Формулювання задачі наближення функцій

Важним і цікавим є питання переходу від табличного способу завдання функції до аналітичного. Це дозволить уникнути вказаних вище недоліків табличного способу завдання функції.

Можна сформулювати таку задачу: нехай за допомогою таблиці (табл. 5.1) задано функцію . Знайти по можливості простий аналітичний вираз цієї функції.

Таблиця 5.1 – Функція

x				…
y				…

Спочатку задаються видом функції. Для цієї мети практично важливим є використання поліномів:

– алгебричного

; (5.1)

– тригонометричного

(5.2)

– експоненціального

(5.3)

Після того, як вид функції задано, стає задача визначення невідомих коефіцієнтів а_і (b_i) так, щоб досягти найменшого відхилення поліному від заданої функції у(х). Що стосується терміну «найменше відхилення», то може бути два випадки.

В першому ставиться задача точного відтворення всіх значень функції, що задані в табл. 5.1. Така задача називається інтерполяцією функції.

В другому випадку, коли табличні дані одержані, наприклад, в експерименті і містять експериментальні похибки, коефіцієнти полінома знаходять так, щоб вказані в табл. 5.1 значення функції описувались наближено (нема сенсу повторювати помилки, які були допущені в експерименті). Така задача називається апроксимацією функції.

Інтерполяція функцій

Загальна задача інтерполяції полягає в наступному: для заданої в вигляді таблиці функції побудувати багаточлен, що приймає в заданих точках х_і ті ж значення, що й функція у(х), тобто

(5.4)

Точки називаються вузлами інтерполяції. З геометричної точки зору це означає, що графік інтерполяційного многочлена має проходити через задану сукупність точок Але в такій загальній постановці задача інтерполяції до кінця не визначена, тому що через задану систему точок можна провести нескінченну кількість кривих. Задача стає однозначною, якщо задатися конкретним видом поліному ступеня не вище n.

Розглянемо, наприклад, інтерполяцію з використанням поліному (5.1). Нехай з табл. 5.1 відомі значення Тоді з умови (5.4) одержимо систему рівнянь відносно невідомих a₀, a₁, a₂, …, a_n

(5.5)

Можна довести, що якщо серед вузлів інтерполяції нема таких, що збігаються ( при , то головний визначник системи (5.5)

,

який називають визначником Вандермонда, не дорівнює нулю. Згідно з правилом Крамера це означає, що система (5.5) має єдиний розв‘язок.

Поліном , коефіцієнти котрого визначаються із системи (5.5), називається інтерполяційним поліномом Лагранжа і позначається

Однак, безпосереднє розв‘язання системи (5.5) – задача вельми трудомістка при великій кількості вузлів. Тому будемо шукати поліном у вигляді лінійної комбінації поліномів ступеня n:

(5.6)

При цьому необхідно, щоб кожний поліном перетворювався в нуль у всіх вузлах інтерполяції за винятком одного (і-го), де він має дорівнювати одиниці. Таким умовам відповідає поліном виду

. (5.7)

Підстановка (5.6) в (5.7) дає

, (5.8)

або в більш компактній формі запису

На практиці часто зустрічаються задачі, де відстань між сусідніми вузлами інтерполяції однакова, тобто Для випадку рівновіддалених вузлів формула Лагранжа (5.8) може бути записана в іншому вигляді, а саме у вигляді так званої першої інтерполяційної формули Ньютона

(5.9)

де – кінцеві різниці першого, другого, …, n-го порядку відповідно. Вони обчислюються так:

Визначення кінцевих різниць зручно робити у вигляді діагональних таблиць (наприклад, табл. 5.2).

Часто використовують першу формулу Ньютона в іншому виді. Введемо нову змінну

де h – крок, а q – кількість кроків.

Таблиця 5.2 – Діагональна таблиця кінцевих різниць

x	y

Тоді перша інтерполяційна формула Ньютона прийме вид

(5.9')

Формули (5.9) і (5.9') зручно використовувати для інтерполяції на початку таблиці, де q – мале число.

Для інтерполяції в кінці таблиці використовують другу інтерполяційну формулу Ньютона, яка також має дві форми запису:

(5.10)

(5.10')

де

Для інтерполяції в середині таблиці використовують інтерполяційні формули Гаусса. В цих формулах застосовуються так звані таблиці центральних різниць, відмінність яких від діагональних таблиць видно із порівняння таблиць 5.2 і 5.3.

Перша інтерполяційна формула Гауса

(5.11)

Таблиця 5.3 – Таблиця центральних різниць

x	y	Δy	Δ2y	Δ3y	Δ4y	Δ5y	Δ6y
···	···	···	···	···	···	···	···
···	···	···	···	···	···	···	···

В першій інтерполяційній формулі Гаусса використовуються центральні різниці

що розташовані в рядку і в наступному за ним рядку.

