РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ В EXCEL

БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Распределение используется для моделирования случайной величины с конечным числом испытанной. В каждом испытании случайная величина может принимать только два значения: успех или неуспех (0 или 1). Вероятность успеха постоянна и не зависит от результатов других испытаний. Биномиальное распределение описывает общее число успехов при указанном числе испытаний. Данное распределение требует указать два параметра: число испытаний (n) и вероятность успеха (р).

Пример 2.1. Группа из 20 студентов сдает экзамен. Вероятность сдать экзамен по данным прошлых лет равна 0,3. Отобрано 5 человек. Составьте закон распределения случайной величины Х – числа студентов, сдавших экзамен.

В ячейку В7 помещена функция БИНОМРАСП(А7; $B$1; $B$2; 0) (рис 2.3.).

Скопируйте формулу для остальных ячеек столбца В, как показано на рис. 2.2. Чтобы получить данные столбца С, надо в качестве аргумента интегральная поставить единицу.

С помощью функции БИНОМРАСП можно получить только вероятности равные числу успеха k (интегральная равна нулю) или не большие k (интегральная равна единицы). Для вычисления других вероятностей воспользуйтесь значениями столбцов В и С. Значения в столбцах D, E, F находятся по формулам:

D7 = C7 – B7; E7 = 1 – C7; F7 = 1 – E7.

Диаграмма биномиального распределения построена по ячейкам В7:В12.

В качестве обратной функции к БИНОМРАСП в Excel рассматривается функция КРИТБИНОМ. Ее синтаксис:

КРИТБИНОМ(число_испытаний; вероятность_успеха; альфа) = Р(Х <= x).

КРИТБИНОМ(B1;B2;C10) = 3

ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Распределение возвращает вероятность заданного количества успехов в выборке, если заданы: размер выборки (n), количество успехов в генеральной совокупности (m) и размер генеральной совокупности (N). Функция ГИПЕРГЕОМЕТ используется для задач с конечным числом элементов генеральной совокупностью, где каждое наблюдение – это успех или неудача, а каждое подмножество заданного размера (x) выбирается с вероятностью равной .

Синтаксис:

ГИПЕРГЕОМЕТ(число_успехов_в_выборке; размер_выборки; число_успехов_в_совокупности; размер_совокупности)

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА

Обычное применение распределения Пуассона состоит в предсказании количества событий, происходящих за определенное время, например: количество машин, появляющихся за 1 минуту на станции техобслуживания.

Синтаксис: ПУАССОН(x; среднее; интегральная)

x – количество событий,

среднее – ожидаемое численное значение,

интегральная – логическое значение, определяющее форму возвращаемого распре-деления вероятностей.

Если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, то функция ПУАССОН возвращает интегральное распределение Пуассона, то есть вероятность того, что число случайных событий будет от 0 до x включительно.

Если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, то вычисляется значение функции плотности распределения Пуассона, то есть вероятность того, что событий появится равно x раз.

ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ

Величина оценки q*, найденная по выборке, является лишь приближенным значением неизвестного параметра. Вопрос о точности оценки в математической статистике устанавливается с помощью соотношения:

Р(|q – q*| < D_g) = g, (2.7)

где g – доверительная вероятность или надежность интервальной оценки (принимает значения 90%, 91%,…99%, 99,9%);

D_g – предельная ошибка (точность) оценки. Для случайной величины, имеющей нормальное распределение

D_g = t_g s(q). (2.8)

Значение t_g вычисляется с помощью функции Лапласа, если s задано в условии по формуле 2 Ф(t_g) = g.

Если стандартное отклонение находится по выборке, то рассматривают два случая:

1) n < 30 используется функция Стьюдента:

t_g = СТЬЮДРАСПОБР(1 – g; n – 1)

2) n ³ 30 используется функция Лапласа 2 Ф(t_g) = g.

Если раскрыть модуль в уравнении (2.7), то получим неравенство:

Р(|–| <) = g, (2.7)

q* – D_g < q < q* + D_g.

Числа q₁ = q* – D_g и q₂ = q* + D_g. называют доверительными границами, а интервал (q₁, q₂) – доверительным интервалом или интервальной оценкой параметра.

Границы доверительного интервала симметричны относительно точечной оценки q*. Поэтому точность оценки D_g иногда называют половиной длины доверительного интервала.

Так как q* величина случайная, то границы доверительного интервала могут меняться, кроме того, они будут меняться с изменением доверительной вероятности, поэтому соотношение (2.7) следует читать так: «со статистической надежностью 100% доверительный интервал (q₁, q₂) содержит параметр генеральной совокупности».

Рассмотрим на примерах, как строятся доверительные интервалы для математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения нормально распределенного количественного признака Х.