7451,47 долл. в конце каждого из последующих 10 лет).

a)Какая сумма (в долларах) от платежа за первый год относит­ ся к основной выплате?

b) Какие суммарные проценты будут выплачены на протяжении всего срока действия этого займа? (Подсказка. Чтобы ответить на этот вопрос, вовсе не обязательно составлять таблицу амор­ тизации займа. Все, что от вас потребуется, сводится к примене­ нию достаточно простых математических операций.)

1. Примеры на определение будущей стоимости.

а)Каким окажется по истечении трех лет начальный депозит величиной 100 долл. при начислении сложных процентов, если годовая процентная ставка равняется: I) 100%, II ) 10%,

III ) 0%?

Часть II.Оценка активов

b)Каким окажется по истечении пяти лет начальный депозит ве­ личиной 500 долл. при начислении сложных процентов (к тому же в конце каждого года все пять лет производилась выплата

100 долл.), если годовая процентная ставка равняется: I) 10%,

II ) 5%, III ) 0%?

c)Каким окажется по истечении шести лет начальный депозит ве­ личиной 500 долл. при начислении сложных процентов (к тому же в течение пяти лет в конце каждого года производилась выпла­ та 100 долл.), если годовая процентная ставка равняется: I) 10%,

II ) 5%, III ) 0%?

d)Каким окажется по истечении трех лет начальный депозит величиной 100 долл. при ежеквартальном начислении слож­ ных процентов, если годовая процентная ставка равняется: I ) 100%, II ) 10%?

e)Почему ваши ответы на вопросы пункта d) отличаются от отве­ тов на вопросы пункта а)?

f)Каким окажется по истечении 10 лет начальный депозит вели­ чиной 100 долл., если годовая процентная ставка, равная 10%, начисляется (как сложные проценты): I) ежегодно, II ) раз в пол­ года, III ) ежеквартально, IV) непрерывно?

2. Примеры на определение приведенной стоимости.

a)Какова приведенная стоимость 100 долл., полученных по ис­ течении трех лет, если ставка дисконтирования равняется: I ) 100%, II ) 10%, III ) 0%?

b)Какова совокупная приведенная стоимость 500 долл., получае­ мых по окончании каждого года в течение последующих трех лет, если ставка дисконтирования равняется: I) 4%, И) 25%?

c)Вкладчик получает 100 долл. в конце первого года, 500 долл. — по истечении двух лет и 1000 долл. — по истечении трех лет. Какова совокупная приведенная стоимость этих выплат, если ставка дисконтирования равняется: I) 4%, II ) 25%?

d)1000 долл. должны быть получены в конце первого года, 500 долл. — по истечении двух лет и 100 долл. — по истече­ нии трех лет. Какова совокупная приведенная стоимость этих поступлений, если ставка дисконтирования равняется: 1)4%, И) 25%?

e)Сравните свои решения в пункте с) с решениями в пункте d) и объясните причину различий в ответах.

3. Джо Эрнандес получил наследство в размере 25 тыс. долл. и на­ мерен заключить аннуитетный контракт, который обеспечил бы ему надежный доход в течение последующих 12 лет. Ему из­ вестно, что местная ссудосберегательная ассоциация в настоя­ щее время выплачивает своим клиентам 6% годовых. Если бы он вложил свои сбережения в эту ассоциацию, какой доход

Глава 3.Стоимость денег во времени 141

(округленно до доллара) он мог бы получать в конце каждого года, чтобы по истечении 12 лет (после снятия последней сум­ мы) закрыть свой счет в ассоциации? (Предполагается, что в конце каждого года он снимает со счета одинаковую сумму.)

4. По истечении 10 лет вы хотите иметь 50 тыс. долл. Чтобы нако­ пить такую сумму, вы решаете в конце каждого года в течение последующих 10 лет помещать в банк определенную сумму. По долгосрочным вкладам банк начисляет своим клиентам 8% го­ довых. Сколько денег вам нужно ежегодно откладывать на счет (округленно до доллара)?

5. Формулировка такая же, как в задаче 4, за исключением того, что в течение последующих 10 лет вы помещаете на свой счет опреде­ ленную сумму в начале каждого года (округленно до доллара).

6. Некто Вернал Эквинокс хочет взять ссуду в размере 10 тыс. долл. на три года. Группа частных лиц согласна одолжить ему эти деньги, если по истечении трех лет он обязуется выплатить им 16 тыс. долл. О каком размере годовой процентной ставки идет речь в таком соглашении (округленно до процента)?

