СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ БЕЗ ЭКСПЕРИМЕНТА

2.1. Представление статистической игры без эксперимента в виде S - игры

Свяжем с каждой из чистых стратегий статистика точку в - мерном пространстве, координатами которой будут потери статистика при различных стратегиях природы . Например, для задачи о технологической линии этими точками будут точки , и . И выпуклая оболочка множества точек , и дает область всех возможных стратегий статистика: как чистых - , и , так и смешанных - отрезков вида , и :

5

2

0 1 3

Рис. 3.1

При выборе своей стратегии игрок может руководствоваться различными принципами оптимальности. При этом среди статистиков не существует единого мнения о том, какой из принципов необходимо применять в каждом конкретном случае. Однако можно прийти к единому мнению о том, чего не надо делать. Для этого вводится понятие допустимых стратегий, аналогично понятию доминирующих стратегий в стратегических играх.

Допустимые стратегии в статистических играх

Рассмотрим некоторую смешанную стратегию . Тогда возможны два случая:

1) Нельзя найти стратегию лучшую, чем . Это означает, что не существует такой стратегии , для которой справедливо неравенство:

, (3.6)

при всех , , хотя для некоторых это неравенство может и выполняться. В этом случае стратегия называется допустимой..

2) Существует стратегия лучше, чем . Это означает, что неравенство (6) выполняется при всех . В этом случае стратегия называется недопустимой и ее следует исключить из рассмотрения в пользу стратегии .

Допустимые стратегии удобно рассмотреть в терминах - игры, при которой стратегии статистика определяются в виде точек, лежащих на выпуклой оболочке области , а потери статистика определяются координатами соответствующих точек выпуклой оболочки.

Продемонстрируем метод нахождения допустимых стратегий для случая, когда множество состояний природы состоит только из двух элементов и :

0

Рис. 3.2

Рассмотрим стратегию (точку), расположенную внутри области . Эта стратегия не является допустимой, так как координаты (потери) всех точек, лежащих на отрезке , имеют меньшие значения, то есть представляют явно лучшие решения. Поэтому все «внутренние» стратегии вида можно исключить в пользу стратегии вида , лежащей на границе области .

Следовательно, можно сделать вывод о том, что все множество допустимых стратегий статистика представляет (геометрически) дугу границы области .

№ 3.3.Найти функции потерь для допустимых решений в задаче о технологической линии.

Решение. Левая нижняя граница допустимых решений (см. рис.3.1) состоит из отрезков и , каждый из которых представляет собой смешанную стратегию.

Введем параметр . Тогда параметрическое уравнение отрезка будет иметь вид:

,

и это определяет смешанную стратегию:

.

Спроектировав отрезок на оси координат, получим следующие выражения для функции потерь:

,

.

Аналогично для отрезка с уравнением:

,

получим смешанную стратегию

,

и функции потерь

,

.

О принципах выбора стратегий в статистических играх

Принципом выбора стратегии называют правило, которое позволяет статистику определить наилучшую смешанную стратегию. В различных ситуациях статистик может воспользоваться различными принципами выбора стратегии. Рассмотрим некоторые из них.

Принцип минимакса

Согласно этого принципа, статистик выбирает ту стратегию , при которой его средние потери будут наименьшими при наихудшем для него состоянии природы, то есть

(3.7)

Следовательно, мы можем достаточно просто найти решение статистической игры без эксперимента сведением этой задачи к задаче линейного программирования.

№ 3.4.Найти минимаксную стратегию в задаче о технологической линии.

Решение. Построим графики функций потерь и для отрезков и .

5 3

3 2

1 1

0 1 0 1

Рис. 3.3 . Рис. 3.4 .

Значения выделим на рисунке жирными линиями. Тогда минимум этой величины достигается на рис.3.3 при , и равен 3, а на рис.4 определяется точкой пересечения прямых как:

,

то есть достигается при , и равен .

Таким образом, принцип минимакса дает точку на отрезке , соответствующую , и определяет смешанную стратегию

,

при которой потери статистика будут не больше ед. при любой стратегии природы.

Иногда выбирают стратегию исходя из так называемых дополнительных потерь:

. (3.8)

Величина определяет те минимальные потери, которые несет статистик даже при своем наилучшем решении (для каждого возможного состояния природы). В этом случае выбор стратегии может осуществляться по принципу минимакса дополнительных потерь.

№ 3.5.Найти минимаксную стратегию в задаче о технологической линии, исходя из дополнительных потерь.

Решение. Так как при , а при , то матрица дополнительных потерь примет вид:

.

Применим принцип минимакса графически. Для этого построим сначала выпуклую оболочку :

0 1 3

Рис. 3.5

Спроектируем отрезок на оси координат и получим следующие выражения для функции дополнительных потерь:

,

.

Для отрезка получаем аналогично:

,

.

Построим графики дополнительных потерь:

3 3

1 1

0 1 0 1

Рис.3.6 . Рис. 3.7 .

Тогда на рис. 3.6 минимум от максимума дополнительных потерь достигается при , равен 1, и получаем чистую стратегию . Для рис.3.7 получаем , и стратегию .

Следовательно, оптимальной является чистая стратегия , и минимаксные дополнительные потери равны 1 ед.

Минимаксные принципы исходят из предположения о том, что природа действует наихудшим для статистика образом, и поэтому выражают точку зрения ЛПР, не расположенного к риску. Недостатком этих методов является и то, что они не учитывают априорной информации о состояниях природы, что ограничивает возможный выигрыш статистика. Поэтому минимаксные принципы можно рекомендовать в случае отсутствия априорной информации о состояниях природы, или если есть веские основания сомневаться в достоверности такой информации.

Отметим также, что принцип минимакса дал разные результаты для полных и дополнительных потерь. Это происходит, в частности, потому, что статистик может компенсировать необходимые потери тем или иным образом, например, установлением соответствующих цен на производимую продукцию. Поэтому он может их и не учитывать при выборе оптимальной стратегии.

Байесовский принцип

Другим принципом выбора стратегии является байесовский, который учитывает априорное распределение вероятностей состояний природы . Согласно этому принципу, смешанную стратегию статистика оценивают усреднением потерь по всем возможным состояниям природы, то есть по величине:

. (3.9)

Наилучшей стратегией при этом будет та, которая минимизирует величину (9), а именно:

. (3.10)

Эту стратегию и называют байесовской.

№ 3.6.Найти байесовскую стратегию в задаче о технологической линии, представленной в виде - игры.

Решение. Для допустимых стратегий, определяемых отрезком , имеем:

.

Тогда при , что соответствует смешанной стратегии .

Для отрезка получаем:

.

Тогда при , что соответствует той же смешанной стратегии .

Следовательно, байесовской стратегией является чистая стратегия с оптимальным значением потерь 1,8 ед.

Ответ: ; .