Главная Случайная страница


Категории:

ДомЗдоровьеЗоологияИнформатикаИскусствоИскусствоКомпьютерыКулинарияМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОбразованиеПедагогикаПитомцыПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРазноеРелигияСоциологияСпортСтатистикаТранспортФизикаФилософияФинансыХимияХоббиЭкологияЭкономикаЭлектроника






ГОМОСКЕДАСТИЧНОСТЬ (постоянство дисперсии случайных отклонений)

Для применения МНК требуется, чтобы дисперсия остатков была величиной постоянной. Невыполнимость этого условия называется гетероскедастичностью и влечет смещенность дисперсий оценок, так как стандартная ошибка регрессии (1.4) становится смещенной.

Обнаружение гетероскедастичности является сложной задачей потому что необходимо знать распределение СВ Y, соответствующее выбранному значению переменной хi. В тесте Голфелда-Квандта предполагается, что стандартное отклонение пропорционально значению хi переменной Х и еi нормально распределены, автокорреляция остатков отсутствует. Проверка на гомоскедастичность по этому тесту содержит следующие шаги:

1. Все n наблюдений упорядочивают по величине.

2. Упорядоченная выборка разбивается на три подвыборки размерностью k, (n – 2k) и k соответственно.

3. Центральные наблюдения исключаются из дальнейшего рассмотрения.

4. Строят регрессии для первой и последней групп и находят остаточные суммы квадратов и соответственно.

5. Находят их отношение . Если условие гомоскедастичности выполняется, то = , в противном случае << .

6. Построенная F-статистика, имеет распределение Фишера с n1 = n3 = km – 1 степенями свободы, где m число объясняющих переменных в уравнении регрессии.

7. Чем больше F превышает значение Fкр, тем более нарушена предпосылка о равенстве остаточных дисперсий.

НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих функций:

Графики некоторых нелинейных уравнений регрессии:

a) квадратичная функция (полином любой степени);

b) равносторонняя гипербола;

c) степенная;

d) показательная и др.

Кроме указанных функций для описания связи двух переменных можно использовать и другие типы кривых: у = а + b×lnx; lnу = а + b×x + с×х2 и т.д.

Различают два класса нелинейных уравнений:

1) регрессии, нелинейные относительно включенных объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

2) регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

К первому классу – нелинейные по переменным – относятся кривые а и b. Нелинейными по параметрам (второй класс) являются зависимости c и d.

ЛИНЕЙНЫЕ ПО ПАРАМЕТРУ МОДЕЛИ

Такие модели легко приводятся к линейному виду – линеаризуются. Для линейных по параметру моделей вводят новую переменную (таблица 2.1) и переходят к построению линейной регрессии по преобразованным данным. Применяя инструмент Регрессия, к преобразованным данным можно найти все оценки параметров преобразованных моделей и оценить их качество.

Качество исходной модели можно оценить, используя индекс корреляции (1.26). Оценка статистической значимости индекса корреляции проводится с помощью F-статистики, так же как и коэффициента детерминации (1.29). Довольно часто в экономических исследованиях для оценки качества построенного уравнения используют среднюю ошибку аппроксимации, которая вычисляется по формуле:

(2.10)

и оценивает по модулю величину отклонений расчетных значений от фактических. Допустимый предел значений средней ошибки аппроксимации не более 8–10%.

В таблице приведены примеры использования перечисленных нелинейных моделей.

Полиномиальная модель(1) может отражать зависимость между объемом выпуска (у) и издержками производства (х); или расходами на рекламу (х) и прибылью (у) и т.д. В экономике наиболее часто используют многочлен второй степени реже – третьей степени. Ограничения в применении многочленов более высоких степеней связано с требованием однородности исследуемой совокупности: чем выше степень многочлена, тем больше изгибов имеет кривая и соответственно меньше однородность по результативному признаку. Надо помнить, что графики многочленов имеют промежутки монотонности и точки экстремумов, поэтому параметры применения этих моделей не всегда могут быть логически истолкованы. Поэтому, если такая зависимость четко не определена графически (параболическая), то ее лучше заменить другой нелинейной функцией.

Гиперболическая модель(2) – классическим примером этой модели является кривая Филлипса (b1 > 0), характеризующая соотношение между уровнем безработицы (х) и процентом прироста заработной платы (у). При х → ¥ кривая характеризуется нижней асимптотой у = b0. Соответственно можно определить уровень безработицы, при котором заработная плата стабильна и темп ее прироста равен нулю. При b1 < 0 гиперболическая функция будет медленно расти для х → ¥ и имеет горизонтальную асимптоту у = b0. Такие кривые называют кривыми Энгеля, который сформулировал закономерность: с ростом доходов (х) доля доходов, расходуемых на продовольствие (у) уменьшается.

