Функция распределения случайной величины

В общем случае распределение случайных величин описывается в терминах функций распределений.

Определение 3.5 Функцией распределения случайной величины называется функция , определяемая следующим образом

Приращения функции распределения имеют очень простой смысл:

(16)

Предложение 3.1 Имеют место следующие общие свойства функций распределения:

1. .
2. -- неубывающая функция:

если

1. Пределы на бесконечности

1. 
   
2. Функция непрерывна справа в каждой точке:

Мы не будем останавливаться на доказательстве этого предложения. Скажем лишь, что некоторые его пункты практически очевидны, другие несложно выводятся из определений 3.1.

Упражнение 3.2

Показать, что у функции распределения в каждой точке существует предел слева, т.е. существует

Упражнение 3.3 Показать, что множество точек разрыва функции не более, чем счетно. (Точка разрыва: .)

Пример 3.1 Простейший случай -- константа: . В этом случае

Пример 3.2

Дискретная случайная величина -- число выпавших очков на игральной кости:

Пример 3.3

Более общая дискретная случайная величина

со значениями							,	принимаемыми
с вероятностями		,		,		,		соответственно.

Замечание 3.4 Каков вероятностный смысл точки разрыва функции распределения ? Ответ на этот вопрос получится, если в (16) положить , а устремить к слева:

(Чтобы строго обосновать этот вывод, следует воспользоваться свойствами вероятностной меры из 3.1.) Таким образом, функция распределения имеет разрыв в точке тогда и только тогда, когда . Более того, величина скачка в точке разрыва совпадает с этой вероятностью.

10 Функция распределения случайной величины. Её свойства

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.

Если  .- случайная величина, то функция F(x) = F_ (x) = P( < x) называется функцией распределения случайной величины  . Здесь P( < x) - вероятность того, что случайная величина  принимает значение, меньшее x.

Важно понимать, что функция распределения является “паспортом” случайной величины: она содержит всю информация о случайной величине и поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения, которую часто называют простораспределением.

Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:

· F(x)определена на всей числовой прямой R;

· F(x)не убывает, т.е. если x₁ x₂, то F(x₁) F(x₂);

· F(- )=0, F(+ )=1,т.е. и ;

· F(x) непрерывна справа, т.е.

11.Плотностью распределения (или плотностью вероятности) непрерывной случайной величины X в точке x называется производная ее функции распределения в этой точке и обозначается f(x). График плотности распределения называется кривой распределения.

Пусть имеется точка x и прилегающий к ней отрезок dx. Вероятность попадания случайной величиныX на этот интервал равна f(x)dx. Эта величина называется элементом вероятности.

Вероятность попадания случайной величины X на произвольный участок [a, b[ равна сумме элементарных вероятностей на этом участке:

(5.7)

В геометрической интерпретации P{α≤X<β} равна площади, ограниченной сверху кривой плотности распределения f(x) и опирающейся на участок (α,β) (рис. 5.4).

Это соотношение позволяет выразить функцию распределения F(x) случайной величины X через ее плотность:

(5.8)

В геометрической интерпретации F(x) равна площади, ограниченной сверху кривой плотности распределения f(x) и лежащей левее точки x (рис. 5.5).

Основные свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения неотрицательна: f(x) ³ 0.

Это свойство следует из определения f(x) – производная неубывающей функции не может быть отрицательной.

2. Условие нормировки: Это свойство следует из формулы (5.8), если положить в нейx=∞.

Геометрически основные свойства плотности f(x) интерпретируются так:

1. вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;

2. полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.