7. Вам предлагается вексель с погашением через четыре года, по которому в конце каждого года (в течение последующих четы­ рех лет) вам будут выплачиваться 3000 долл. Покупка этого векселя обойдется вам в 10 200 долл. О каком размере подразу­ меваемой годовой процентной ставки идет речь в таком согла­ шении (округленно до процента)?

8. Объемы продажи, достигнутые в этом году компанией P.J. Cramer Company, равняются 500 тыс. долл. Руководство компании пред­ полагает, что в течение последующих шести лет ее рост, рассчи­ танный по методу сложных процентов, составит 20%. Какими в таком случае должны быть объемы продаж в конце каждого года в течение последующих шести лет?

9. Руководство компании Н & L Bark Company обдумывает целе­ сообразность покупки деревообрабатывающего станка. Предпо­ лагается, что с его помощью компания сможет заработать сле­ дующие средства.

Какова приведенная стоимость этого денежного потока, если годовая ставка дисконтирования равняется 14%?

Часть II.Оценка активов

10. Допустим, по истечении 10 лет вы должны получить 1000 долл. Какова приведенная стоимость этой суммы, если процентная ставка равняется 10%, а сами проценты начисляются I) ежегод­ но, II ) ежеквартально, III ) непрерывно?

11. К 200-летию Соединенных Штатов Америки Казначейство США выпустило сберегательную облигацию номиналом 1000 долл., стоимость которой через 100 лет составит 1 млн. долл. Какая примерно годовая процентная ставка предполагается указанными условиями?

12. Селину Кохену, недавно вышедшему на пенсию, исполнилось

63 года. Он хотел бы обеспечить себе твердый доход и подумы­ вает о заключении контракта на аннуитет со страховой компа­ нией Philo Life Insurance Company. Такой контракт должен обес­ печивать ему пожизненный стабильный ежегодный доход. Для этого Селину Кохену придется инвестировать определенную начальную сумму. В соответствии со статистическими данными, накопленными компанией Philo Life Insurance Company, человек возраста Селина Кохена должен прожить еще примерно 15 лет. Исходя из этой предполагаемой продолжительности жизни сво­ его клиента компания проводит все свои расчеты.

a)Каким должен быть размер первоначальной инвестиции Се­ лина Кохена, чтобы купленный аннуитет приносил ему до­ ход, равный 10 тыс. долл., если процентная ставка, по кото­ рой Philo Life Insurance Company начисляет своим клиентам сложные проценты, равняется 5%?

b)Каким был бы размер первоначальной инвестиции Селина Кохена, если бы процентная ставка страховой компании рав­ нялась 10%?

c)Какие ежегодные выплаты по договору аннуитета получал бы Кохен, если бы размер его первоначальной инвестиции рав­ нялся 30 тыс. долл., а процентная ставка, по которой Philo Life Insurance Company начисляет своим клиентам сложные про­ центы, — 5%? Тот же вопрос, если процентная ставка — 10%.

13. Компания Happy Hang Glide Company собирается купить здание. С этой целью она получила ипотечный заем на 20 лет в размере 190 тыс. долл. Ссудные проценты, выплачиваемые в соответст­ вии с этим займом, составляют 17% (начисляются по методу сложных процентов). Выплата долга производится в рассрочку в течение 20 лет равными долями в конце каждого года. Какова сумма ежегодного платежа?

14. Составьте графики амортизации для следующих примеров (округленно до центов). (Соответствующий пример приведен в табл. 3.8.)

Глава3. Стоимость денег во времени 143

a )36-месячный заем в размере 8000 ДОЛЛ.; выплата произво­ дится в рассрочку в течение 36 месяцев равными долями в конце каждого месяца. Процентная ставка — 1% в месяц.

b)25-летний ипотечный заем в размере 184 тыс. долл. Ссудные проценты для этого займа составляют 10% (начисляются по ме­ тоду сложных процентов). Выплата долга производится в рас­ срочку в течение 25 лет равными долями в конце каждого года.

15. Вы получили ссуду в размере 14 300 долл.; ссудные проценты, начисляемые по методу сложных процентов, равняются 15%. Вы полагаете, что сможете возвращать долг по этой ссуде еже­ годно равными долями по 3000 долл. (Платежи включают как основную сумму займа, так и проценты по нему.) Сколько вре­ мени займет у вас полное погашение этой ссуды (округлите до ближайшего целого числа лет)?

