Расчет фрактальной размерности по модели «изменение масштаба– изменение длины береговой линии»

В этом варианте оценки размерность достоверно отличается от целочисленной (1) и недостоверно от первой оценки 0,93. Различия в оценках в данном случае есть результат лишь различной точности измерения фрактальной размерности.

Более мощным средством является оценка размерности на основе спектральной плотности. Логарифм спектральной плотности (Sp) есть логарифм квадрата среднеквадратического отклонения, то есть амплитуды, поставленной в соответствие конкретной гармоники. Каждая гармоника (w) есть не что иное, как определенный масштаб рассмотрения колебаний (аналог r ), а дисперсия, приходящаяся на соответствующую гармонику, есть аналог квадрата длины линии.

В соответствии с этим

Log(Sp) = a + blog(w) или

log(Sp) = a + blog(1/P).

Так как в данном случае оценка соответствует плоскости, то

D = (5-b)/2.

Рассмотрим с этих позиций периодограмму, представленную на рис. 12 в логарифмической форме (рис. 17а). В табл. 11 приведены параметры уравнения регрессии.

Таблица 11

Оценка фрактальной размерности по уравнению регрессии «логарифм спектра – логарифм частоты». Коэффициент корреляции R = 0.66647. Описанное варьирование: 44.418%

В данном случае размерность определяется для плоскости, а не для линии, как это было в первых двух методах, и для соизмеримости с первыми оценками из нее нужно вычесть единицу. Таким образом, для линии фрактальная размерность равна 0,8366, что лежит между двумя первыми оценками и отличается от каждой из них статистически недостоверно. Скорее всего, оценку по спектру следует признать наиболее сильной и дающей наиболее точные результаты. Каков смысл оценок фрактальной размерности? Обычно принято выделять три их типа: около 0,5, около 0,1, около 0,9 и 0. Первый тип обычно называют «бурым шумом», и он отражает формы поверхности, порождаемые процессами, связанными с теплопереносом, или диффузией, в основу которых может быть положена модель случайного блуждания. Обычно «бурым шумом» описывается рельеф, целиком определяемый эрозионной системой, близкой к равновесию. Второй тип размерности определяется как «черный шум» и связывается обычно с турбулентными процессами в очень вязкой среде. Обычно такую фрактальную размерность имеет рельеф, сложенный основной мореной или определяемый самоподобной системой разломов. Третий тип размерности называется «розовым шумом» и связывается с турбулетными процессами в среде малой вязкости. Достаточно типична такая размерность для дюнного рельефа. В данном случае фрактальная размерность близка к «розовому шуму», что определяется высокой пространственной контрастностью яркостей, связанной со сменой в пространстве разномасштабных лесных и безлесных территорий. Размерность 0 для линии, 1 для плоскости называют «белым шумом», описывающим чисто случайный стохастический нормальный процесс. Остатки от линии регрессии (рис.17 б) достоверно отличаются от «белого шума» и описываются полиномом шестой степени, который выделяет наиболее статистически достоверные регулярные составляющие пространственных колебаний. В общем, они совпадают с периодическими составляющими, выделенными непосредственно по спектру, однако степени полинома не хватает, чтобы отобразить все отклонения от чисто случайного варьирования.

Формально остатки от уравнения регрессии и полинома должны иметь нормальное распределение и не иметь автокорреляция. Если это условие не выполняется, то в остатках отражаются или тренд, или регулярная составляющая. Если это так, то процесс, отображаемый спектром, не является строго фрактальным, и выделяемые иерархические уровни как наиболее вероятные линейные размеры – достоверны.

Проверка гипотезы о «белом шуме» остатков может осуществляться на основе различных критериев: критерий проверки гипотезы на нормальность распределения, критерий на отсутствие автокорреляций, критерий соответствия спектра экспоненциальному распределению и др.

Не останавливаясь на деталях, отметим, что остатки от полинома 6 степени не являются белым шумом, так что можно полагать, что выделенные выше регулярные составляющие пространственного процесса статистически значимы и реально существуют.

Расчет спектра позволяет определить вторую компоненту разнообразия: разнообразие иерархической организации.

Так как логарифм спектральной плотности отражает варьирование или разнообразие на каждой гармонике, вне зависимости от спектральной плотности на любой другой, то общее иерархическое разнообразие может быть оценено как:

H = SH_w = 0.5 Slog(2pe s_w) = 0,5(wlog(2pe)+Slog(s_w )) – сумма берется по всем гармоникам.

Очевидно, что разнообразие иерархии связано с фрактальной размерностью:

H_w = 0,5(a-log 2pe) –0,5blogw), так как D = (5-b)/2, то b = 5-2D и

H_w = 0,5((a-log 2pe) -(2,5-D)logw.

