Интегральная и дифференциальная функции распределения. Вероятность попадания в заданный интервал.

Одним из наиболее часто встречающихся распределений является нормальное распределение. Оно играет большую роль в теории вероятностей и занимает среди других распределений особое положение. Нормальный закон распределения является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при часто встречающихся аналогичных условиях.

Если предоставляется возможность рассматривать некоторую случайную величину как сумму достаточно большого числа других случайных величин, то данная случайная величина обычно подчиняется нормальному закону распределения. Суммируемые случайные величины могут подчиняться каким угодно распределениям, но при этом должно выполняться условие их независимости (или слабой зависимости). При соблюдении некоторых не очень жестких условий указанная сумма случайных величин подчиняется приближенно нормальному закону распределения и тем точнее, чем большее количество величин суммируется.

Ни одна из суммируемых случайных величин не должна резко отличаться от других, т. е. каждая из них должна играть в общей сумме примерно одинаковую роль и не иметь исключительно большую по сравнению с другими величинами дисперсию.

Для примера рассмотрим изготовление некоторой детали на станке-автомате. Размеры изготовленных деталей несколько отличаются от требуемых. Это отклонение размеров от стандарта вызывается различными причинами, которые более или менее независимы друг от друга. К ним могут относиться: неравномерный режим обработки детали; неоднородность обрабатываемого материала; неточность установки заготовки в станке; износ режущего инструмента и деталей станков; упругие деформаций узлов станка; состояние микроклимата в цехе; колебание напряжения в электросети и т. д. Каждая из перечисленных и подобных им причин влияет на отклонение размера изготовляемой детали от стандарта. Таким образом, общее отклонение размера, фиксируемое измерительным прибором, является суммой большего числа отклонений, обусловленных различными причинами. Если ни одна из этих причин не является доминирующей, то суммарное отклонение является случайной величиной, имеющей нормальный закон распределения.

Так как нормальному закону подчиняются только непрерывные случайные величины, то это распределение можно задать в виде плотности распределения вероятности.

Определение: Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение (распределена по нормальному закону), если плотность распределения вероятности f(x) имеет вид

где а и —некоторые постоянные, называемые параметрами нормального распределения.

Функция распределения F(x) в рассматриваемом случае принимает вид

Параметр а- есть математическое ожидание НСВХ, имеющей нормальное распределение,  - среднее квадратическое отклонение, тогда дисперсия равна

Выясним геометрический смысл параметров распределения а и . Для этого исследуем поведение функции f(x). График функции f(x) называется нормальной кривой.

Рассмотрим свойства функции f(x):

1°. Областью определения функции f(x) является вся числовая ось.

2°. Функция f{x) может принимать только положительные значения, т. е. f(x}>0.

3°. Предел функции f(x) при неограниченном возрастании |х| равен нулю, т. е. ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика функции.

4°. Функция f{x) имеет в точке х = a максимум, равный

5°. График функции f(x) симметричен относительно прямой х = а.

6°. Нормальная кривая в точках х = а + имеет перегиб,

На основании доказанных свойств построим график плотности нормального распределения f(x).

Как видно из рисунка, нормальная кривая имеет колоколообразную форму. Эта форма является отличительной чертой нормального распределения. Иногда нормальную кривую называюткривой Гаусса.

При изменении параметра а форма нормальной кривой не изменяется. В этом случае, если математическое ожидание (параметр а) уменьшилось или увеличилось, график нормальной кривой сдвигается влево или вправо .

При изменении параметра  изменяется форма нормальной кривой. Если этот параметр увеличивается, то максимальное значение функции f(x) убывает, и наоборот. Так как площадь, ограниченная кривой распределения и осью Ох, должна быть постоянной и равной 1, то с увеличением параметра кривая приближается к оси Ох и растягивается вдоль нее, а с уменьшением  кривая стягивается к прямой х=а .

Использование формул f(x) и F(x) для практических расчетов затруднительно. Но решение задач по этим формулам можно упростить, если от нормального распределения с произвольными параметрами а и перейти к нормальному распределению с параметрами а=0,  = 1.

Функция плотности нормального распределения f(x) с параметрами а=0,  =1 называется плотностью стандартной нормальной случайной величины и ее график имеет вид:

Функция плотности и интегральная функция стандартной нормальной СВ будут иметь вид:

Для вычисления вероятности попадания СВ в интервал (, ) воспользуемся функцией Лапласа:

Перейдем к стандартной нормальной случайной величине

Тогда

Значения функции Ф(u) необходимо взять из таблицы приложений "Таблица значений функции Ф(х)" .

Пример. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (10, 50).

Решение:

По условию: =10, =50, а=30,  =10, следовательно,

По таблице находим Ф (2) = 0,4772. Отсюда, искомая вероятность:

Р(10 < Х < 50) =20,4772=0,9544.

Правило трех сигм

Преобразуем формулу

Введем обозначение

Тогда получим:

Если t=3, то

т. е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.

Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027=1-0,9973. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события, исходя из принципа невозможности маловероятных событий можно считать практически невозможными. В этом и состоит сущность правила трех сигм:

Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математиче­ского ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

На практике правило трех сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.

Функция Лапласа

Найдем вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в заданный интервал.

Обозначим

Тогда

Т.к. интеграл не выражается через элементарные функции, то вводится в рассмотрение функция

которая называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей.

Значения этой функции при различных значениях х посчитаны и приводятся в специальных таблицах.

Ниже показан график функции Лапласа.

Функция Лапласа обладает следующими свойствами:

1) Ф(0) = 0;

2) Ф(-х) = - Ф(х);

3) Ф(¥) = 1.

Функцию Лапласа также называют функцией ошибок и обозначают erf x.

Еще используется нормированная функция Лапласа, которая связана с функцией Лапласа соотношением:

Ниже показан график нормированной функции Лапласа.

Система случайных величин

Рассмотренные выше случайные величины были одномерными, т.е. определялись одним числом, однако, существуют также случайные величины, которые определяются двумя, тремя и т.д. числами. Такие случайные величины называются двумерными, трехмерными и т.д.

В зависимости от типа, входящих в систему случайных величин, системы могут быть дискретными, непрерывными или смешанными, если в систему входят различные типы случайных величин.

Более подробно рассмотрим системы двух случайных величин.

Определение. Законом распределения системы случайных величин называется соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений системы случайных величин и вероятностями появления системы в этих областях.

Определение. Функцией распределения системы двух случайных величин называется функция двух аргументов F(x, y), равная вероятности совместного выполнения двух неравенств X<x, Y<y.

Отметим следующие свойства функции распределения системы двух случайных величин:

1) Если один из аргументов стремится к плюс бесконечности, то функция распределения системы стремится к функции распределения одной случайной величины, соответствующей другому аргументу.

2) Если оба аргумента стремятся к бесконечности, то функция распределения системы стремится к единице.

3) При стремлении одного или обоих аргументов к минус бесконечности функция распределения стремится к нулю.

4) Функция распределения является неубывающей функцией по каждому аргументу.

5) Вероятность попадания случайной точки (X, Y) в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, вычисляется по формуле.