Стандартное отклонение (standard deviation)

Статистическая мера изменчивости распределения значений величины относи- тельно среднего ожидаемого значения, Равна корню квадратному из дисперсии.

Таблица 5.1. Пример использования распределения вероятностей для расчета ожидаемой доходности и ее стандартного отклонения (за год)

Практическое применение стандартного отклонения.До сих пор мы имели дело с дискретным (discrete) (не непрерывным) распределением, где случайная величина, как, например, доходность, может принимать лишь определенные значения в некотором интервале. В таком случае для определения вероятности наступления события нет необходимости рассчитывать стандартное отклоне-

Глава 5.Риск и доходность 193

ние. Чтобы выяснить, какова вероятность того, что доходность в нашем примере окажется меньше нуля, обратимся к затененной части табл. 5.1: она составляет: 0,05 + 0,10 = 15%.Процесс несколько усложняется для непрерывного (continuous) распределения, где случайная величина может принимать любое значение в данном интервале. А именно такое распределение более реалистично описывает доходность обыкновенных акций, потому что для инвестора возмож­ ны любые ее величины: от больших убытков до значительной прибыли.

Предположим, что речь идет о нормальном (normal) (непрерывном) рас­ пределении вероятностей доходности. Его графическое представление имеет форму симметричного колокола, при этом 68% площади под кривой прихо­ дится на отрезок, включающий одно стандартное отклонение вправо и одно влево от ожидаемой величины доходности (ее математического ожидания), 95% — на отрезок с двумя стандартными отклонениями по обе стороны и бо­ лее 99% — на три. Выражая разность заданного значения доходности и мате­ матического ожидания в величинах стандартного отклонения, можно опреде­ лить вероятность того, что реальная доходность окажется больше или меньше заданного значения.

Проиллюстрируем сказанное числовым примером. Пусть распределение вероятностей приблизительно нормальное, ожидаемая доходность равна 9%, а стандартное отклонение —8,38%. Скажем, мы хотим рассчитать вероятность того, что доходность окажется меньше нуля. Вначале определим, на сколько стандартных отклонений значение доходности (0%) отстоит от среднего зна­ чения распределения (т.е. 9%). Для этого разность указанных значений, рав­ ную -9%, делим на величину стандартного отклонения. Получаем результат - 0,09/0,0838 = -1,07 стандартного отклонения. (Отрицательная (negative) ве­ личина напоминает, что мы рассматриваем значение слева (left) от среднего). В общем случае используется формула

R-R

Z =

а (5.4)

0-0 ,09

0,0838

= -1,07,

где R — граница рассматриваемого диапазона значений доходности, a Z (пока­ затель Z) говорит о том, на сколько стандартных отклонений R отстоит от среднего значения.

Табл. V Приложения, помещенного в конце книги, следует пользоваться для определения того, какую часть от целого составляет площадь под кривой нормального распределения, если она отстоит влево или вправо от среднего значения на Z стандартных отклонений. Эта часть и будет равна вероятности того, что реальная доходность окажется отличающейся от ожидаемой доход­ ности на Z стандартных отклонений.

По этой же таблице находим, что вероятность того, что реальная доход­ ность окажется нулевой или меньше, равна 14%. Распределение вероятностей изображено на рис. 5.1. Заштрихованная область, отстоящая на 1,07 стандарт­ ного отклонения влево от среднего значения, представляет приблизительно 14% всей площади распределения вероятностей.

194 Часть II.Оценка активов

Итак, стандартное отклонение в распределении вероятностей доходности — весьма универсальная мера риска. Оно может служить абсолютной мерой из­ менчивости доходности: чем больше стандартное отклонение, тем более неопре­ деленно будущее развитие событий. Кроме того, с его помощью можно опреде­ лить вероятность того, что реальное значение доходности окажется больше или меньше некоторого заданного нами. Однако мнения расходятся и в этом вопро­ се: существует такая точка зрения, что следует рассматривать только значения доходности ниже ожидаемого значения ("downside" risk), а не риск того, что ко­ лебания доходности будут выше и ниже среднего значения. В этом есть свой смысл. Тем не менее, если распределение вероятностей доходности относитель­ но симметрично, т.е. его части выше и ниже средней величины представляют со­ бой зеркальное отображение, можно смело использовать стандартное отклоне­ ние. Но чем оно значительнее, тем выше вероятность больших разочарований.

Рис. 5.1. Нормальное распределение вероятностей воз­ можных величин доходности. Рассмотренная в примере заштрихованная область отстоит от среднего значения на 1,07 стандартного отклонения влево

Коэффициент вариации

Стандартное отклонение может сослужить плохую службу при сравнении рисков или неопределенностей, сопровождающих различающиеся размером варианты инвестиций. Рассмотрим две инвестиционные возможности А и В, для которых доходность за год подчиняется нормальному распределению со следующими параметрами.

Глава 5.Риск и доходность 195

Стандартное отклонение в случае В больше, чем в случае А. Следует ли из это­ го заключить, что В — более рискованное капиталовложение? Если использовать стандартное отклонение в качестве меры риска — да. Однако по сравнению с ожи­ даемым значением доходности величина ее отклонения дтя инвестиции А больше. Аналогично ситуации, когда стандартное отклонение в 10 тыс. долл. для годового дохода мультимиллионера значит намного меньше, чем 8000 долл. — для человека с обычными доходами. Чтобы подогнать задачу под размеры величин или масшта­ бы, рассчитывают коэффициент вариации (CV )(coefficient of variation) как част­ ное стандартного отклонения и ожидаемой доходности:

Коэффициент вариации (С V) = а/ R. (5.5)