16. Руководство компании Lost Dutchman Mines, Inc. изучает возмож­ ности инвестирования в экономику Перу. Компания предлагает правительству Перу свои услуги в разработке одного месторож­ дения. Прибыль планируется получить через пять лет. Ожидает­ ся, что на тот момент месторождение будет приносить Lost Dutchman Mines прибыль в размере 5 млн. долл. Никаких иных затрат, кроме платы за право разработки месторождения, со сто­ роны Lost Dutchman Mines не предполагается (все прочие расходы компании будут компенсированы правительством Перу). Каким должен быть максимальный размер платы Lost Dutchman Mines за право разработки месторождения, если номинальная годовая до­ ходность, на которую ориентируется руководство компании, со­ ставляет 20%, и если проценты начисляются I) ежегодно, II ) раз в полгода, III ) ежеквартально, IV) непрерывно?

17. Эрл Е. Берд решил начать копить деньги на старость. По дости­ жении 21 года Эрл собирается каждый год (в день своего рожде­ ния) помещать на сберегательный счет 2000 долл. под 7% годо­ вых, начисляемых по методу сложных процентов. Эту программу накопления он собирается осуществлять в течение 10 лет, после чего пополнение сберегательного счета прекратится. Однако снимать с этого счета Эрл тоже ничего не будет. Таким образом, в течение последующих 35 лет — пока ему не исполнится 65 лет — сумма на его счете будет расти благодаря начислению процентов (тех же 7% годовых). Ивона Уэйти также собирается ежегодно (в каждый свой день рождения) в течение 35 лет инвестировать 2000 долл. под 7% годовых. Однако эту программу она начнет осуществлять лишь после того, как ей исполнится 31 год. Какие суммы накопятся на сберегательных счетах Эрла и Ивоны в день их 65-летия? Кто из них лучше (и насколько именно) подгото­ вится к старости?

18. В день, когда вы родились, ваша дорогая тетушка Минни по­ обещала, что в каждый очередной день вашего рождения она

Часть И.Оценка активов

будет помещать на предназначенный для вас сберегательный счет ровно 1000 долл. (первую тысячу она поместит, когда вам исполнится один год). На сберегательный счет начисляются сложные проценты (5% годовых). Вам исполнилось 25 лет, и вы хотите получить всю накопившуюся сумму. Однако оказалось, что дорогая (и такая забывчивая) тетушка Минни не пополняла ваш сберегательный счет в дни вашего пяти-, семи- и одиннад­ цатилетия. Какая сумма накопилась на этом сберегательном счете ко дню вашего 25-летия?

19. Допустим, что сегодня вы открываете сберегательный счет, по­ мещая на него 100 тыс. долл. Эти деньги помещаются под 5% годовых, начисляемых по методу сложных процентов, причем предполагается, что эта процентная ставка будет оставаться не­ изменной на все последующие периоды. Через четыре года вы снимете со своего счета Rдолларов. В течение нескольких по­ следующих лет вы будете продолжать ежегодно снимать со сво­ его счета Rдолларов (последнее снятие произойдет по истече­ нии девятого года). В результате получится следующая картина изменения денежных потоков во времени. (Примечание. Ны­ нешний день соответствует нулевому периоду времени; через год закончится период времени 1; и т.д.)

Снятие денег в КОНЦ Е года...

Каким должно быть значение R,чтобы после последнего снятия вами Rдолларов в конце девятого года у вас получился в точности нулевой баланс? (Подсказка. Использование таблиц с коэффици­ ентами аннуитета или формулы несколько облегчит вашу задачу!)

20. Допустим, что ежегодная номинальная доходность инвестиции обещает составить 9,6%. Какова эффективная годовая ставка процента данной инвестиции, если предположить, что процен­ ты начисляются al) ежегодно, II ) раз в полгода, III ) ежеквар­ тально, IV ) ежемесячно, V) ежедневно (365 дней), VI ) непре­ рывно? (Примечание. Представьте свои ответы с точностью до четырех знаков после запятой — например, 0,0987 или 9,87%.)