В другій інтерполяційній формулі Гаусса використовуються центральні різниці із рядка і із рядка, розташованого над ним

,

Друга інтерполяційна формула Гауса має вид

(5.12)

Для обох формул Гаусса

Слід відмітити, що при заданому табличному наборі вузлів інтерполяції існує тільки один інтерполяційний поліном. Тому формули Лагранжа, Ньютона, Гаусса і ін. дають один і той же поліном. Різниця тільки в формі їх запису.

Опис поведінки функції на всьому інтервалі зміни аргументу за допомогою одного інтерполяційного многочлена називається глобальною інтерполяцією. Велика кількість табличних даних потребує в цьому випадку і високого ступеня многочлену. Часто це буває незручно і навіть приводить до погіршення точності (це виявив у 1901 р. Рунге).

Більшу перевагу іноді має локальна інтерполяція, при якій інтерполяційні многочлени будуються окремо для різних частин діапазону зміни аргументу х. Для найпростіших випадків локальної інтерполяції часто буває достатнім використання формул (5.9), (5.9') при кількості вузлів інтерполяції n = 1 (лінійна інтерполяція) і n = 2 (квадратична інтерполяція).

Таким чином, при лінійній інтерполяції значення функції (яка задана таблицею) в інтервалі наближаються формулами:

; (5.13)

. (5.13')

При квадратичній інтерполяції в інтервалі формули наближення набувають такий вигляд:

; (5.14)

(5.14')

Як правило, інтерполяційні багаточлени використовуються для наближення функції в проміжних точках між крайніми вузлами інтерполяції, тобто при Однак іноді вони використовуються і для наближеного обчислення функції поза відрізка, що заданий таблицею ( ). Таке наближення називають екстраполяцією.

Апроксимація функцій

Якщо функція задана таблицею, то задача апроксимації полягає у визначенні достатньо простого виду функції (її аналітичного виразу), значення якої при мало відрізнялись би від табличних даних. Якщо табличну залежність одержано в результаті експериментів, то задача апроксимації цієї залежності називається інакше підбором емпіричної функції. Геометрично задача апроксимації полягає в проведенні графіка функції f(x) якомога ближче до системи точок (на відміну від інтерполяції тут не ставиться умова повного збігання значень і ).

Побудова емпіричної функції складається з двох етапів:

– вибору загального виду цієї функції;

– визначення кращих її параметрів.

5.4.1 Вибір виду емпіричної функції для нелінійних залежностей

Якщо аналітичний вид функції не відомий з фізичних міркувань, то підбір її є довільним і часто базується на досвіді дослідника.

В тому випадку, коли дослідні дані табл. 5.1 містять велику експериментальну похибку або коли не стоїть задача досягнення високої точності, можна обмежитися найпростішим видом формули, яка вміщує тільки два параметри . В загальному випадку найбільш уживані поліноми виду (5.1) – (5.3).

Нехай у є функцією однієї змінної х з двома параметрами а і b. За набір найпростіших функцій, з котрих будемо обирати емпіричну залежність, розглянемо

1) лінійну ;

2) показникову ;

3) дрібно-раціональну ;

4) логарифмічну ;

5) степеневу ( вона визначає параболічну залежність, якщо a > 0, і гіперболічну, якщо a < 0; якщо a = 0, то залежність вироджується в лінійну);

6) гіперболічну ;

7) дрібно-раціональну виду .

Для найкращого вибору виду аналітичної залежності виконаємо наступні проміжні дії:

– табл. 5.1 зображаємо у вигляді графіка ;

– на заданому відрізку зміни х обираємо дві точки, які достатньо надійні і, за можливістю, далеко розташовані одна від другої, наприклад, крайні точки з координатами ;

– обчислюємо середні арифметичні , ;

середні геометричні , ;

середні гармонічні , ;

– за обчисленими значеннями х знаходимо по графіку значення

– порівнюємо знайдені з графіку значення з обчисленими значеннями і оцінюємо наступні похибки результату порівняння:

, , ,

, , , ;

– знаходимо з цих похибок мінімальну

і робимо висновок про вид емпіричної функції у відповідності з табл. 5.4.

Таблиця 5.4 – Залежність виду функції від

Вид

Перевірка відповідності виду емпіричної функції залежності, що задана таблицею 5.1, здійснюється за допомогою так званого методу вирівнювання,який полягає в наступному: припускають, що між х і у існує залежність означеного виду, знаходять деякі величини і , які при зробленому припущенні зв‘язані лінійною залежністю (тобто перетворюють систему координат х0у, в якій залежність нелінійна, в систему координат ,в якій ця залежність стає лінійною). Наприклад, якщо , то приймають або , обчислюють для заданих значень х і у (табл. 5.1) відповідні значення q i z, і зображують одержану залежність z(q) графічно. Якщо точки залежності z(q) лежать приблизно на прямій лінії, то робиться висновок, що вид емпіричної функції обрано вірно.

