ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АПОСТЕРИОРНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Апостериорное распределение вероятностей

Выше было показано, что проведение эксперимента улучшает решение статистика, но при этом увеличивается количество его возможных чистых стратегий с величины до величины . Это серьезно усложняет анализ и решение соответствующей статистической игры. Уменьшения числа чистых стратегий статистика можно добиться применением апостериорных вероятностей состояний природы, вычисляемых по результатам проведенного эксперимента.

Пусть априорное распределение вероятностей состояний природы имеет вид: , и проведен эксперимент с возможными исходами , . При этом каждый результат эксперимента является случайным, но правильно поставленный эксперимент снижает уровень неопределенности относительно состояний природы.

Это уменьшение неопределенности заключается в том, что вместо априорного распределения вероятностей , применяется новое (условное) распределение вероятностей , называемое апостериорным распределением вероятностей на пространстве состояний природы , при данном конкретном исходе эксперимента .

Это условное распределение вероятностей вычисляется по формулам Байеса:

, (3.21)

где

. (3.22)

Или

,

где

-

безусловная вероятность исхода эксперимента , вычисленная по формуле полной вероятности.

№ 3.11.Определить апостериорное распределение вероятностей в задаче о технологической линии.

Решение. Представим решение в виде расчетной таблицы:

	0,6	0,6	0,25	0,15	0,36	0,15	0,09	0,818	0,556	0,310
	0,4	0,2	0,3	0,5	0,08	0,12	0,20	0,182	0,444	0,690
		0,44	0,27	0,29

Принцип максимального правдоподобия

Согласно принципу максимального правдоподобия, за оценку состояния природы принимают то состояние, которое представляется наиболее вероятным по результатам эксперимента. Например, для № 3.11 получаем, что при исходе эксперимента наиболее вероятным будет состояние природы , так как . Поэтому можно считать, что состоянием природы при будет , и принимать решение о выборе стратегии при этом предположении.

То есть в задаче о технологической линии принцип максимального правдоподобия рекомендует статистику применение следующих стратегий:

а) - при исходе эксперимента ;

б) - при исходе эксперимента ;

в) - при исходе эксперимента .

Этот принцип часто применяют для выбора решений в, так называемой, двухальтернативной задаче, когда статистику обязательно надо принять решение о выборе одной из двух чистых стратегий или .

Наглядно это можно продемонстрировать на примере, называемой задачей о радиолокационной станции (РЛС). В этой задаче имеет место два состояния природы: - цель есть, - цели нет. Оператор по наблюдениям за экраном (по результатам эксперимента) может принять одно из двух решений: - цель есть, - цели нет. При этом он может допустить ошибки двух видов:

	Правильно	Ошибка 1 рода, «ложная тревога»
	Ошибка 2 рода, «пропуск цели»	Правильно

И для принятия решений в такой задаче часто используют отношение правдоподобия

, (3.23)

и говорят, что имеет место проверка по отношению правдоподобия, если задано число такое, что решение принимается согласно следующему правилу:

а) , если ;

б) , если ;

в) или , если .

Значение выбирают в зависимости от тяжести последствий, к которым может привести неправильно принятое решение. Так в задаче о РЛС должно быть , так как ошибка типа «ложная тревога» может иметь более тяжкие последствия. То есть решение надо принимать только в случае, если есть достаточно большая уверенность в наличии цели, то есть при .

Байесовские решения

Применение апостериорных вероятностей позволяет находить байесовские решения при каждом конкретном исходе эксперимента . И в отличие от решений, рассмотренных выше, вместо априорных вероятностей применяются апостериорные вероятности .

Найдем байесовские решения в задаче § 3.6. Для этого вычислим апостериорные вероятности при помощи расчетной таблицы:

	0,5	0,6	0,4	0,30	0,20	0,667	0,364
	0,5	0,3	0,7	0,15	0,35	0,333	0,636
		0,45	0,55

То есть получим следующие апостериорные вероятности:

, ,

, .

Пусть результатом эксперимента будет . Построим матрицу потерь:

	0,667	0,333

и вычислим средние потери:

,

.

Таким образом, при исходе эксперимента байесовской стратегией будет с потерями 5,661.

Если результатом эксперимента будет , то матрица потерь будет иметь вид:

	0,364	0,636

а средние потери будут равны:

,

.

То есть, при исходе эксперимента байесовской стратегией будет с потерями 10,460.

Таким образом, решения этой задачи имеют следующий вид:

а) байесовское без эксперимента - ;

б) минимаксное без эксперимента - ;

в) байесовское с экспериментом - ;

г) минимаксное с экспериментом - , ;

д) при применении апостериорных вероятностей с исходом эксперимента - ;

е) при применении апостериорных вероятностей с исходом эксперимента - .

Отметим, что аналогично решается статистическая игра и в случае, если потери статистика оцениваются функцией полезности.