21. "Хотите выиграть миллион долларов? Нет ничего проще... Один победитель, выбранный случайным способом среди всех участ­ ников розыгрыша, получает аннуитет в размере 1 000 000 долл." Именно такое объявление появилось недавно в World Wide Web. Ниже приведены более подробные правила участия в этом конкурсе на "приз в миллион долларов": "40 ежегодных выплат, по 25 тыс. долл. каждая; в сумме вы получите 1 000 000 долл. Первая выплата будет произведена 1 января; последующие вы­ платы — 1 января каждого последующего года". Какова текущая стоимость этого "приза в миллион долларов" при выплате пер­ вой доли выигрыша 1 января, если процентная ставка, начис­ ляемая по методу сложных процентов, равняется 8%?

Глава 3.Стоимость денег во времени 145

22. ДЛ Я ТОГО чтобы индекс Доу-Джонса 30 повысился с 100 0 до 2000 , потребовалось примерно 14 лет. Чтобы этот индекс удво­ ился с 200 0 до 4000 , потребовалось лишь восемь лет, а чтобы он поднялся с 400 0 до 800 0 — два года. Чему равняются ежегодные темпы роста (рассчитанные как сложные проценты) индекса Доу-Джонса на основании приведенных данных (округлите до ближайшего целого процента)?

Решения задач для самопроверки

1.а) Будущая стоимость каждого отдельного платежа и суммар­ ная будущая стоимость каждого потока представлены в при­ веденной ниже таблице (использована табл. I Приложения, помещенного в конце книги).

Ь)Приведенная стоимость каждого денежного платежа и сум­ марная приведенная стоимость каждого денежного потока представлены в таблице (использована табл. II Приложения, помещенного в конце книги).

2.

= $500([( 1 + 0.035) 2 0 -1]/[0,035] ) = $14139,8 4

b) FVi0 Вариант 2 = $1000(FVIFA75%i0)

= $1000{[( 1 + 0,075) 1 0 -1]/[0,075] } = $14147,0 9

146 Часть II.Оценка активов

c)Варианту 2 следует отдать предпочтение, поскольку он не­ сколько выгоднее (на 7,25 долл.), чем вариант 1.

= $1000{[(1 + 0,07)10 -1]/[0,07]} = $13 816,45.

В этом случае предпочтение следует отдать варианту 1 — тем бо­ лее, что выигрыш оказывается весьма ощутимым (323,37 долл.).

3.Равноценность вариантов предполагает, что полученные 25 тыс. долл. вы могли бы реинвестировать сроком на шесть лет под Х%, чтобы обеспечить эквивалентный денежный поток величи­ ной 50 тыс. долл. на 12-м году. Таким образом, 25 тыс. долл. уд­ воились бы за шесть лет. Используя "Правило 72", получаем: 72/6 = 12%.

С другой стороны, советуем обратить внимание на то, что 50 тыс. долл. = 25 тыс. долл.(гТ7Ж%6 ) . Следовательно, (FVIFX%e) = 50 тыс. долл./25 тыс. долл. = 2. В табл. I Приложения, помещенного в кон­ це книги, находим, что коэффициент прибыли на шесть лет при 12% составляет 1,974, а для 13% — 2,082. Интерполируя, получаем процентную ставку, предполагаемую данным контрактом:

2 000- 1 974

Х% = 12%+ ' ' = 12,24%.

2,082-1,974

4. а) РУ 0 =$7000(РУЖ4 6 . / о 2 0 ) = $7000(11,470) = $80 290;

b)PV0 = $7000^/7^20 ) = $7000(19,818) = $68 726;

Следовательно, R = 10 тыс. долл./2,914 = 3432 долл.(после ок­ ругления до доллара).

Ь)

6. Когда мы пытаемся представить задачу в графическом виде, то по­ лучаем 1000 долл. в конце каждого четного года (для годов с номе­ рами от 1 до 20).

Глава3. Стоимость денег во времени 147

Подсказка. Преобразуйте 1000 ДОЛЛ., выплачиваемых каждые два года, в эквивалентный ежегодный аннуитет (т.е. аннуитет, кото­ рый обеспечивал бы такую же приведенную или будущую стои­ мость платежей, как и фактические денежные потоки). Опреде­ ляя значение выплат по двухгодичному аннуитету, который эк­ вивалентен будущей стоимости 1000 долл., получаемой в конце второго года, находим:

FVA2 = $1000 = R(FVIFAi0%2) = Д(2,100).

Следовательно, R = 1000 долл./2,100 = 476,19 долл. Замена ка­ ждых 1 000 долл. на эквивалентный двухгодичный аннуитет обеспечивает нам 476,19 долл. в течение 20 лет.

7. Эффективная годовая процентная ставка = (i + [i/m])m-1 =