КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ. КРИТИЧЕСКАЯ ОБЛАСТЬ

Вывод о соответствии выборочных данных с проверяемой гипотезой делается на основе некоторого критерия. Критерий проверки гипотезы реализуют с помощью некоторой статистики (статистической характеристики определяемой по выборочным данным). Эту величину принято обозначать:

U – если она нормально распределена с a=0 и s =1,

Z – если она нормально распределена с a и s,

T – если она распределена по закону Стьюдента,

c² – если она распределена по закону c²,

F – если она имеет распределение Фишера.

После выбора критерия множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества. Одно содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отклоняется, это множество значений называют критической областью. Другое, называют областью принятия гипотезы – содержит совокупность значений, при которых нулевая гипотеза принимается.

Вычисленное по выборке значение критерия (q) может принадлежать одному из этих множеств и в зависимости от этого нулевая гипотеза принимается, если принадлежит области принятия гипотезы и отвергается в противном случае. Точки, разделяющие эти две области, называют критическими и обозначают q_кр.

Различают три вида критических областей:

левосторонняя Р(q < q_кр) = a;

правосторонняя Р(q > q_кр) = a и

двусторонняя Р(|q| > q_кр) = a.

Если q попадает в критическую область, то говорят, что основная гипотеза отвергается в пользу альтернативной при заданном уровне значимости.

ОБЩАЯ СХЕМА ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗЫ

Проверка гипотезы с помощью уровня значимости.

1. Формулируется нулевая гипотеза и альтернативная ей.

2. Выбирается уровень значимости.

3. Определяется критическая область и область принятия гипотезы.

4. Выбирают критерий, и находят его расчетное значение по выборочным данным.

5. Вычисляют критические точки.

6. Принимается решение.

Другим способом проверки гипотезы является вывод р-значения (значения вероятности). В этом случае не указывается уровень значимости и не принимается решения об отбрасывании нулевой гипотезы. Вместо этого проверяем насколько правдоподобно, что полученная оценка соответствует значению генеральной совокупности. При левостороннем или правостороннем критерии рассчитываются вероятности попадания статистики q в критическую область. Если применяется двусторонний критерий, то оценивается разность между выборочным средним и предполагаемым средним совокупности по модулю. Если р-значение мало, то выборочное среднее значительно отличается от среднего совокупности.

2.4.4 ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОЖИДАНИИ (m₀) НОРМАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ПРИ ИЗВЕСТНОЙ ДИСПЕРСИИ

Пусть генеральная совокупность имеет нормальное распределение, причем ее математическое ожидание равно m₀, а дисперсия равна s². По выборочным данным найдено m = . Есть основания утверждать, что m = m₀?

Н₀: m = m₀

Н₁: m > m₀ (или Н₁: m < m₀; или Н₁: m ¹ m₀)

На рисунке. приведены возможные варианты проверки нулевой гипотезы. Результаты проверки включают в себя решение о принятии нулевой или альтернативной гипотез, основанные на уровне значимости альфа и р-значении.

Пример 2.4. Клиенты банка в среднем снимают со своего счета 100$ при среднем квадратическом отклонении s = 50$. Если выплаты отдельным клиентам независимы, то, сколько денег должно быть зарезервировано в банке на выплаты клиентам, чтобы их хватило на 100 человек с вероятностью 0,95? Каков при этом будет остаток денег, гарантированный с той же надежностью, если для выплат зарезервировано 16 000$?

На каждого клиента банк резервирует сумму в 160$. По выборочным данным эта сумма составляет 100$.

Проверим гипотезу, может ли банк снизить свои резервы, то есть основная гипотеза может быть записана Н₀: 100$ = 160$.

В качестве альтернативной гипотезы рассмотрим ситуацию: «банк сможет обеспечить клиентов, если расчетная сумма выплат для каждого клиента будет снижена до 100$», тогда Н₁: m = 100 < m₀ = 160$.

Принимается гипотеза Н₁, что означает: банк может снизить сумму резервов до 10 000$. Используя р-значения можно сделать вывод: если альтернативная гипотеза верна (в среднем клиент берет 100$ и меньше), то с вероятностью 100% случайная величина m ~ N(100$, 50$).

С надежностью 95% можно гарантировать, что у банка имеется остаток более 6 000$.