Полулогарифмические модели(3) используются, когда необходимо определить темп роста или прироста экономических показателей. Например, при анализе банковского вклада по процентной ставке, при исследовании зависимости прироста объема выпуска продукции от процентного увеличения затрат на расходы, бюджетного дефицита от темпа роста ВВП, темп роста инфляции от объема денежной массы и т.д.

Таблица линеаризации некоторых моделей, линейных по параметру

Модель Уравнение модели Замена Модель
Полиномиальная Y = b0 + b1х + b2х2 +…+ bnхn + e х = Х1, х2 = Х2, …, хn = ХN 1.18
Гиперболическая 1.1
Полулогарифмические Y = а +b lnx + e lnу = а + b x + e Х = lnx; Y = lny 1.1

 

НЕЛИНЕЙНЫЕ ПО ПАРАМЕТРУ МОДЕЛИ

Уравнения нелинейные по параметру можно разделить на:

1) внутренне линейные– можно привести к линейному виду путем преобразований;

2) внутренне нелинейные, которые не могут быть сведены к линейной модели.

Степенная модель:

. (2.2)

Если прологарифмировать обе части уравнения (2.2), получится модель, легко приводящаяся к линейному виду:

lny = lnb0 + b1 lnx +lne, (2.3)

Надо сделать замену: Y = lny, X = lnx, A = lnb0. Получим линейную модель (1.1).

Коэффициент модели b1 определяет эластичностьпеременной Y по переменной X, то есть процентное изменение Y при изменении Х на 1%. Степенная модель имеет постоянную эластичность, это легко увидеть, если продифференцировать обе части уравнения (2.3):

. (2.4)

Так как b1 константа, то модель (2.3) называют моделью постоянной эластичности.

В случае парной регрессии обоснование использования степенной модели достаточно просто. Надо построить корреляционное поле для точек (lnx, lny), и если их расположение соответствует прямой линии, то произведенная замена хорошая и можно использовать степенную модель.

Данная модель легко обобщается на большее число переменных. Наиболее известная – производственная функция Кобба-Дугласа: Y= b0Xa La, где Y – объем выпуска; Х – затраты капитала; L – затраты труда.

Лог-линейные моделишироко используются в банковском и финансовом анализе: Yt = Y0 (1 + r)t,

где Y0 – первоначальный банковский вклад, r – процентная ставка, Yt – размер вклада на момент t.

Прологарифмируем обе части этой модели

lnYt = lnY0 + t ln(1 + r). (2.5)

Введя замену lnY0 = b0, ln(1 + r) = b1, получим полулогарифмическую модель:

lnYt = b0 + b1 t. (2.6)

Коэффициент b1 в уравнении (2.6) имеет смысл темпа приростапеременной Yt по переменной t, то есть характеризует относительное изменение Yt к абсолютному изменению t. Продифференцируем (2.6) по t, получим:

. (2.7)

Умножив b1 на 100%, получим темп прироста Yt. Надо сказать, что коэффициент b1 = ln(1 + r) определяет мгновенный темп прироста, а характеризует темп прироста сложного процента.

Показательные моделииспользуются, когда анализируется изменение переменной Y с постоянным темпом прироста во времени t:

. (2.8)

Если провести логарифмирование, то получится уравнение аналогичное (2.5).

В общем виде показательная модель имеет вид:

, (2.9)

но в силу равенства сводится к уравнению (2.8).

КОЭФФИЦИЕНТ ЭЛАСТИЧНОСТИ

Рассматривая степенную модель, мы ввели понятие эластичности функции: предел отношения относительных приращений независимой переменной и зависимой называется эластичностьюфункции

(2.10)

показывает на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор х изменится на 1%.

Для других форм связи Э зависит от значения фактора х и не является величиной постоянной, поэтому рассчитывается средний коэффициент эластичности, который показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины, если фактор х изменится на 1% от своего среднего значения. Формула для расчета:

(2.11)

Несмотря на широкое использование в экономике коэффициентов эластичности, возможны случаи, когда они не имеют экономического смысла. Составьте таблицу коэффициентов эластичности для всех рассмотренных нелинейных моделей самостоятельно.

Последнее изменение этой страницы: 2016-06-10

lectmania.ru. Все права принадлежат авторам данных материалов. В случае нарушения авторского права напишите нам сюда...