Удельная энтропия на одну гармонику соответственно есть:

H^w = H/log(w).

Если процесс строго фрактальный и определяется действием только одного фактора, то удельная энтропия есть константа. Таким образом, фрактальную размерность можно рассматривать как оценку разнообразия иерархической организации системы, и чем она больше, тем меньше разнообразие. Следовательно, наиболее сложной организацией, требующей для своего возникновения приложения воздействий очень большой мощности, будут обладать системы, описываемые «розовым шумом». Территории, организация которых отвечает размерности «розового шума», требуют существенно больших хозяйственных усилий для извлечения из них полезной продукции, более сложных стратегий природопользования и при прочих равных условиях более сложны для хозяйственного освоения. В целом же связь разнообразия с фрактальной размерностью имеет фундаментальный характер [Кроновер, 2000; Schroeder,1991].

Рассмотренный пример демонстрирует методы исследования иерархической организации для трансекта со значениями какой либо переменной.

Анализ изображения требует оценки фрактальной размерности для двух мерного случая. Здесь применимы те же методы измерения фрактальной размерности: метод «ящиков», метод масштаба, метод двухмерного спектрального анализа.

Последний метод, хотя и наиболее сложен для расчетов, но дает наиболее полную основу для анализа иерархической организации. В принципе он ничем не отличается от одномерного случая. Двухмерный спектр рассчитывается для всех ортогональных направлений (операцию можно осуществить в программах Surfer 7, Idrisi 32).

На рис. 18 показан логарифм двухмерного спектра в координатах полного периода на все изображение оцениваемого как ±p, рассчитанный для рассматриваемого примера в программе Surfer. Перейти к частотам и волновым числам можно, зная размер изображения (по X – 765 пикселе, по Y = 746). Следовательно, по Х спектр измеряется в диапазоне периодов от 2 до 382, а по Y – от 2 до 373 пикселей.

При такой форме представления, подобласти с противоположными знаками периодов полностью подобны, и верхняя половина рисунка есть зеркальное отображение нижней половины. С другой стороны, отображения в левой и правой половинах несколько различны, что указывает на некоторую общую асимметрию в структурной организации исследуемой территории. В целом же яркость рисунка растет к центру, что прямо указывает на фрактальный характер изображения. На фоне этого общего тренда существует множество локальных максимумов (светлые точки на общем темном фоне), в которых можно заметить некоторые сгущения и разрежевания, но, безусловно, отражающие высокую общую стохастичность иерархической организации территории. Если бы существовали четко выраженные линейные структуры, то в пространстве спектра имелись бы компактные светлые пятна или линии.

D. L. Turcotte [1997] для оценки фрактальной размерности по двухмерному спектру предложил брать его средние значение по радиусам длины w_i , соответствующие i – овому волновому числу. Эта операция позволяет свести двухмерное отображение к одномерному. Для отображения асимметрии в организации территории можно рассматривать отдельно средние значения по левой и правой верхним частям изображения спектра. В реализованном пакте программ исследования пространственной организации территории (Fracdim) оценка спектра осуществляется на интервале периодов от 2 до 500 пикселей, что в большинстве случаев достаточно для исследования правил организации конкретной территории [Пузаченко и др., 1999]. При этом следует отметить, что расчет двухмерного спектра для изображений в несколько сотен пикселей требует довольно много машинного времени. Чтобы оценить фрактальную размерность для всего изображения его нужно агрегировать с операцией осреднения, до приемлемых размеров (ширина или высота меньше или равна 500 пикселей).

На рис. 19 показан график двухмерного спектра для изображения в диапазоне 2 – 500 пикселей. Как следует из графика, наклон линии регрессии достоверно изменяется в точке, соответствующей периоду 8 пикселей. Резкое изменение наклона линии регрессии и, соответственно, фрактальной размерности формально указывает на смену физической природы факторов, определяющих иерархическую организацию территории в высокочастотной и низкочастотной частях спектра. Таким образом, территориальные структуры с линейными размерами примерно до 2 км и более 2 км связываются с действием существенно различных факторов. В соответствии с существующими знаниями можно полагать, что за территориальные структуры с линейными размерами меньше 2 км определяются строением четвертичных отложений, вклад которых в формирование структуры на более высоких размерных интервалах резко снижается. Таким образом, оценку фрактальной размерности можно провести для всего изображения и для его отдельных частотных интервалов. В случае двухмерного спектра фрактальная размерность оценивается как D = (7 – b)/2.

Таблица 12