Для наведених вище нелінійних залежностей можна одержати лінійні залежності, якщо прийняти відповідні зв‘язки між змінними в координатах q0z і x0y (табл. 5.5).

Таблиця 5.5 – Зведення нелінійних залежностей до лінійних

Нелінійна залежність	Лінійна залежність	Зв‘язок між змінними в координатах q0z і x0y

5.4.2 Уточнення коефіцієнтів емпіричної функції

Коефіцієнти а, в для емпіричних формул виду можна уточнити декількома методами. Нижче наведено один з них, який називають методом обраних точок.

На кривій (або на прямій в методі вирівнювання) обирають дві довільні точки і , складають систему рівнянь

розв‘язують її відносно а, в і підставляють останні в функцію . Одержаний аналітичний вираз і являє собою розв‘язок задачі апроксимації функції, що задана таблицею.

Приклад 5.1. Дані експерименту приведені в таблиці. Необхідно скласти емпіричну формулу.

Таблиця 5.6 – Експериментальні дані

Будуємо графік (див. рис. 5.1).

Розраховуємо наступні параметри:

- середньоарифметичні значення

- середньогеометричні значення

- середньогармонічні значення

За графіком знаходимо значення у^*:

х_ар = 5 → ; х_геом = 3 → ; х_гарм = 1,8 → .

Розраховуємо похибки:

Найменше значення похибки Згідно даних табл. 5.4 приймаємо вид емпіричної формули .

Для перевірки результату розглянемо нову лінійну функцію (див. табл. 5.5). Згідно табл.. 5.5 введемо нові змінні: . Розрахуємо величини нових змінних. Вони приведені в табл. 5.7.

Таблиця 5.7 – Величини нових змінних

Будуємо залежність z = f(q) (див. рис. 5.2). Точки графіка практично лежать на прямій. Тому вид функції обраний вірно.

Знайдемо коефіцієнти а і b функції за методом обраних точок.

Обираємо першу і останню точку з табл. 5.7 з координатами z₁ = 3, q₁ = 1 i z₉ = 1,22, q₉ = 0,111. Складаємо систему рівнянь:

Розраховуємо коефіцієнти а і b: b = 2, а = 1. Таким чином емпірична формула має вигляд .

5.4.3 Апроксимація алгебричним поліномом

За вид емпіричної функції приймають поліном виду (5.1), тобто

,

де n ≤ m (число на одиницю менше кількості точок в табл. 5.1).

Для визначення коефіцієнтів полінома ( ) застосовують метод найменших квадратів. Для цього виконують наступне:

– складають суму квадратів відхилень функції від табличних даних

;

– дорівнюють нулю частинні похідні функції S за незалежними змінними

– «збирають» коефіцієнти при невідомих і одержують систему лінійних рівнянь, яку в компактному виді можна записати так:

(5.15)

де (5.16)

– розв‘язують систему (5.15) відносно .

Наприклад, треба підібрати емпіричну формулу для функції, що задана табл. 5.6.

Таблиця 5.6 – Функція у(х)

	0	1	2	3	4
	0,75	1,50	2,25	3,0	3,75
	2,50	1,20	1,12	2,25	4,28

Приймемо за вид емпіричної формули алгебричний поліном. Щоб визначитися з порядком поліному, побудуємо графік за даними табл. 5.6 (рис. 5.1).

Рисунок 5.1 – Графік функції у(х)

З графіка видно, що функція має вид параболи, і тому її можна записати у вигляді , тобто прийняти , що менше (див. найбільше значення і в табл.5.6).

Далі розраховуємо коефіцієнти перед невідомими(а_і) і вільні члени системи рівнянь (5.15) за виразами (5.16):

Таким чином система рівнянь в даному прикладі має вигляд

а її розв‘язок такий:

Отже, в результаті апроксимації функції у(х), що задана табл.5.6, одержано аналітичний вираз у вигляді поліному другого ступеня, а саме

.

Оцінимо абсолютну і відносну ( ) похибки апроксимації для точок завдання функції (табл. 5.7).

Таблиця 5.7 – Оцінка похибок апроксимації

	0	1	2	3	4
	0,75	1,50	2,25	3,0	3,75
	2,50	1,20	1,12	2,25	4,28
	2,440	1,257	1,173	2,186	4,297
	-0,060	0,057	0,053	-0,064	0,017
	2,390	4,792	4,710	2,844	0,403